第4讲 全等三角形的性质及判定一.docx

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第4讲全等三角形的性质及判定一

第4讲全等三角形的性质及判定

（一）

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国-人教版

课时时长（分钟）

90分钟

知识点

1.全等图形

2.全等三角形的判定与性质

3.直角三角形全等的判定

4.全等三角形的应用

教学目标

1.了解全等三角形的概念,熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂

图形中发现分解出这些基本图形；

2.掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质

3.会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题

教学重点

1.学习综合证明的格式。

2.提高利用全等三角形的性质与判定分析、解决问题的能力。

教学难点

应用全等三角形的性质与判定解决有关问题

知识讲解

1．全等三角形的概念及性质

（1）全等形的概念：

两个能够___________的图形叫做全等形。

（2）全等形的性质：

全等图形的______和_________都相同。

（3）全等三角形的概念：

能够______的两个三角形叫做全等三角形。

如果

能与

全等，记作

_____

。

（4）全等三角形的对应元素：

两个三角形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做_____边，互相重合的角叫做_____角。

（5）表示方法：

符号“____”读作“全等于”，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，如图，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，AB和DE、BC和EF，AC和DF是____，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是______。

（6）全等三角形的性质：

全等三角形的_______相等；全等三角形的_______相等。

2.三角形全等的判定

（1）边边边公理：

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“_______”。

①书写格式：

在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并用大括号将它们括起来，如：

在

和

中，

，∴

≌

（SSS）

（2）边角边公理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“______”。

（3）角边角公理：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“______”。

（4）角角边定理：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“_____”。

（5）直角三角形全等的条件：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“____”。

考点/易错点1

用“SAS”判断两个三角形全等的条件是两条边以及这两条边的_____角_____相等，应特别注意其中的夹角是两一直边的______角而不是其中一边的对角。

用“ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的____边____相等；用“AAS”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边，

考点/易错点2

判断两个三角形全等常用的方法如下表：

已知条件

可判定方法

寻找条件

两边对应相等（SS）

__________

第三边或两边的夹角对应相等

一边及其邻角对应相等（SA）

___________

已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等

一边及其对角对应相等（SA）

_______

另一个角对应相等

两角对应相等（AA）

_________

两角的夹边或其中一角的对边对应相等

考点/易错点3

应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“_____”。

一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于_______三角形全等的判定，对于一般三角形不适用。

考点/易错点4

两个三角形不一定全等的情况：

①在两个三角形中三对边和三对内角对应相等这六个元素中满足其中一个或两个对应相等，那么这两个三角形不一定全等。

②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

③有三个内角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

三、例题精析

【例题1】

【题干】图中是大小相等的两个矩形，请你判断出哪一个阴影部分的面积较大（　　）

A．

甲图的阴影面积大

B．

乙图的阴影面积大

C．

甲、乙图的阴影面积相等

D．

以上都不对

【变式1】以如图方格纸中的3个格点为顶点，有多少个不全等的三角形（　　）

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

【变式2】全等三角形又叫做合同三角形．平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如△ABC和△A′B′C′是全等三角形，且点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应．当沿周界A﹣B﹣C﹣A及A′﹣B′﹣C′﹣A′环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②）．两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻转180度．下列各组合同三角形中，属

于镜面合同三角形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【例题2】

【题干】如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，在下列结论中，不正确的是（　　）

A．

∠EAB=∠FAC

B．

BC=EF

C．

∠BAC=∠CAF

D．

∠AFE=∠ACB

【变式1】如图，△ABD≌△ACE，∠B=50°，∠AEC=110°，

则∠DAE=（　　）

A．

30°

B．

40°

C．

50°

D．

60°

【变式2】在△ABC中，点A的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣5，1），如果△ABD与△ABC全等，求点D的坐标．

【例题3】

【题干】尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：

以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于

CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）

A．

SAS

B．

ASA

C．

AAS

D．

SSS

【变式1】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？

（　　）

A．

SAS

B．

ASA

C．

SSS

D．

AAS

【变式2】（2013•台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？

（　　）

A．

△ACF

B．

△ADE

C．

△ABC

D．

△BCF

【例题4】

【题干】（2012•通州区一模）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，求证：

△ABD≌△ACE．

【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．

试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

【变式2】如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC于E．

求证：

BD+CE＞DE．

【例题5】

【题干】如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？

若有，请找出并证明．

【变式1】AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：

AB=ED．

【变式2】如图，△ABC中，∠B=∠C，D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B，求证：

ED=EF．

【例题6】

【题干】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．

求证：

△BEC≌△CDA．

【变式1】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：

DE=AD+BE．

换，可得出DE=AD+BE．

【变式2】如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE的长为（　　）

A．

0.8

B．

1

C．

1.5

D．

4.2

【例题7】

【题干】OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM=PN，∠AOB=68°，求∠MPN的度数．

【变式1】如图，在△ABC中，点Q、P分别是边AC、BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，则下列结论：

①AP平分∠BAC；②QP∥AB；③AS=AR；④△BPR≌△QSP，其中正确的有（　　）

A．

①②③

B．

②③④

C．

①②④

D．

①③④

【变式2】已知：

点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，求证：

AB=AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：

AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？

请画出图表示．

【例题8】

【题干】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）

A．

带①去

B．

带②去

C．

带③去

D．

带①和②去

【变式1】如图，小明为了测量河的宽度，他站在河边的点C，头顶为点D，面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A，然后他姿势不变，在原地方转了180°，正好看见了他所在的岸上的一块石头点B，他测出BC=30m，你能猜出河有多宽吗？

说说理由．

【变式2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠CBA=32°，则∠FED=　　度，∠EFD=　　度．

．

课堂运用

【基础】

1.如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3为（　　）

A．

90°

B．

120°

C．

135°

D．

150°

2.下列各组图形中，是全等形的是（　　）

A．

一个钝角相等的两个等腰三角形

B．

两个含60°的直角三角形

C．

边长为3和5的两个等腰三角形

D．

腰对应相等的两个直角三角形

3.如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠BCD等于（　　）

A．

80°

B．

60°

C．

40°

D．

20°

4.如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：

（1）AC=AF；

（2）∠FAB=

∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

5.（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．

BC=EC，∠B=∠E

B．

BC=EC，AC=DC

C．

BC=DC，∠A=∠D

D．

∠B=∠E，∠A=∠D

6.如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，若∠A：

∠C=5：

3，则∠DBC=（　　）

A．

30°

B．

25°

C．

20°

D．

15°

【巩固】

1.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AC上一点，且CD=CB=AB，DE⊥AC交AB于E点．求证：

AD=DE=EB．

2.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE．

求证：

∠B+∠ADC=180°．

3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：

AE=CD；

（2）若AC=12cm，求BD的长．

课程小结

1.全等图形的识别

2.全等图形的性质

3.用“边边边”（SSS）证明三角形全等

4.用“边角边”（SAS）证明三角形全等

5.用“角边角”（ASA）证明三角形全等

6.用“角角边”（AAS）证明三角形全等

7.直角三角形全等的证明（HL）

8.全等三角形的应用

课后评价表：

一出勤情况

准时（）迟到（）旷课（）

__________________________________________________________________

二课上表现情况

优（）良（）差（）

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

三课后作业完成情况

全部完成（）部分完成（）未完成（）

__________________________________________________________________________________________________________________

家长签字：

_______________________