全等三角形的性质和判定.doc
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全等三角形的性质和判定
要点一、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
要点二、对应顶点，对应边，对应角
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
要点三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点四、全等三角形的判定
（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）
全等三角形判定一（SSS，SAS）
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：
如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1.全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：
如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：
这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、已知：
如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：
RM平分∠PRQ．
证明：
∵M为PQ的中点（已知），
∴PM＝QM
在△RPM和△RQM中，
∴△RPM≌△RQM（SSS）．
∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．
即RM平分∠PRQ.
举一反三：
【变式】已知：
如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：
∠CAD＝∠DBC.
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、已知：
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证：
BC＝DE．
证明：
∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
证明：
延长AE交CD于F，
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形
∴AB＝BC，BD＝BE
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD，∠1＝∠2
又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）
∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°
∴AE⊥CD
举一反三：
【变式】已知：
如图，PCAC，PBAB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，
求证：
QC＝QB
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．
【答案与解析】
证明：
在△DEH和△DFH中，
∴△DEH≌△DFH（SSS）
∴∠DEH＝∠DFH．
一、选择题
1.△ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（）
A.△ABC≌△B.△ABC≌△
C.△ABC≌△D.△ABC≌△
2.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）
A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC
3.下列判断正确的是（）
A.两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形与锐角三角形不全等
6.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）
A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB
二、填空题
9.如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS）
10.如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.
12.已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.
三、解答题
13.已知：
如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，
求证：
CO＝DO．
14.已知：
如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：
AD∥BC．
分析：
要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，
又需证______≌______．
证明：
∵AB∥CD（），
∴∠______＝∠______（），
在△______和△______中，
∴Δ______≌Δ______（）．
∴∠______＝∠______（）．
∴______∥______（）．
15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：
AE＝DE.
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：
如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SASAASASA
两角对应相等
ASAAAS
两边对应相等
SASSSS
类型一、全等三角形的判定3——“角边角”
1、已知：
如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．
求证：
AE＝CF．
证明：
∵AD∥CB
∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA）
∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF
故得：
AE＝CF
举一反三：
【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：
AB＝CD.
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、已知：
如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：
AD＝AC．
证明：
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°
∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD
在△BAC和△EAD中
∴△BAC≌△EAD（AAS）
∴AC＝AD
举一反三：
【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.
求证：
BE＝CF.
【答案】
证明：
∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BE＝CF
3、已知：
如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．
（1）求证：
AC与BD互相平分；
（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，
求证：
OE＝OF.
证明：
∵AB∥DC
∴∠Ａ＝∠Ｃ
在△ABO与△CDO中
∴△ABO≌△CDO（AAS）
∴AO＝CO，BO=DO
在△AEO和△CFO中
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴OE＝OF.
一、选择题
1.能确定△ABC≌△DEF的条件是（）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）
图4－3
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）
A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）
A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC
C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC
二、填空题
7.如图,∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是.
（填上你认为适当的一个条件即可）.
8.在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且AC＝，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）
9.已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.
11.如图,已知：
∠1＝∠2,∠3＝∠4,要证BD＝CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是，再证△BDE≌△，根据是．
12.已知:
如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件
（3）若以“SAS”为依据，还缺条件
三、解答题
13．阅读下题及一位同学的解答过程：
如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？
若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：
△AOD≌△COB．
证明：
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB（ASA）．
问：
这位同学的回答及证明过程正确吗？
为什么？
14.已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：
AC与BD互相平分.
15.已知：
如图,AB∥CD,OA＝OD,BC过O点,点E、F在直线AOD上,且AE＝DF.
求证：
EB∥CF.
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
【典型例题】
类型一、直角三角形全等的判定——“HL”
1、已知：
如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：
（1）AB＝CD：
（2）AD∥BC．
证明：
（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
（2）由∠ADB＝∠CBD
∴AD∥BC.
.
举一反三：
【变式】已知：
如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：
ED⊥AC．
2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）
（2）一个锐角和斜边对应相等；（）
（3）两直角边对应相等；（）
（4）一条直角边和斜边对应相等．（）
举一反三：
【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）
（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）
3、已知：
如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．
求证：
AD＝BC；
证明：
连接DC
∵AD⊥AC，BC⊥BD
∴∠DAC＝∠CBD＝90°
在Rt△ADC与Rt△BCD中，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）
∴AD＝BC.（全等三角形对应边相等）
举一反三：
【变式】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.
求证：
OC＝OD.
4、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.
一、选择题
1．下列说法正确的是（）
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
3.能使两个直角三角形全等的条件是（）
A.斜边相等 B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等
5.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）
A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等
6.在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）
A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是
二、填空题
7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．
8.已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC≌_______.
9.如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.
10.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.
12.如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则
∠BAD＝_______.
三、解答题
14.如图，已知AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF.求证：
AC＝EF.
15.如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.
求证：
∠1＝∠2.
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