初二数学动点问题总结.docx
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初二数学动点问题总结
初二动点问题
1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开场沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开场沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停顿运动，设运动时间为ts．〔1〕当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
〔2〕当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
〔3〕当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
分析：
〔1〕四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．〔2〕四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．〔3〕四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．
解答：
解：
〔1〕∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得：
t=6
即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．
〔2〕过D作DE⊥BC于E
那么四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE
即3t-〔24-t〕=4
解得：
t=7〔s〕即当t=7〔s〕时，四边形PQCD为等腰梯形．〔3〕由题意知：
QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-〔24-t〕=2
解得：
t=6.5〔s〕即当t=6.5〔s〕时，四边形PQCD为直角梯形．
点评：
此题主要考察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．
2.
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB角平分线CE于E．〔1〕试说明EO=FO；〔2〕当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；〔3〕假设AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜测△ABC的形状并证明你的结论．
分析：
〔1〕根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．〔2〕利用矩形的判定解答，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．〔3〕利用条件及正方形的性质解答．
解答：
解：
〔1〕∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．〔2〕当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=
∠ACB，同理，∠ACF=
∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=
〔∠ACB+∠ACG〕=
×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．〔3〕△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．
点评：
此题主要考察利用平行线的性质“等角对等边〞证明出结论〔1〕，再利用结论〔1〕和矩形的判定证明结论〔2〕，再对〔3〕进展判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
3.
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停顿运动．设点Q运动的时间为t秒．〔1〕求NC，MC的长〔用t的代数式表示〕；〔2〕当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；〔3〕是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？
假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕探究：
t为何值时，△PMC为等腰三角形．
分析：
〔1〕依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：
CA=：
CB，〔2〕CB、，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；〔3〕可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．〔4〕由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进展讨论：
①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．
解答:
解：
〔1〕∵AQ=3-t
∴=4-〔3-t〕=1+t
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中，cos∠NCM=
=
，CM=
．〔2〕由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t
解得t=2．〔3〕如果射线QN将△ABC的周长平分，那么有：
MN+NC=AM+BN+AB
即：
〔1+t〕+1+t=
〔3+4+5〕解得：
t=
〔5分〕而MN=
NC=
〔1+t〕∴S△MNC=
〔1+t〕2=
〔1+t〕2
当t=
时，S△MNC=〔1+t〕2=
≠
×4×3
∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
〔4〕①当MP=MC时〔如图1〕那么有：
NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2〔1+t〕解得：
t=
②当CM=CP时〔如图2〕那么有：
〔1+t〕=4-t
解得：
t=
③当PM=PC时〔如图3〕那么有：
在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2
而MN=
NC=
〔1+t〕
PN=NC-PC=〔1+t〕-〔4-t〕=2t-3
∴[
〔1+t〕]2+〔2t-3〕2=〔4-t〕2
解得：
t1=
，t2=-1〔舍去〕∴当t=
，t=
，t=
时，△PMC为等腰三角形
点评：
此题繁杂，难度中等，考察平行四边形性质及等腰三角形性质．考察学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
4.
如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停顿．在一样时间，假设BQ=xcm〔x≠0〕，那么AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
〔1〕当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形；〔2〕当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？
如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
分析：
以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．
以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．
如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，那么必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．
解答：
解：
〔1〕当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=
-1，x2=-
-1〔舍去〕．因为BQ+CM=x+3x=4〔
-1〕＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=
-1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为
-1．〔2〕由〔1〕知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-〔x+3x〕=20-〔2x+x2〕，解得x1=0〔舍去〕，x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-〔x+3x〕=〔2x+x2〕-20，解得x1=-10〔舍去〕，x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．〔3〕过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．假设以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，那么点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0〔舍去〕，x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
点评：
此题考察到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
5.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开场，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开场，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动，设运动时间为t秒．
〔1〕当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？
〔2〕当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
分析：
〔1〕根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；〔2〕根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．
解答：
解：
〔1〕∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；〔2〕作DE⊥BC，垂足为E，那么CE=21-15=6，当-MD=12时，即2t-〔15-t〕=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形
点评：
考察了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点容．
6.
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停顿运动，设运动时间为t〔s〕．〔1〕设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；〔2〕当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
分析：
〔1〕假设过点P作PM⊥BC于M，那么四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：
s=
PM×QB=96-6t；〔2〕此题应分三种情况进展讨论，①假设PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②假设BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③假设PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
解答：
解：
〔1〕过点P作PM⊥BC于M，那么四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s=
•QB•PM=
〔16-t〕×12=96-6t〔0≤t≤
〕．〔2〕由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，假设以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
：
①假设PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=〔16-t〕2，解得
；②假设BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=〔16-2t〕2+122，由PB2=BQ2得〔16-2t〕2+122=〔16-t〕2，此方程无解，∴BP≠PQ．③假设PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=〔16-2t〕2+122得
，t2=16〔不合题意，舍去〕．综上所述，当
或
时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
此题主要考察梯形的性质及勾股定理．在解题〔2〕时，应注意分情况进展讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
7.
直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停顿．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．〔1〕直接写出A、B两点的坐标；〔2〕设点Q的运动时间为t〔秒〕，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；〔3〕当S=485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
〔1〕分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；〔2〕〕因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动〔或0≤t≤3〕时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动〔或3＜t≤8〕时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S=12OQ×PD，即可求出答案；〔3〕令S=485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：
解：
〔1〕y=0，x=0，求得A〔8，0〕B〔0，6〕，〔2〕∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8〔秒〕，∴点P的速度是6+108=2〔单位长度/秒〕．当P在线段OB上运动〔或O≤t≤3〕时，
OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动〔或3＜t≤8〕时，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD=48-6t5．∴S=12OQ•PD=-35t2+245t．〔3〕当S=485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S=485时，-35t2+245t=485
∴t=4
∴PD=48-6×45=245，AD=16-2×4=8
AD=82-（245）2=325
∴OD=8-325=85
∴P〔85，245〕
M1〔285，245〕，M2〔-125，245〕，M3〔125，-245〕
点评：
此题主要考察梯形的性质及勾股定理．在解题〔2〕时，应注意分情况进展讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
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