北京中考数学解析.docx
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北京中考数学解析
北京市2018年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟．
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题使用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题分）（第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．（2018·北京，1，2）下列几何体中，是圆柱的为（）
【答案】A．
【解析】易知A、B、C、D四个选项中的几何体分别是圆柱、圆锥、棱柱和棱锥，故选A．
【知识点】简单几何体的识别；圆柱
2．（2018·北京，2，2）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．
＞4B．c－b＞0C．ac＞0D．a＋c＞0
【答案】B．
【解析】由图可知－4＜a＜－3，－1＜b＜0，2＜c＜3，从而3＜
＜4，c－b＞0，ac＜0，a＋c＜0，故选B．
【知识点】实数的大小比较；数轴；绝对值；有理数的运算法则
3．（2018·北京，3，2）方程组
的解为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】方程②－①×3，得－5y＝5，y＝－1，并代入①，得x＋1＝3，x＝2．故原方程组的解为
，因此选D．
【知识点】二元一次方程的解法
4．（2018·北京，4，2）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）
A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2
【答案】C．
【解析】∵7140×35＝249900≈250000＝2.5×105，∴选C．
【知识点】科学记数法
5．（2018·北京，5，2）若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为（）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【答案】C．
【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴该正多边形的边数n＝
＝6．∴正多边形的的内角和＝（6－2）×180°＝720°．故选C．
【知识点】多边形的内角和；正多边形
6．（2018·北京，6，2）如果a－b＝2
，那么代数式
的值为（）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】A．
【解析】原式＝
＝
，把a－b＝2
代入，原式＝
＝
，故选A．
【知识点】分式的运算；二次根式；整体思想；代数式的求值
7．（2018·北京，7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：
m）与水平距离x（单位：
m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）
A．10mB．15mC．20mD．22.5m
【答案】B．
【解析】解法一：
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得
，解得
，从而对称轴为直线x＝－
＝－
＝15，故选B．
解法二：
将图上三个点（0，54），（20，57.9），（40，46.2）用光滑的曲线顺次连接起来，会发现对称轴位于直线x＝20的左侧，非常靠近直线x＝20，因此从选项中可知对称轴为直线x＝15，故选B．
【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想
8．（2018·北京，8，2）上图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示北京天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（－6，－3），表示左安门的点的坐标为（5，－6）；
②当表示北京天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（－12，－5），表示左安门的点的坐标为（10，－12）；
③当表示北京天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（－11，－5），表示左安门的点的坐标为（11，－11）；
④当表示北京天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（－16.5，－7.5），表示左安门的点的坐标为（16.5，－16.5）．
上述结论中，所有正确的结论的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④
【答案】D．
【解析】从图上可知①表示的点的位置正确，从而在①的基础上，将①中的坐标扩大到原来的2倍，进而得到②表示点的位置正确；在②的基础上，先由天安门位置来确定原点位置，再看广安门与左安门的位置的表示，发现③④均正确，故选D．
【知识点】平面直角坐标系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2018·北京，9，2）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】＞．
【解析】如下图，以小正方形的边长为半径、点A为圆心，作圆，交AC、AB、AE、AD的边分别于点F、G、M、N，易知FG＞MN，故∠BAC＞∠DAE．
【知识点】网格图；角的大小比较；
10．（2018·北京，10，2）若
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
【答案】x≥0．
【解析】∵
在实数范围内有意义，∴x≥0．
【知识点】二次根式有意义的条件
11．（2018·北京，11，2）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝_______，b＝_______，c＝_______．
【答案】答案不唯一，如1，2，－1．
【解析】本题答案不唯一，只要c为负数均可，主要考查不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，如“若1＜2，则1×（－1）＜2×（－1）”是错误的，因此，此时的a，b，c的值分别为1，2，－1．
【知识点】一元一次不等式的性质；命题；反例
12．（2018·北京，12，2）如图，点A，B，C，D在⊙O上，弧CB＝弧CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝________°．
【答案】70°．
【解析】∵弧CB＝弧CD，∠CAD＝30°，∴弧CB与弧CD的度数都为60°．∵∠ACD＝50°，∴弧AD的度数都为100°．∴劣弧AB的度数都为140°．∴∠ADB＝
×140°＝70°．
【知识点】圆周角定理；圆的有关性质
13．（2018·北京，13，2）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为_________．
【答案】
．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝
＝5．
∵E是边AB的中点，
∴AE＝
AB＝2．
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF．
∴
，即
．
∴CF＝
．
【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的性质与判定
14．（2018·北京，14，2）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时时间，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：
分钟）的数据，统计如下：
早高峰期间，乘坐______（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
【答案】C．
【解析】由统计表可知，C线路中从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的多达477辆，远远高地A、B两条线路，故答案为C线路．
【知识点】统计
15．（2018·北京，15，2）某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船
（限乘两人）
四人船
（限乘四人）
六人船
（限六两人）
八人船
（限乘八人）
每船租金
（元/小时）
90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为__________元．
【答案】380．
【解析】从表中可知船越大，平均每人每小时的费用越小，再综合考虑时间因素，租用
4人船、6人船、8人船各1只且游玩1小时时租金最少，为380元．
【知识点】最优化方案设计；分类思想
16．（2018·北京，16，2）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第__________．
【答案】3．
【解析】从第一张表上可知我国创新产出排名位于全球第11位，再从第二张表中找到我国的位置，可看出我国创新效率排名全球第3，故答案为3．
【知识点】平面直角坐标系；点的坐标的应用．
三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．（2018·北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
直线l及直线l外一点P．
求作：
直线PQ，使得PQ∥l．
作法：
如图：
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延
长线于点B；
②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AB＝_______，CB＝_______，
∴PQ∥l（________________）（填推理的依据）．
【思路分析】
（1）利用尺规作图，先作射线BC，再在射线BC上截取线段CQ＝CB；最后过点P、Q作直线即可；
（2）由作图易知PA＝AB，CQ＝CB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线．
【解题过程】
17．解：
（1）如下图所示：
（2）PA，CQ；依据：
①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；③两点确定一条直线．
【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理
18．（2018·北京，18，5）计算：
4sin45°＋（π－2）0－
＋
．
【思路分析】分别计算sin45°＝
，（π－2）0＝1，
＝3
，
＝1，然后按实数的运算法则及运算顺序进行计算即可，注意结果的化简．
【解题过程】
18．解：
原式＝4×
＋1－3
＋1＝2
＋1－3
＋1＝2－
．
【知识点】实数的运算；三角函数；零指数；二次根式；绝对值
19．（2018·北京，19，5）解不等式组：
．
【思路分析】先分别解每一个不等式，再根据“口诀歌”或利用数轴求两个一元一次不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
【解题过程】
19．解：
不等式3（x＋1）＞x－1的解集为3x＋3＞x－1，
3x－x＞－1－3，
2x＞－4，
x＞－2；
不等式
的解集为x＋9＞4x，
x－4x＞－9，
－3x＞－9，
x＜3．
∴原不等式组的解集为－2＜x＜3．
【知识点】一元一次不等式组的解法
20．（2018·北京，20，5）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0．
（1）当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【思路分析】
（1）先算出该方程的根的判别式△的值，再将b＝a＋2代入并判断判别式的符号，最后根据一元二次方程的根的判别式定理，就能判断该方程的根的情况了；
（2）本题答案不唯一，只要取一组a，b的值，使方程的根的判别式的值为0即可，然后再解此方程即可．
【解题过程】
20．解：
（1）∵b＝a＋2，
∴△＝b2－4×a×1＝（a＋2）2－4a＝a2＋4＞0．
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，如当a＝1，b＝2时，原方程为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1．
【知识点】一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式
21．（2018·北京，21，5）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：
四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝
，BD＝2，求OE的长．
【思路分析】
（1）先利用角平分线定义及平行线性质，得到AB＝DC；再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，最后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到要证的结论；
（2）先利用菱形的性质，得到OA＝OC，OB＝OD＝
DB＝1，AC⊥BD，进而由勾股定理，求出OA的长，进而求得AC的长，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出OE的长．
【解题过程】
21．
（1）证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC．
∵AB∥DC，
∴∠DCA＝∠BAC．
∴∠DAC＝∠DCA．
∴DA＝DC．
又∵AB＝AD，
∴AB＝DC．
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝
DB＝1，AC⊥BD．
在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝
＝
＝2．
∴AC＝2OA＝4．
∵CE⊥AB，OA＝OC，
∴OE＝
AC＝2．
【知识点】菱形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形的性质与判定
22．（2018·北京，22，5）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：
OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
【思路分析】
（1）利用切线长定理，得PC＝PD，从而点P在线段CD的垂直平分线上，再由OC＝OD，得点O在线段CD的垂直平分线上，于是OP⊥CD．
（2）先由∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠COD＝60°，进而∠DOP＝30°，最后用cos∠DOP＝
，将相关数据代入求出OP的长．
【解题过程】
22．
（1）证明：
如下图，连接OC、OD．
∵PC、PD切⊙O于点C、D，
∴PC＝PD．
∴点P在线段CD的垂直平分线上．
∵OC＝OD，
∴点O在线段CD的垂直平分线上．
∴OP⊥CD．
（2）解：
如下图，连接AD，BC．
∵OA＝OD，∠DAB＝50°，
∴∠DOA＝80°．
同理，∠BOC＝40°．
∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°．
∵OC＝OD，PD＝PC，OP＝OP，
∴△OPC≌△OPD．
∴∠POD＝∠POC＝30°．
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥DP．
在Rt△OPD中，cos∠DOP＝
，
∴OP＝
＝
．
【知识点】与圆有关的位置关系；圆的切线的性质；解直角三角形；全等三角形的性质与判定；三角形内角和定理；线段的垂直平分线的判定定理；切线长定理
23．（2018·北京，23，6）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝
（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：
y＝
x＋b与图象G交于点B，与y轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．
①当b＝－1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有4个整点，结合图象，求b的取值范围．
【思路分析】
（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值；
（2）①利用函数图像找出整点个数；②分两种情况讨论，并将点（5，0）、（1，2）、（1，3）代入y＝
x＋b，求出分界线的相应b的值，最后利用数形结合思想锁定b的取值范围．
【解题过程】
23．解：
（1）∵函数y＝
（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴
，解得k＝4．
（2）①如下图所示：
由图可知区域W内的整点个数有3个：
（1，0），（2，0），（3，0）．
②如下图可知，当直线BC过点（5，0）时，
＋b＝0，b＝－
，此时，区域W内的整点个数有4个：
（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），而－
≤b＜－1；当直线BC过点（1，2）时，
＋b＝2，b＝
；当直线BC过点（1，3）时，
＋b＝3，b＝
，此时，区域W内的整点个数有4个：
（1，1），（2，1），（3，1），（1，2），而
＜b≤
．综上，－
≤b＜－1或
＜b≤
．
【知识点】反比例函数的图象与性质；一次函数的应用；数形结合思想；待定系数法
24．（2018·北京，24，6）如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.62
4.67
3.76
2.65
3.18
4.37
y2/cm
5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为________cm．
【思路分析】
（1）利用描点法先画出函数y1的图象；
（2）利用y1的图象，确定当x＝3.00时对应的函数y1的对应值；（3）结合图形与图象，利用分类思想锁定△APC为等腰三角形时，AP的长度的近似．
【解题过程】
24．解：
（1）3.06；（答案不唯一，只要在3.00≤y1≤3.10均可）
（2）如下图所示：
（3）3.08cm或5.02cm或5.75cm，如下图所示：
【知识点】函数图象的画法；估算；等腰三角形；分类思想；探究性问题
25．（2018·北京，25，6）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：
40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，）70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：
707171717676777878.578.579797979.5
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填空“A”或“B”），理由是____________________________；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
【思路分析】
（1）观察频数分布直方图，看这组数据的中位数落在哪一组，然后利用中位数定义找出这两个数据并求它们的平均数即可；
（2）将这两科成绩与该科成绩的中位数比较，高于中位数的靠前；（3）根据样本中A课程成绩超过75.8分的人数去估计该年级学生中A课程成绩超过75.8分的人数即可．
【解题过程】
25．解：
（1）78.75；（排序后第30与第31个数据的平均数，即（78.5＋79）÷2）
（2）B，B课程的成绩超过中位数；
（3）∵300×
＝180（人），
∴计A课程成绩超过75.8分约有180人．
【知识点】统计；中位数；平均数；众数；用样本估计总体；频数分布直方图
26．（2018·北京，26，6）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【思路分析】
（1）先求出直线y＝4x＋4与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再利用点的平移规律，求出点C的坐标；
（2）将A点坐标代入抛物线的解析式，得b＝－2a，再利用抛物线的对称轴公式或用配方法求出抛物线的对称轴；（3）根据
（1）、
（2）可知抛物线过点（－1，0）和（3，0），再三种情况即开口向上或下及抛物线的顶点在线段BC上，将特殊点的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，最后利用数形结合思想得到符合条件的a的取值范围．
【解题过程】
26．解：
（1）∵直线y＝4x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（－1，0），B（0，4）．
∵将点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（0＋5，4），即C（5，4）．
（2）∵抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，
∴a－b－3a＝0．
∴b＝－2a．
∴抛物线的对称轴为直线x＝－
＝－
＝1，即x＝1．
（3）①若a＞0，易知抛物线过点（－1，0），（3，0），故令其解析式为y＝a（x＋1）（x－3），将点（5，4）代入，得4＝a•（5＋1）（5－3），解得a＝
．故抛物线与线段BC恰有一个公共点，可知a的取值范围是a≥
．如下图所示．
②若a＜0，如下图，当x＝0，y＝－3a，即抛物线与y轴交于（0，－3a）要使该抛物线与线段BC只有一个公共点，就必须－3a＞4，此时a＜－
．
③若抛物线的顶点在线段BC上时，此时顶点坐标为（1，4），从而解析式为y＝a（x－1）2＋4，将A点坐标代入，解得a＝－1，如下图所示：
综上，a的取值范围是a≥
或a＜－
或a＝－1．
【知识点】一次函数；二次函数；点的坐标平移；二次函数的图象与线段的交点；分类思想
27．（2018·北京，27，7）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：
GF＝GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
【思路分析】
（1）先利用轴对称性质，得到DA＝DF，∠DFE＝∠
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