北京市中考数学试卷.docx
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2014年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的．
1.2的相反数是（）
A.2
B.−2
C.−12
D.12
2.据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（）
A.0.3×106
B.3×105
C.3×106
D.30×104
3.如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）
A.16
B.14
C.13
D.12
4.如图是几何体的三视图，该几何体是（）
A.圆锥
B.圆柱
C.正三棱柱
D.正三棱锥
5.某篮球队12名队员的年龄如表：
年龄（岁）
18
19
20
21
人数
5
4
1
2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）
A.18，19
B.19，19
C.18，19.5
D.19，19.5
6.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：
平方米）与工作时间t（单位：
小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）
A.40平方米
B.50平方米
C.80平方米
D.100平方米
7.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘，OC=4，CD的长为（）
A.22
B.4
C.42
D.8
8.已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9.分解因式：
ax4−9ay2=________．
10.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为________m．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=kx （k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为________．
12.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x, y），我们把点P′（−y+1, x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3, 1），则点A3的坐标为________，点A2014的坐标为________；若点A1的坐标为（a, b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13.如图，点B在线段AD上，BC // DE，AB=ED，BC=DB．求证：
∠A=∠E．
14.计算：
（6−π）0+（−15）−1−3tan30∘+|−3|
15.解不等式12x−1≤23x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
16.已知x−y=3，求代数式（x+1）2−2x+y（y−2x）的值．
17.已知关于x的方程mx2−（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：
方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
18.列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：
四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，求tan∠ADP的值．
20.根据某研究院公布的2009∼2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
2009∼2013年成年国民
年人均阅读图书数量统计表
年份
年人均阅读图书数量（本）
2009
3.88
2010
4.12
2011
4.35
2012
4.56
2013
4.78
根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出扇形统计图中m的值；
（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为________本；
（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为________本．
21.如图，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：
AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．
22.阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75∘，∠CAD=30∘，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE // AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：
∠ACE的度数为________，AC的长为________．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90∘，∠CAD=30∘，∠ADC=75∘，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0, −2），B（3, 4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
24.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=20∘，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45∘<∠PAB<90∘，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
25.对某一个函数给出如下定义：
若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数 y=1x（x>0）和y=x+1（−4≤x≤2）是不是有界函数？
若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y=−x+1（a≤x≤b, b>a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数 y=x2（−1≤x≤m, m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足34≤t≤1？
答案
1. 【答案】B
【解析】根据相反数的概念作答即可．
【解答】解：
根据相反数的定义可知：
2的相反数是−2．
故选：
B．
2. 【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】解：
300 000=3×105，
故选：
B．
3. 【答案】D
【解析】由有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：
∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，
∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：
36=12．
故选：
D．
4. 【答案】C
【解析】如图：
该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
【解答】解：
该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，
则可得出该几何体为三棱柱．
故选：
C．
5. 【答案】A
【解析】根据众数及平均数的概念求解．
【解答】解：
年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；
平均数=18×5+19×4+20×1+21×212=19．
故选：
A．
6. 【答案】B
【解析】根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160−60=100平方米，然后可得绿化速度．
【解答】解：
根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160−60=100平方米，
每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）．
故选：
B．
7. 【答案】C
【解析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45∘，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=22OC=22，然后利用CD=2CE进行计算．
【解答】
解：
∵∠A=22.5∘，
∴∠BOC=2∠A=45∘，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=22OC=22，
∴CD=2CE=42．
故选：
C．
8. 【答案】A
【解析】根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到y随x的增大的变化关系，然后选择答案即可．
【解答】解：
A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，
则y=（32a）2+（32a−x）2（aB、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；
C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，
在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；
D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．
故选：
A．
9. 【答案】a（x2−3y）（x2+3y）
【解析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：
ax4−9ay2=a（x4−9y2）=a（x2−3y）（x2+3y）．
故答案为：
a（x2−3y）（x2+3y）．
10. 【答案】15
【解析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：
设旗杆高度为x米，
由题意得，1.83=x25，
解得x=15．
故答案为：
15．
11. 【答案】y=1x，y=kx（0【解析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2, 2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．
【解答】解：
∵正方形OABC的边长为2，
∴B点坐标为（2, 2），
当函数y=kx （k≠0）过B点时，k=2×2=4，
∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=1x．
故答案为：
y=1x，y=kx（012. 【答案】（−3, 1）,（0, 4）,−1【解析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可；再写出点A1（a, b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【解答】解：
∵A1的坐标为（3, 1），
∴A2（0, 4），A3（−3, 1），A4（0, −2），A5（3, 1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2014÷4=503余2，
∴点A2014的坐标与A2的坐标相同，为（0, 4）；
∵点A1的坐标为（a, b），
∴A2（−b+1, a+1），A3（−a, −b+2），A4（b−1, −a+1），A5（a, b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴a+1>0−a+1>0，−b+2>0b>0，
解得−1故答案为：
（−3, 1），（0, 4）；−113. 【答案】证明：
如图，∵BC // DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
AB=DE∠ABC=∠BDEBC=BD
∴△ABC≅△EDB（SAS），
∴∠A=∠E．
【解析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≅△EDB，则对应角相等：
∠A=∠E．
【解答】证明：
如图，∵BC // DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
AB=DE∠ABC=∠BDEBC=BD
∴△ABC≅△EDB（SAS），
∴∠A=∠E．
14. 【答案】解：
原式=1−5−3+3
=−4．
【解析】本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
原式=1−5−3+3
=−4．
15. 【答案】解：
去分母，得：
3x−6≤4x−3，
移项，得：
3x−4x≤6−3，
合并同类项，得：
−x≤3，
系数化成1得：
x≥−3．
则解集在数轴上表示出来为：
．
【解析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．
【解答】解：
去分母，得：
3x−6≤4x−3，
移项，得：
3x−4x≤6−3，
合并同类项，得：
−x≤3，
系数化成1得：
x≥−3．
则解集在数轴上表示出来为：
．
16. 【答案】解：
∵x−y=3，
∴（x+1）2−2x+y（y−2x）
=x2+2x+1−2x+y2−2xy
=x2+y2−2xy+1
=（x−y）2+1
=（3）2+1
=3+1
=4．
【解析】先把代数式计算，进一步化简，再整体代入x−y=3，求得数值即可．
【解答】解：
∵x−y=3，
∴（x+1）2−2x+y（y−2x）
=x2+2x+1−2x+y2−2xy
=x2+y2−2xy+1
=（x−y）2+1
=（3）2+1
=3+1
=4．
17. 【答案】
（1）证明：
∵m≠0，
△=（m+2）2−4m×2
=m2−4m+4
=（m−2）2，
而（m−2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；;
（2）解：
（x−1）（mx−2）=0，
x−1=0或mx−2=0，
∴x1=1，x2=2m，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
【解析】
（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2−4m×2=（m−2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；;
（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=2m，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【解答】
（1）证明：
∵m≠0，
△=（m+2）2−4m×2
=m2−4m+4
=（m−2）2，
而（m−2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；;
（2）解：
（x−1）（mx−2）=0，
x−1=0或mx−2=0，
∴x1=1，x2=2m，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
18. 【答案】纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．
【解析】设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，所行的路程相等列出方程解决问题．
【解答】解：
设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，由题意得
108x+0.54=27x，
解得：
x=0.18
经检验x=0.18为原方程的解
19. 【答案】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．;
（2）解：
作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60∘，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30∘，AP⊥BF，
∴AP=12AB=2，
∴PH=3，DH=5，
∴tan∠ADP=PHDH=35．
【解析】
（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；;
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60∘，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30∘，AP⊥BF，从而得到PH=3，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．;
（2）解：
作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60∘，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30∘，AP⊥BF，
∴AP=12AB=2，
∴PH=3，DH=5，
∴tan∠ADP=PHDH=35．
20. 【答案】5；;;（3）2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为：
990×5=4950（本）．
故答案为：
4950．
【解析】
（1）1直接减去个部分的百分数即可；;
（2）直接利用从2009到2013年平均增长数量，求出即可；;（3）根据
（2）的结果直接计算．
【解答】解：
（1）m%=1−1.0%−15.6%−2.4%−15.0%=66%，
∴m=66．;
（2）∵年平均增长幅度为（4.78−3.88）÷4=0.225（本），
∴2014年的阅读量为：
4.78+0.225≈5（本）；
;（3）2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为：
990×5=4950（本）．
21. 【答案】
（1）证明：
连接OC，
∵C是AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC // BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；;
（2）解：
∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，
∠CEO=∠FEBOE=BE∠COE=∠FBE，
∴△COE≅△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=2，
∴BF=2，
∴AF=AB2+BF2=25，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴ABBH=AFBF，
∴AB⋅BF=AF⋅BH，
∴BH=AB⋅BFAF=4×225=455．
【解析】
（1）连接OC，由C是AB的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC // BD，即可证明AC=CD；;
（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≅△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=AB2+BF2，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．
【解答】
（1）证明：
连接OC，
∵C是AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC // BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；;
（2）解：
∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，
∠CEO=∠FEBOE=BE∠COE=∠FBE，
∴△COE≅△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=2，
∴BF=2，
∴AF=AB2+BF2=25，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴ABBH=AFBF，
∴AB⋅BF=AF⋅BH，
∴BH=AB⋅BFAF=4×225=455．
22. 【答案】75∘,3
【解析】根据相似的三角形的判定与性质，可得ABDF=AEEF=BEDE=2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．
【解答】
解：
∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180∘−75∘−30∘=75∘，
∠E=75∘，BD=2DC，
∴AD=2DE，
AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3，
∠ACE=75∘，AC的长为3．
过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠BAC=90∘=∠DFA，
∴AB // DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴ABDF=AEEF=BEDE=2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30∘，∠ADC=75∘，
∴∠ACD=75∘，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90∘，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30∘，
∴DF=AFtan30∘=3，AD=2DF=23．
∴AC=AD=23，AB=2DF=23．
∴BC=AB2+AC2=26．
23. 【答案】
解：
（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0, −2），B（3, 4），
代入得：
n=−218+3m+n=4，
解得：
m=−4n=−2，
∴抛物线解析式为y=2x2−4x−2，对称轴为直线x=1；;
（2）由题意得：
C（−3, −4），二次函数y=2x2−4x−2的最小值为−4，
由函数图象得出D纵坐标最小值为−4，
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B与C坐标代入得：
3k+b=4−3k+b=−4，
解得：
k=43，b=0，
∴直线BC解析式为y=43x，
当x=1时，y=43，
则t的范围为−4≤t≤43．
【解析】
（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；;
（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．
【解答】
解：
（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0, −2），B（3, 4），
代入得：
n=−218+3m+n=4，
解得：
m=−4n=−2，
∴抛物线解析式为y=2x2−4x−2，对称轴为直线x=1；;
（2）由题意得：
C（−3, −4），二次函数y=2x2−4x−2的最小值为−4，
由函数图象得出D纵坐标最小值为−4，
设直线BC解析式为y=kx+b，
将B与C坐标代入得：
3k+b=4−3k+b=−4，
解得：
k=43，b=0，
∴直线BC解析式为y=43x，
当x=1时，y=43，
则t的范围为−4≤t≤43．
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