当厶K>AKth时，裂纹开始扩展，AKth是判断构件是否会发生裂纹亚临界扩
展的指标•
2区间II为裂纹的亚临界扩展区；由亚临界裂纹扩展速度da/dN
与厶K存在的指数规律得出的Paris公式
da/dN=c（△K）m;
da/dN—裂纹亚临界扩展速率，a为裂纹半长，N为循环次数；△K—在每一循环中I型应力强度因子变化幅值；
c—与平均应力、应力变化、频率、材料机械性能G有关的常数；
m—与材料有关的常数
由二Kl二Kmax一心“二F（；「max一fn）「a=F二a
得二Kl=F|厶；「二a
式中Ac为应力变化幅度，一般
实验数据：
da/dN主要决定于△K，而且与试件和裂纹的特征和加载方式无关
实验室数据可以直接用于实际零件的裂纹亚临界扩展速率和裂纹体剩余寿命的计算。
3区间Illda/dN剧增，裂纹迅速作临界失稳扩展，引起断裂。
由于考虑到Paris公式只适用于低应力、高疲劳强度问题，未考虑第二位因素的影响，如平均应力、介质条件、温度、过载峰、加载方式、加载频率等。
（1）对于平均应力的影响，对裂纹扩展速率由显著影响，平均应力越大，da/dN
越大。
Forman提出了修正公式，考虑了Ki趋近临界值Kc时裂纹的加速扩展效应和平均应力的影响：
dN
其中:
da_10c（K）m
AKc—也Ki
：
Kc=（1—r）Kc=F二氏；r=：
；min「「max;
Kc=FPmaxl二3c
式中c、m—材料常数；
Kc—平面应力断裂韧性；考虑到零件的表面残余压应力可以提高疲劳强度，其机理与平均应力影响相同。
表面残余压应力其负平均应力的作用，降低da/dN值,
提高△Kth。
（2）腐蚀介质的影响：
腐蚀疲劳是腐蚀和变应力联合作用下出现的脆断。
（3）温度的影响：
裂纹扩展速率一般随温度的升高而升高。
（4）加载方式的影响：
随机加载使裂纹扩展速率增大。
⑸加载频率的影响：
试验数据下的裂纹扩展速率da/dN随频率的降低而增高；与频率对疲劳强度的影响趋势相同。
1.高周疲劳下裂纹体的剩余寿命Nc的计算：
裂纹体的剩余寿命Nc,即裂纹由初始裂纹ao扩展到临界裂纹ac时的一段寿命。
变应力作用下裂纹的亚临界扩展寿命计算:
1.1、对称循环稳定变应力下的裂纹扩展寿命计算，构件在对称循环稳定变应力
其中Ac和F为常数。
对称循环稳定变应力作用的裂纹扩展寿命计算:
当m=2时Nc-2In巫
C兀（F也^）2a0
当m^2时肌=心：
円2—a。
呼2）
C（^m2）pl^r）
式中c、m为材料常数，其中ac由Kic决定，ac二」^（心）2
JTFCT
若给定寿命N时，可求对应的裂纹半长aN,
da二C（F：
；-—）ma2dN
aNdN
两边同时积分得：
.a=C（二F「v）m.dN
a。
a'20
当2时a”二[（1-m）C（Fw）mNa：
"2]口
2
2』
2
令N=Nc则aN=acac=[（1—m）C（F庙g）m”Nc+a0乡]
2
对于求解过程中需要实测需要实测分段的Ci、m值，对于实际过程的求解显得非
常困难。
1.2、对于非对称循环稳定变应力作用的裂纹扩展寿命计算，考虑平均应力的影
响，用Forman的修正公式进行积分得:
Ncac
Nc二dN二0a°10c（K）
ac1-m
a2da
0
acm
[a2da—r
N
当2和nn^3时
10c（Fg&jma'
c二（F：
；「）m-2
-「Kc（.十3“一CK；」）]
m—3
当m=3时N
亠^n（关）•虽一1]
c二（F*）厶K0厶K0对于第二种剩余寿命的计算方式在da/dN—△K曲线确定后，可以用上述公式计算Nc值，而传统的疲劳设计使用S—N曲线确定无裂纹寿命。
1.3、非稳定变应力作用下的Nc计算：
根据Paris公式或Forman公式计算各恒幅变应力作用下的da/dN—AKi曲线；而后根据计算所得的da/dN值，计算对应于特定载荷序列变幅应力下的材料的da/dT—AKi曲线，
公式为：
"八口严
dTijdN
其中：
da/dT—裂纹每小时扩展长度;
ni—每小时内第i种变应力作用的循环次数;
k—给定应力谱中各种变应力出现的数目。
T,计算公式如下:
ac
T二dT二
而后根据da/dT曲线，用数值积分计算裂纹扩展寿命
da
ar/da
a°Ln（——）i
i4dN
T—用小时或循环次数表示的裂纹扩展寿命，可以求出a-N图，即裂纹扩展半长
与寿命间关系曲线。
2•低周疲劳下的裂纹体剩余寿命计算
2.1、低周疲劳的特点
低周疲劳是指疲劳应力接近或超过材料的屈服极限，材料在每一个应力（或应变）循环中均有一定量的塑性变形，其疲劳寿命短，其失效循环次数小于104。
高周疲劳的变应力一般较低，其局部峰值应力部位也出现塑性变形，只不过塑性变形应变较小。
低周疲劳的应力水平较高，有较大的塑性变形，而且其塑性变形不可忽略。
根据累积损伤理论，无论是高周疲劳还是低周疲劳失效，都是循环塑
性变形累积损伤的结果。
由于低周疲劳不同于高周疲劳，试验时不是添加的应力
而是添加的一定的应变，其循环次数为104。
o-Nafitiith》0F料曲比
3^-1低㈱住寿曲岐
从上面的低周（&-N）疲劳曲线我们可以看出低周疲劳的特点有：
低循环失效疲劳寿命很短；应变疲劳-变应力水平很高，塑性变形较大，材料宏观屈服；用应变疲劳曲线来进行传统的裂纹的无裂纹的疲劳寿命计算；用弹塑性断裂理论
（S判据）来计算裂纹体的断裂安全和裂纹扩展寿命。
2.2、c-&材料的循环应力-应变曲线
在拉压变应力作用下，将得到图3.4-3所示的应力应变循环曲线，称为迟滞迥线，迟滞迥线是一种描述材料在循环变应力作用下应变量变化的好方法，它不
仅表示了应变随应力的循环变化规律，还能够看出每个循环中塑性应变&p之大
小。
应当注意要得到真正的低循环疲劳，在每个循环的各个半循环都必须发生屈服，才能够得到图所示的应力-应变迟滞迥线。
在循环变应力作用下，材料会产生硬化或者软化现象，随着循环应变的不同，金属材料表现出四种力学行为：
循环硬化、循环软化、循环稳定、循环硬化与软化兼有的混合型。
2.3、&-N材料的应变-寿命曲线
周疲劳中，材料进入啦塑性状态，应力已经是没有意义的量了，故用&-N曲线
来描述材料的低周疲劳性能。
材料的对称循环应变幅与循环数的关系如图3.4-7.
总应变幅△&为纵坐标，破坏的循环寿命N为横坐标来绘制&-N曲线。
由于△
£=△&e+A£p,因此用弹性应变分量e或塑性应变分量p来画&-N曲线。
在双对数坐标上，△&e与循环寿命N的关系近似的成一条直线，其直线的
I
表达式为：
—e-（2Nf）b
2E
式中：
=——弹性应变幅；E—弹性模量
2
2Nf――到失效时应力（或应变）的总变向次数，（因为应力和应变以变程为计
量单位，故寿命以反复2N为单位；N是到破坏的循环次数）
二f――疲劳强度系数，其值为2Nf=1（一个应力循环）时应力轴上的截距。
b
—疲劳强度指数，b二，其中n'为应变硬化指数，一般碳钢取b=-1,铝合1+5n
金b=-0.15,钛合金b=-0.08.
在双对数坐标上，p与循环寿命N的关系近似的成一条直线，由著名的
Manson-Cofin方程给出：
-；'p（2Nf）c，有效运用于塑性变形范围为已知
的短寿命疲劳。
式中：
二工——塑性应变幅
2
；p——疲劳塑性系数，其值为2N=1时在应变轴上的截距
C疲劳塑性指数，cIo
1+5n
I
对于Age和p总的应变方程为：
l（2Nf）b•；'f（2Nf）c，针对得到的总
2E
的应变方程，在双对数坐标中表示一条曲线，但是仍然不能很好的解出N值。
2.4、低周疲劳的裂纹形成寿命预测法
2.4.1根据Manson-Coffin定律，证实：
塑性应变幅p更能够揭示低周疲劳破
坏的实质，归纳出低周疲劳的普遍公式：
•I；pN==C|式中：
p—塑性应变幅；
N—断裂周次；C1—疲劳延性系数，0=丄1n』^:
I为断面收缩
2100-屮100-屮
率以％计）
a——材料的塑性指数
当a和C1已知，材料的迟滞迥线就可以画出，塑性应变幅△&p可以求得，从而
可以确定No
将式厶；用虚拟应力幅方程表示，以便考虑有应力集中地影响，取
拟应力幅；；亠产c为危险截面应力，n为安全系数，:
，为理论应力集中
2口
系数。
2.4.2Manson的四点法
在对数坐标中，弹性线e-Nf直线可用两点确定，由图3.4-8的CE直线,
。
点（nJj：
"25L）和丘点（N=10；—厂0^）；J为拉伸断裂真应
4EE
力，匚b为拉伸强度极限。
AB塑性线-Nf直线由A点（Nf=10j；；3/p）和B点
（Nf=104，饥p=（0.0132—M；yi.91），A<为ANf曲线上N=l0时的应变幅值，将直线AE和CE直线叠加得:
^-Nf曲线，虽然这种方法可以不进行疲劳试验，而直接由拉伸数据确定疲劳寿命。
M3.4S四点袪
2.4.3通用斜率法
在四点法的基础上，提出了更简洁的方法，它由29种材料的低周试验得出，塑性线的斜率为-0.6，弹性线的斜率-0.12，从而导出:
-Nf试验方程：
a3.5°^.,-0.12丄0.6.,-0.6
bNf；fNf
E
式中：
r——断裂时的真实应变。
2.4.4Landgraf法
'
Landgraf等提出以下方法，由一^L（2Nf）b和p=；：
p（2Nf）c，令两
2E2
式相除得:
（2N）c-
4□■事△名
于是解出：
——=2（r匕）匕丄
NfE名Z
4考虑平均应力Cm的影响，则上式成为：
丄=2[:
P'f]b-C
NfEZf^e^f-^m）
把各个循环的二m、厶；e和厶；p及其他常数等带入式：
II
4二「•：
；P二f—丄=2[1」]b』就可以算出各个循环造成的疲劳损伤。
即
NfE；「：
；e（；「f-；「m）
=2（二-；「m）（r=-1）
Act
士（r「1）｝则弹性应变程，e和塑性应变程’p为:
m4
D=a丄设K为重复施加载荷时间历程块数，则K〃D=1时零件达到裂纹形成寿命。
245局部应力-应变法
采集疲劳危险部位的局部应力-应变历程，再结合材料相应的疲劳特性曲线
进行寿命估算的方法称为局部应力-应变法。
根据Neuber推导出的弹性范围内均适用的公式：
:
K^gC式中：
「._——理论应力集中系数,
变&是非弹性的。
）
2.5低周疲劳的裂纹扩展寿命计算
低周疲劳的断裂安全性判据，张开位移S表达式，推广应用到循环应变时,应力幅厶-代替c,以裂纹张开值位移幅「•代替S,即：
8bsanAcr
-Insec（）-a
兀E2轨
其中:
8；「s
—Insec（）-E2亠
用'来描述低周疲劳裂纹扩展规律：
da二D⑴丁，式中Dn为常数，由试验确定。
在循环应变情况下：
：
Ki=（Eg、）代入da/dN=c（△K）m得:
将.汇-8-aInsec（）八a中的代入=DC「）n得到:
兀E2—dN
因此可以导出裂纹从初始面a。
扩展到a时的循环数N为，当n=1时，N=詁叱
若a为临界裂纹长ao,|则可以由上面两式求得的是裂纹由ao扩展到a断裂时之
寿命Nc.
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