高等代数北大版课件1.5因式分解定理.ppt

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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、不可约多项式,二、因式分解及唯一性定理,1.5因式分解定理,因式分解与多项式系数所在数域有关,如：

（在有理数域上）,问题的引入,（在实数域上）,（在复数域上）,设，且，若,不能表示成数域P上两个次数比低的多项式的,定义：

乘积，则称为数域P上的不可约多项式.,说明：

一个多项式是否不可约依赖于系数域.,一次多项式总是不可约多项式.,一、不可约多项式,多项式不可约,的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.,或,多项式不可约，对有,证：

设则,或,即或,不可约.，若,则或,证：

若结论成立.,若不整除，则,定理5：

不可约，,则必有某个使得,推论：

若，则可,唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.,所谓唯一性是说，若有两个分解式,1.定理：

则，且适当排列因式的次序后，有,其中是一些非零常数,二、因式分解及唯一性定理,证：

对的次数作数学归纳.,时，结论成立,下证的情形.,设对次数低于n的多项式结论成立,（一次多项式都不可约）,若是不可约多项式.,若不是不可约多项式，则存在,且使,结论显然成立,由归纳假设皆可分解成不可约多项式的积.,再证唯一性.,可分解为一些不可约多项式的积.,都是不可约,设有两个分解式,多项式.,对作归纳法,若则必有,假设不可约多项式个数为时唯一性已证.,由（）,不妨设则,使得,

（1）两边消去,由归纳假设有,即得,总可表成,对,其中为的首项系数，为互不相同的，,首项系数为1的不可约多项式，,的标准分解式.,称之为,2.标准分解式：

说明,若已知两个多项式的标准分解式,则可直接写出,就是那些同时在的标准,分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带,方幂指数等于它在中所带的方幂指数,中较小的一个,例如，若的标准分解式分别为,则有,虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式的方法是不存在的而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的,