2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：28　第五章　5.3　5.3.2　第2课时　函数的最大(小)值.docx

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第2课时　函数的最大（小）值

[学习目标]　1．能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．（数学运算）

2．会用导数求在给定区间上的函数的最值．（数学运算）

（教师用书）

费马（1601－1665）是一位17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称费马为“业余数学家之王”，是由于他有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就．

他将无穷小的思想运用到求积问题上，已具今日微积分的雏形，这也是费马的卓越成就之一．他在牛顿出生前的13年，提出了有关微积分的主体概念．

大约在1637年，他完成了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》．让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大（小）值问题吧！

[讨论交流]　

问题1．函数的最值的概念是什么？

问题2．函数的最值与极值有什么区别与联系？

问题3．如何求函数在某一闭区间上的最大（小）值？

[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1　函数的最值

探究问题1　如图是y＝f（x）在区间[a，b]上的函数图象．显然f（x1），f（x3），f（x5）为极大值，f（x2），f（x4），f（x6）为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？

[提示]　最大值y＝M＝f（x3）＝f（b），分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f（x4），在x＝x4处取得．显然极值不一定是最值，极值可以有多个，最值唯一．

[新知生成]

1．函数的最大（小）值的存在性

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

2．求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最值的步骤

（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极值；

（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【教用·微提醒】　函数的极值与最值的区别与联系

（1）极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．

（2）在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个．

（3）函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．

（4）对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．

【链接·教材例题】

例6　求函数f（x）＝13x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值与最小值．

[解]　由例5可知，在区间[0，3]上，当x＝2时，函数f（x）＝13x3－4x＋4有极小值，并且极小值为f

（2）＝－43.

又由于

f（0）＝4，f（3）＝1，

所以，函数f（x）＝13x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值是4，最小值是－43.

上述结论可以从函数f（x）＝13x3－4x＋4在区间[0，3]上的图象（图5.3-16）得到直观验证．

[典例讲评]　1.求下列各函数的最值：

（1）f（x）＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；

（2）f（x）＝12x＋sinx，x∈[0，2π].

[思路导引]　求导令f'x=0求极值与端点值　比较得出最值

[解]　

（1）f′（x）＝3x2－6x＋6＝3（x2－2x＋2）＝3（x－1）2＋3.

因为f′（x）在[－1，1]上恒大于0，

所以f（x）在[－1，1]上单调递增．

故当x＝－1时，f（x）min＝－12；

当x＝1时，f（x）max＝2.

即f（x）的最小值为－12，最大值为2.

（2）f′（x）＝12＋cosx，令f′（x）＝0，由x∈[0，2π]，解得x＝2π3或x＝4π3.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

0

0，2π3

2π3

2π3，4π3

4π3

4π3，2π

2π

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

0

单调递增

π3+32

单调递减

2π3-32

单调递增

π

由表可知，当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝0；

当x＝2π时，f（x）有最大值f（2π）＝π.

　求函数在给定区间上最值的注意事项

（1）对函数求导，并检验f′（x）＝0的根是否在给定区间内．

（2）研究函数的单调性，确定极值和端点函数值．

（3）比较极值与端点函数值的大小，确定最值．

[学以致用]　1．（源自湘教版教材）求函数f（x）＝x3＋12x2－2x＋1在区间[－2，1]上的最大值和最小值．

[解]　求导得f′（x）＝3x2＋x－2.令f′（x）＝0，则x1＝－1，x2＝23.

由于x1和x2都在区间[－2，1]内，所以可列表如下：

x

[－2，－1）

－1

-1，23

23

23，1

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

单调递增

极大值52

单调递减

极小值527

单调

递增

又f（－2）＝－1，f

（1）＝12，将它们与极值比较可得，该函数在[－2，1]上的最大值为52，最小值为－1.

上述结论也可从函数f（x）＝x3＋12x2－2x＋1的图象（如图所示）得到直观验证．

探究2　求含参数的函数的最值

[典例讲评]　2.已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小值．

[解]　f′（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a），

令f′（x）＝0，得x1＝－a3，x2＝a.

①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增．

所以f（x）min＝f（a）＝－a3.

②当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝0.

③当a＜0时，f（x）在0，-a3上单调递减，在-a3，+∞上单调递增．

所以f（x）min＝f-a3＝527a3.

综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3；

当a＝0时，f（x）的最小值为0；

当a＜0时，f（x）的最小值为527a3.

[母题探究]　当a＞0时，求函数f（x）＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．

[解]　f′（x）＝（3x＋a）·（x－a）（a＞0），

令f′（x）＝0，得x1＝－a3，x2＝a.

所以f（x）在-a，-a3上单调递增，

在-a3，a上单调递减，

在（a，2a]上单调递增．

因为f（－a）＝－a3，f-a3＝527a3，f（a）＝－a3，f（2a）＝2a3，

所以f（x）max＝f（2a）＝2a3，

f（x）min＝f（－a）＝f（a）＝－a3.

【教用·备选题】　设函数f（x）＝（x＋1）2＋2klnx.

（1）若k＝－2，求函数的单调递减区间；

（2）当k＞0时，记函数g（x）＝f′（x），求函数g（x）在区间（0，2]上的最小值．

[解]　

（1）当k＝－2时，f（x）＝（x＋1）2－4lnx，f′（x）＝2x＋2－4x（x＞0）．

由f′（x）＜0，得0＜x＜1.故函数的单调递减区间为（0，1）．

（2）因为g（x）＝f′（x）＝2x＋2kx＋2，

所以g′（x）＝2－2kx2.

因为k＞0，x∈（0，2]，所以当k≥4时，g′（x）≤0，g（x）在（0，2]上单调递减．

因此，g（x）有最小值g

（2）＝k＋6；

当0＜k＜4时，在（0，k）上，g′（x）＜0，在（k，2]上，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，k）上单调递减，在（k，2]上单调递增．故g（x）有最小值g（k）＝4k＋2.

综上，当0＜k＜4时，g（x）在区间（0，2]上的最小值为4k＋2；当k≥4时，g（x）在（0，2]上的最小值为k＋6.

　含参数的函数最值问题的两类情况

（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．

（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定最值．

[学以致用]　2．已知函数f（x）＝1-xx＋klnx，k＜1e，求函数f（x）在1e，e上的最大值和最小值．

[解]　f′（x）＝-x-1-xx2+kx＝kx-1x2.

若k＝0，则f′（x）＝－1x2，在1e，e上恒有f′（x）＜0，所以f（x）在1e，e上单调递减；

若k≠0，则f′（x）＝kx-1x2＝kx-1kx2，

若k＜0，则在1e，e上恒有kx-1kx2＜0，

所以f（x）在1e，e上单调递减；

若k＞0，由k＜1e，得1k＞e，则x－1k＜0在1e，e上恒成立，所以kx-1kx2＜0，

所以f（x）在1e，e上单调递减．

综上，当k＜1e时，f（x）在1e，e上单调递减，所以f（x）min＝f（e）＝1e+k-1，fxmax＝f1e＝e－k－1.

探究3　已知函数最值求参数的值（或范围）

[典例讲评]　3．已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b（a＞0），x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

[思路导引]　先求导，求出f′（x）＝0的解，通过列表讨论，列出方程组，求出a，b的值．

[解]　求导得f′（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4），

令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝4（舍去）．

∵a>0，

∴x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

x

－1

（－1，0）

0

（0，2）

2

f′（x）

＋

0

－

f（x）

－7a＋b

单调递增

b

单调

递减

－16a＋b

由表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，∴f（0）＝b＝3.

又f（－1）＝－7a＋3，f

（2）＝－16a＋3

∴当x＝2时，f（x）取得最小值．

f

（2）＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.

故a＝2，b＝3.

[母题探究]　

1．本例中“a＞0”改为“a＜0”，求a，b的值．

[解]　由例题解析知，当a<0时，同理可得，当x＝0时，f（x）取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f（0）＝b＝－29.

又f（－1）＝－7a－29，

f

（2）＝－16a－29>f（－1），

∴当x＝2时，f（x）取得最大值，f

（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2.

故a＝－2，b＝－29.

2．设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1的最小值为h（t），且h（t）＜－2t＋m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　∵f（x）＝t（x＋t）2－t3＋t－1（x∈R，t>0），

∴当x＝－t时，f（x）取得最小值f（－t）＝－t3＋t－1，

即h（t）＝－t3＋t－1.

令g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，

由g′（t）＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1（不合题意，舍去）．

当t变化时，g′（t），g（t）的变化情况如表：

t

（0，1）

1

（1，2）

g′（t）

＋

0

－

g（t）

单调递增

极大值1－m

单调递减

∴g（t）在（0，2）内有最大值g

（1）＝1－m.

h（t）<－2t＋m在（0，2）内恒成立等价于g（t）<0在（0，2）内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的