三角形全等性质和判定.docx

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三角形全等性质和判定

一.本周教学内容：

第十四章复习三角形全等的性质和判定、学会运用五种判定全等的方法

二.教学目标：

1.掌握三角形全等的条件及其运用，学会有条理的思考和简单的推理、表达。

2.会简单的尺规作图。

3.通过三角形全等判定方法的运用过程，掌握应用方法，发展几何思维能力。

4.通过三角形全等定理的学习，体会三角形全等在实际问题中的运用。

三.教学重点和难点：

重点：

寻找三角形全等的条件，正确运用三角形全等的判定方法。

难点：

由条件正确地选择合理的三角形全等的判定方法。

关键：

注重分析和观察，充分运用综合分析法来进行几何的简单推理。

四.知识网络图：

五.知识点复习：

（一）三角形全等

定义：

如图△ABC和△DEF能够完全重合，那么△ABC和△DEF就是全等三角形。

可记作△ABC≌△DEF，读作三角形ABC全等于三角形DEF。

其中对应顶点是A和D，B和E，C和F；对应角是∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F；对应边是AB和DE，AC和DF，BC和EF。

注意：

寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：

把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上。

（二）三角形全等的识别方法。

1.如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS。

2.如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS。

3.如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA。

4.如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS。

5.如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL。

（三）不能判定三角形全等的方法。

以下两种方法是不能判定三角形全等的，有些同学容易混淆。

1.“SSA”

举反例：

如图AC＝AD

△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但显然△ABC与△ABD不全等。

2.“AAA”——举反例：

形状相同，但大小不同的三角板。

（四）三角形全等的证题思路：

【典型例题】

例1.【99江西】已知，如图，BC＝BD，∠C＝∠D，求证：

AC＝AD。

有一同学证法如下：

证：

连结AB

　　在ΔABC和ΔABD中

　　BC=BD

　　∠C=∠D

　　AB=AB

　　∴ΔABC≌ΔABD（SAS）

　　∴AC=AD

你认为这位同学的证法对吗？

如果错误，错在哪里，应怎样证明？

答：

证法错误。

SAS定理应用错误。

证明：

连结CD

∵BC=BD∴∠BCD=∠BDC

∴∠ACB=∠ADB∴∠ACB＋∠BCD=∠ADB＋∠BDC

∴∠ACD=∠ADC∴AC=AD

例2.已知：

AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试说明：

BD=CD

解：

在△ABE和△ACE中

AB=AC，EB=EC，AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SSS）

∴∠BAE＝∠CAE

在△ABD和△ACD中

∵AB=AC∠BAE=∠CAEAD=AD

∴△ABD≌△ACD（SAS）

∴BD=CD

例3.说一说：

在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。

在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。

你知道他用的是什么方法？

其中的原理是什么？

答：

这个小战士正是利用了三角形全等的知识，通过可丈量距离的长度来估计自己与敌人的碉堡的距离。

例4.如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B是对应角，AO和BO是对应边，写出其它的对应角，对应边。

解：

∠C和∠D，∠COA和∠DOB是对应角。

　　AC和BD，CO和DO是对应边。

说明：

此题同学们容易出现的错误是认为∠C与∠B是对应角，∠A与∠D是对应角。

例5.如图所示，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF＝CE。

求证：

（1）△ABC是等腰三角形

（2）∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论。

解：

（1）证明：

∵DE⊥AC，DF⊥AB

　　∴∠BFD＝∠DEC＝90°

　　∵D为BC中点

　　∴BD＝DC

　　在Rt△BFD与Rt△CED中

　　∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）

　　∴∠B＝∠C

　　∴AB＝AC

　　即△ABC是等腰三角形

（2）当∠A＝90°时，四边形AFDE是正方形

　　∵∠AFD＝∠AED＝∠A＝90°

　　∴四边形AFDE是矩形

　　∵△BFD≌△CED

　　∴FD＝ED

　　∴四边形AFDE是正方形

例6.试一试

已知：

A、B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A、B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。

答：

可以根据三角形全等设计合适的方法测量AB之间的距离：

图3

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一.填空题

1.在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝2∠B，则∠A＝_______，∠B＝________。

2.图中的两个三角形全等，AB和CD，BC和DA是对应边，用符号表示这两个三角形全等是，还有一组对应边是和，对应角是∠BAC和，∠B和，∠ACB和。

3.木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB、CD两个木条），这样做所依据的数学道理是___________________。

4.已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。

说出下列判断正确的理由：

（1）∠EAC=∠DAB；

（2）△ABD≌△ACE；

（3）BD=CE。

解：

（1）∵∠1=∠2（）

∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD（）

∴∠EAC=∠DAB；（）

（2）在△ABD和△ACE中，

（）

∴△ABD≌△ACE（）；

（3）∵△ABD≌△ACE

∴BD=CE（）。

5.如图所示，AC，BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形有_______对，它们分别是：

。

二.选择题

6.一个三角形的三个内角中，至少有（）

A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角

7.如图，在△ABC中，BC边上的高为（）

A.BEB.ADC.BFD.CF

8.在△ABC中，∠A－∠B＝∠C，那么△ABC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

9.如果一个三角形三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

10.如图，AD是△ABC边BC上的高，AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝46°，∠C＝74°，则∠DAE等于（）

A.16°B.23°C.44°D.7°

11.如图，△ABD≌△ACE，点B和点C是一对对应顶点，AB＝8cm，BD＝7cm，AD＝6cm，则BE的长是（）

A.1cmB.2cmC.4cmD.6cm

三.证明题

12.已知，∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，求证：

△ABC≌△DCB；

13.已知AD=CB，∠1=∠2，求证：

△ADC≌△CBA；

14.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AC=DF，求证△ABC≌△DEF；

15.已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：

△AOB≌△COD；

16.已知AD平分∠BAC且垂直BC，求证：

AB=AC。

17.已知AB=CD，DE=BF，A，C，E，F在同一直线上，且AE=CF，求证：

△ABF≌△CDE，∠D=∠B。

【试题答案】

一.

1.80°，40°

2.△ABC≌△CDA；AC、CA；∠DCA；∠D；∠CAD

3.三角形的稳定性

4.

（1）已知；

（2）已知，已证，已知；SAS；（3）全等三角形对应边相等。

5.三；△AOD≌△BOC；△ACD≌△BDC；△ADB≌△BCA。

二.

6.B7.B8.B9.B10.D11.B

三.

12.证明：

13.证明：

14.证明：

15.证明：

又

16.证明：

17.证明：