高等代数北大版课件9.7向量到子空间的距离.ppt

高等代数北大版课件9.7向量到子空间的距离.ppt

《高等代数北大版课件9.7向量到子空间的距离.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数北大版课件9.7向量到子空间的距离.ppt（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,一、向量到子空间的距离,9.7向量到子空间的距离,二、最小二乘法,向量间的距离,长度称为向量和的距离，,基本性质,（i）,（ii）并且仅当的等号才成立；,（iii）（三角形不等式）,一、向量到子空间的距离,定义,记为,2.向量到子空间的距离,

（1）设为一固定向量，如果与子空间中,每个向量垂直，称垂直于子空间记作,如果则,注:

（2）向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.,如图示意，对给定，设是中的满足,的向量，则,对有,因是子空间，,则,由勾股定理,证明：

故,所以,二、最小二乘法,问题提出:

实系数线性方程组,

（1）,即任意都可能使,

（2）,不等于零,可能无解，,设法找实数组使

（2）最小,这样的为方程组

（1）的最小二乘解，,此问题叫最小二乘法问题.,最小二乘法的表示:

设,（3）,用距离的概念，

（2）就是,由（3）,设则,要找使

（2）最小，等价于找子空间,中向量使到它的距离比到,中其它向量的距离都短.,设,这等价于,（4）,即,这样（4）等价于,（5）,为此必,或,这就是最小二乘解所满足的代数方程.,已知某种材料在生产过程中的废品率与某种,化学成份有关下列表中记载了某工厂生产,中与相应的的几次数值：

找出对的一个近似公式.,例题,把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势,近于一条直线因此我们决定选取的一次式,来表达当然最好能选到适当的,使得下面的等式,解：

都成立.,实际上是不可能的任何代入上面各式都发生,些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方,和最小，即找使,最小.,易知,最小二乘解所满足的方程就是,解得,（取三位有效数字）.,即为,