2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：35　模块综合测评(二).docx

2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：35　模块综合测评(二).docx

《2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：35　模块综合测评(二).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：35　模块综合测评(二).docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝2，S4＝6，则S8＝（　　）

A．22 B．24

C．28 D．30

D　[设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，则q≠1，

所以S2＝a11-q21-q＝2，S4＝a11-q41-q＝6，所以1-q41-q2＝1＋q2＝3，解得q2＝2，a11-q＝－2，

所以S8＝a11-q81-q＝－2×（1－24）＝30.

故选D.]

2．已知f（x）＝－x3－x，a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则（　　）

A．f（c）＜f（a）＜f（b）

B．f（b）＜f（c）＜f（a）

C．f（c）＜f（b）＜f（a）

D．f（a）＜f（b）＜f（c）

D　[由于f′（x）＝－3x2－1＜0，

故f（x）是减函数，

又a＝20.3＞20＝1，b＝0.32＝0.09∈（0，1），c＝log20.3＜log21＝0，

故a＞b＞c，

所以f（a）＜f（b）＜f（c）．故选D.]

3．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝7n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于（　　）

A．94 B．378

C．7914 D．14924

D　[a2+a20b7+b15＝a1+a21b1+b21＝212a1+a21212b1+b21＝S21T21＝7×21+221+3＝14924.故选D.]

4．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8cm，高为20cm，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积V（单位：

mL）关于时间t（单位：

s）的函数为V（t）＝πt3＋2πt2（t≥0），不考虑注液过程中溶液的流失，则当t＝4s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（　　）

A．2cm/s B．4cm/s

C．6cm/s D．8cm/s

B　[由题意可知杯子的底面面积S＝16π，则杯中溶液上升高度h＝VtS＝πt3+2πt216π＝116t3＋18t2（t≥0），则h′＝316t2＋14t，

当t＝4时，h′＝316×16＋14×4＝4，即当t＝4s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为4cm/s.故选B.]

5．数列12×5，15×8，18×11，…，13n-13n+2，…的前n项和为（　　）

A．n3n+2 B．n6n+4

C．3n6n+4 D．n+1n+2

B　[∵13n-13n+2＝1313n-1-13n+2，

∴前n项和为1312-15+15-18+18-111+…+13n-1-13n+2

＝1312-13n+2＝n6n+4.]

6．数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an＜12，2an-1，12≤an＜1，若a1＝25，则a2024等于（　　）

A．15 B．25

C．35 D．45

A　[因为数列{an}满足

an＋1＝2an，0≤an＜12，2an-1，12≤an＜1，a1＝25＜12，

所以a2＝45，a3＝35，a4＝15，a5＝25，所以数列具有周期性，周期为4，

所以a2024＝a4＝15.故选A.]

7．对于函数f（x）＝sinx＋x－ex，x∈[0，π]，下列说法正确的是（　　）

A．函数f（x）有唯一的极大值点

B．函数f（x）有唯一的极小值点

C．函数f（x）有最大值，没有最小值

D．函数f（x）有最小值，没有最大值

A　[∵f（x）＝sinx＋x－ex，x∈[0，π]，

∴f′（x）＝cosx＋1－ex，令h（x）＝f′（x），

则h′（x）＝－sinx－ex＜0在区间[0，π]上恒成立，

则f′（x）＝cosx＋1－ex在区间[0，π]上单调递减，

而f′（0）＝1＞0，f′（π）＝－eπ＜0，

∴存在x0∈（0，π），使得当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

又f（0）＝－1，f（π）＝π－eπ＜－1，

则函数f（x）有唯一的极大值点，且函数f（x）有最大值和最小值．故选A.]

8．若函数f（x）＝x2－2x＋alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（　　）

A．0，14 B．0，12

C．-∞，12 D．-∞，14

B　[由f（x）＝x2－2x＋alnx，可得f′（x）＝2x－2＋ax，令f′（x）＝0，则a＝－2x2＋2x＝-2x-122＋12，令g（x）＝－2x-122＋12，当0＜x＜12时，函数g（x）单调递增，当x＞12时，函数g（x）单调递减，当x＝12时，函数g（x）＝－2x-122＋12有最大值12，且g（0）＝g

（1）＝0，函数g（x）＝－2x-122＋12图象的对称轴为直线x＝12，画出当x＞0时，y＝g（x）的图象如图所示，所以当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋alnx有两个不同的极值点，等价于直线y＝a与函数g（x）＝－2x-122＋12的图象有两个不同的交点，所以a∈0，12.故选B.

]

二、多项选择题：

本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a7＞0，a8＜0，a6＋a8＋a9＝0，则（　　）

A．a1＞0，d＜0

B．|a7|＞|a9|

C．满足Sn＞0的n的最大值为14

D．当n＝7时，Sn有最大值

ACD　[根据题意，依次分析选项，对于A，a7＞0，a8＜0，则d＝a8－a7＜0，a1＝a7－6d＞0，A正确；对于B，a7＞0，a8＜0，而a7＋a9＝2a8＜0，必有|a7|＜|a9|，B错误；对于C，由于a6＋a8＋a9＝0，则a6＋a8＋a9＝a7＋a8＋a8＝a7＋2a8＝0，而a8＜0，必有a7＋a8＞0，

故S14＝a1+a14×142＝a7+a8×142＞0，由于S15＝a1+a15×152＝15a8＜0，故满足Sn＞0的n的最大值为14，C正确；对于D，a7＞0，a8＜0，则当n＝7时，Sn有最大值，D正确．故选ACD.]

10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝1，S7＝14，数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2n2+n2，数列{cn}满足cn＝bncos（anπ），且其前n项和为Tn，则下列结论正确的是（　　）

A．an＝n2

B．bn＝2n-1

C．S2n－1＝n2－12n

D．T2n＝－4+-4n+15

ACD　[设等差数列{an}的公差为d，由a2＝1，S7＝14得a1+d=1，7a1+21d=14，

解得a1=12，d=12，∴an＝n2，

S2n－1＝12（2n－1）n＝n2－12n，A，C正确；

∵b1·b2·b3·…·bn＝2n2+n2＝2nn+12， ①

∴b1·b2·b3·…·bn－1＝2nn-12（n≥2）， ②

①÷②得bn＝2n（n≥2）．

当n＝1时，b1＝2符合上式，∴bn＝2n，∴B不正确；

∵cn＝bncos（anπ）＝2ncosnπ2，

∴T2n＝2cosπ2＋22cosπ＋23cos3π2＋24cos2π＋…＋22n-1cos2n-1π2＋22ncosnπ＝22cosπ＋24cos2π＋26cos3π＋…＋22ncosnπ＝－22＋24－26＋…＋（－1）n·22n＝-41--4n1+4＝－4+-4n+15，D正确．故选ACD.]

11．已知函数f（x）＝ex－ln（x＋a），a∈R，则（　　）

A．当a＝0时，f（x）没有零点

B．当a＝0时，f（x）是增函数

C．当a＝2时，直线y＝12x＋1－ln2与曲线y＝f（x）相切

D．当a＝2时，f（x）只有一个极值点x0，且x0∈（－1，0）

ACD　[当a＝0时，f（x）＝ex－lnx，

则f′（x）＝xex-1x，x＞0，

设g（x）＝xex－1，则g′（x）＝（x＋1）ex，

当x＞0时，g′（x）＞0，

所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，

又g（0）＝－1＜0，所以g（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点，设为m，

则f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，＋∞）上单调递增，由em＝1m，得m＝ln1m＝－lnm，所以fxmin＝f（m）＝em－lnm＝em＋m＞0，从而f（x）没有零点，故A正确，B错误；

当a＝2时，f（x）＝ex－ln（x＋2），

则f′（x）＝ex－1x+2，x＞－2，

因为f（0）＝1－ln2且f′（0）＝12，

所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝12x＋1－ln2，故C正确；

由C选项易知f′（x）在（－2，＋∞）上单调递增，且f′（－1）＜0，f′（0）＞0，

所以存在唯一的x0，使f′（x0）＝0，

即f（x）只有一个极值点x0，且x0∈（－1，0），故D正确．故选ACD.]

三、填空题：

本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．曲线y＝2lnx＋x2在点（1，1）处的切线方程为________．

y＝4x－3　[由y＝2lnx＋x2可得y′＝2x＋2x，x＞0，

曲线在点（1，1）处的切线的斜率为k＝4，

所以所求切线方程为y－1＝4（x－1），即y＝4x－3.]

13．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：

形如Fn＝22n＋1（n＝0，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想．半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想．现设an＝m·log2（Fn－1）（n＝1，2，3，…），m为常数，Sn表示数列{an}的前n项和，若S6＝126，则a5＝________．

32　[∵Fn＝22n＋1，∴an＝mlog2（Fn－1）＝m·2n，显然m≠0，则an+1an＝m·2n+1m·2n＝2.

又∵a1＝2m，∴数列{an}是首项为2m，公比为2的等比数列．

∴S6＝2m1-261-2＝126m＝126，解得m＝1，∴a5＝25＝32.]

14．若函数f（x）＝sinx＋alnx在区间π2，π上单调递增，则实数a的最小值为________．

π　[因为f（x）＝sinx＋alnx，所以f′（x）＝cosx＋ax＝xcosx+ax.

由f（x）在区间π2，π上单调递增，

可知不等式f′（x）≥0，即xcosx＋a≥0在区间π2，π上恒成立．

令g（x）＝xcosx＋a，则g′（x）＝cosx－xsinx，

当x∈π2，π时，g′（x）＜0，所以g（x）在π2，π上单调递减，故要使f′（x）≥0在x∈π2，π上恒成立，只需g（π）≥0.

由g（π）＝－π＋a≥0，解得a≥π，故实数a的取值范围为[π，＋∞），则a的最小值为π.]

四、解答题：

本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）已知公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，且满足a3＝S3，3S4＝4a2a3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝an+3an2，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　

（1）设{an}的公差为d（d≠0）．

根据题意得

a1+2d=3a1+3×22d，34a1+4×32d=4a1+da1+2d，　

解得a1=-2，d=4或a1=0，d=0（舍去）．

所以an＝－2＋（n－1）×4