参考高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理.docx

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参考高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理

（参考）2019年高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理

1．直线过定点

例1：

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．

（1）求的方程；

（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】

（1）；

（2）证明见解析，．

【解析】

（1）由已知，设椭圆的方程为，

因为，不妨设点，代入椭圆方程得，

又因为，所以，，所以，，

所以的方程为．

（2）依题设，得直线的方程为，即，

设，，，

由切线的斜率存在，设其方程为，

联立得，，

由相切得，

化简得，即，

因为方程只有一解，所以，所以切线的方程为，

即，同理，切线的方程为，

又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，

又，所以直线的方程可化为，

即，令，得，

所以直线恒过定点．

2．面积问题

例2：

已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设，

则，又，得，，

，

解得，，所以椭圆方程为．

（2）设直线方程：

，、，

由，得，所以，

由

（1）知直线：

，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，

，

而与，知，，

由，得，所以，

四边形面积的取值范围．

3．参数的值与范围

例3：

已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．

（1）求抛物线的方程以及的值；

（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．

【答案】

（1），；

（2）．

【解析】

（1）抛物线的焦点，

，则，抛物线方程为；

点在抛物线上，．

（2）依题意，，设，设、，

联立方程，消去，得．

所以①，且，

又，则，即，

代入①得，消去得，

，则，，

则

，

当，解得，故．

4．弦长类问题

例4：

已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）由题意可知：

，又椭圆的上顶点为，

双曲线的渐近线为：

，

由点到直线的距离公式有：

，∴椭圆方程．

（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

，

要与相交于两点，则应有：

，

设，，

则有：

，．

又．

又：

，所以有：

，

，②

将，代入，消去并整理得：

，

要有两交点，则．③

由①②③有．

设、．有，，

．

将代入有．

，令，，

令，．

所以在内恒成立，故函数在内单调递增，

故．

5．存在性问题

例5：

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？

若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【答案】

（1）；

（2）不存在，见解析．

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，则，

∵在椭圆上，∴，

∴，，故椭圆的方程为．

（2）假设这样的直线存在，设直线的方程为，

设，，，，的中点为，

由，消去，得，

∴，且，故且，

由，知四边形为平行四边形，

而为线段的中点，因此为线段的中点，

∴，得，

又，可得，∴点不在椭圆上，

故不存在满足题意的直线．

一、解答题

1．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：

直线经过定点．

【答案】

（1）；

（2）见解析．

【解析】

（1）由已知，，

轨迹为双曲线的右支，，，，

曲线标准方程．

（2）由对称性可知，直线必过轴的定点，

当直线的斜率不存在时，，，，知直线经过点，

当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，

直线，当时，，，

得，，，

下面证明直线经过点，即证，即，

即，由，，

整理得，，即

即证经过点，直线过定点．

2．已知点在椭圆上，设，分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆在第一象限内一点，直线，分别交轴、轴于，两点，求四边形的面积．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）因为椭圆经过点，有，

由等面积法，可得原点到直线的距离为，

联立两方程解得，，所以椭圆的方程为．

（2）设点，则，即．

直线，令，得．

从而有，同理，可得．

所以四边形的面积为

．

所以四边形的面积为．

3．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，．

（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？

并求出其方程；

（2）若斜率为的直线与圆相切，与

（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围．

【答案】

（1）是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，；

（2）．

【解析】

（1）由题意是线段的垂直平分线，

所以，

所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，

∴，，，

故点的轨迹方程是．

（2）设直线：

，，，

直线与圆相切，得，即，

联立，消去得：

，

，得，

，，

∴

，

所以，得，

∴，解得或，

故所求范围为．

4．已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2．

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，，求的取值范围．

【答案】

（1），；

（2）．

【解析】

（1）设点到轴距离为，则，易知当线段在轴时，，，

，，，，，

所以椭圆方程为，圆的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时；

设直线方程为：

，直线为圆的切线，，，

直线与椭圆联立，，得，

判别式，由韦达定理得：

，

所以弦长，令，

所以；

综上，，

5．如图，己知、是椭圆的左、右焦点，直线经过左焦点，且与椭圆交，两点，的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？

若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）不存在，见解析．

【解析】

（1）设椭圆的半焦距为，因为直线与轴的交点为，故．

又的周长为，即，故，所以，．

因此，椭圆的标准方程为．

（2）不存在．理由如下：

先用反证法证明不可能为底边，即．

由题意知，设，，假设，则，

又，，代入上式，消去，得：

．

因为直线斜率存在，所以直线不垂直于轴，所以，故．

（与，，矛盾）

联立方程，得：

，所以矛盾．

故．

再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰．

假设为等腰直角三角形，不妨设为直角顶点．

设，则，在中，由勾股定理得：

，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．