2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：32　第五章　章末重构拓展.docx

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类型1　导数的几何意义及运算

1．本部分内容涉及导数的几何意义、基本初等函数求导、导数的四则运算法则、复合函数求导，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，处理此类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，然后再研究最值问题．

2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养和转化化归数学思想．

【例1】　

（1）已知f（x）＝tanx，则f′π6＝（　　）

A．14 B．34

C．43 D．4

（2）已知f（x）＝xex＋3sinx，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）

A．y＝x B．y＝3x

C．y＝2x D．y＝4x

（3）（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝________．

（1）C　

（2）D　（3）ln2　[

（1）∵f（x）＝tanx＝sinxcosx，∴f′（x）＝cos2x+sin2xcos2x＝1cos2x，

∴f′π6＝134＝43.故选C.

（2）因为f（x）＝xex＋3sinx，所以f（0）＝0，f′（x）＝ex＋xex＋3cosx，所以切线的斜率k＝f′（0）＝1＋3＝4，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x.故选D.

（3）由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，则y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1.

由y＝ln（x＋1）＋a得y′＝1x+1，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），

由两曲线有公切线得y′＝1x0+1＝2，解得x0＝－12，则切点为-12，a+ln12，

切线方程为y＝2x+12＋a＋ln12＝2x＋1＋a－ln2.

根据两切线重合，所以a－ln2＝0，解得a＝ln2.]

类型2　导数与函数的单调性

1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有lnx，ex等线性函数（或复合函数）的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是f′（x）的符号一般由二次函数来确定，经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．

2．通过利用导数判断函数的单调性，培养直观想象、数学运算等核心素养．

【例2】　已知函数f（x）＝e2x＋（a＋2）ex＋ax，讨论f（x）的单调性．

[解]　函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝2e2x＋（a＋2）ex＋a＝（2ex＋a）（ex＋1）．

当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，

当a＜0时，令f′（x）＝0，则x＝ln-a2，

当x∈-∞，ln-a2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈ln-a2，+∞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

综上，当a≥0时，f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在-∞，ln-a2上单调递减，在ln-a2，+∞上单调递增．

类型3　导数与函数的极值、最值

1．极值和最值是两个不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另外函数有极值未必有最值，反之亦然．

2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）解方程f′（x）＝0的根；

（3）检验f′（x）＝0的根的两侧f′（x）的符号：

若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值；

若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值．

3．通过求函数的极值、最值问题，培养逻辑推理、数学运算等核心素养．

【例3】　已知函数f（x）＝lnx－mx（m∈R）．

（1）当m＝－2时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若函数f（x）在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值．

[解]　

（1）当m＝－2时，f（x）＝lnx＋2x（x＞0），则f′（x）＝x-2x2，

当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（2，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），极小值为f

（2）＝ln2＋1，无极大值．

（2）f′（x）＝x+mx2，令f′（x）＝0，则x＝－m，

①当－m≤1，即m≥－1时，f′（x）≥0，x∈[1，e]，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min＝f

（1）＝－m＝4，

解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去．

②当1＜－m＜e，即－e＜m＜－1时，x∈（1，－m）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（－m，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min＝f（－m）＝ln（－m）＋1＝4，

解得m＝－e3，不满足－e＜m＜－1，故舍去．

③当－m≥e，即m≤－e时，f′（x）≤0，x∈[1，e]，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝1－me＝4，解得m＝－3e，满足m≤－e.

综上，m的值为－3e.

类型4　与导数有关的综合性问题

1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．从近几年高考题看，利用

导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档．

2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．

【例4】　函数f（x）＝x＋ax2＋blnx的图象在点P（1，0）处的切线斜率为2.

（1）求a，b的值；

（2）证明：

f（x）≤2x－2对任意正实数x恒成立．

[解]　

（1）由题设可知f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1＋2ax＋bx，

∵曲线y＝f（x）在点P（1，0）处切线的斜率为2，

∴f

（1）＝1＋a＝0，f′

（1）＝1＋2a＋b＝2，

解得a＝－1，b＝3.

（2）[证明]　由

（1）知f（x）＝x－x2＋3lnx（x＞0），则转化为证明2－x－x2＋3lnx≤0对任意正实数x恒成立，

设g（x）＝2－x－x2＋3lnx，x＞0，

则g′（x）＝－1－2x＋3x＝－x-12x+3x，

∴当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

∴g（x）在x＝1处有最大值g

（1）＝0，

∴g（x）≤0对任意正实数x恒成立，

即2－x－x2＋3lnx≤0对任意正实数x恒成立，

即f（x）≤2x－2对任意正实数x恒成立，原命题得证．

章末综合测评

（二）　一元函数的导数及其应用

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某质点的位移y（单位：

m）与时间t（单位：

s）满足函数关系式y＝t3＋3t2－t，当t＝t0时，该质点的瞬时速度大于8m/s，则t0的取值范围是（　　）

A．13，+∞ B．（1，＋∞）

C．12，+∞ D．32，+∞

B　[y′＝3t2＋6t－1，因为当t＝t0时，该质点的瞬时速度大于8m/s，所以3t02＋6t0－1＞8，得t02＋2t0－3＝（t0＋3）（t0－1）＞0，显然t0不是负数，所以t0＞1.故选B.]

2．曲线f（x）＝ex＋ax在x＝0处的切线与直线2x－y－5＝0平行，则实数a＝（　　）

A．－1 B．1

C．12 D．14

B　[f′（x）＝ex＋a，则f′（0）＝1＋a，依题意得，1＋a＝2，解得a＝1.故选B.]

3．对任意的x，有f′（x）＝4x3，f

（1）＝－1，则函数f（x）的解析式可以为（　　）

A．f（x）＝x3 B．f（x）＝x4－2

C．f（x）＝x3＋1 D．f（x）＝x4－1

B　[由f′（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，将x＝1代入选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B.]

4．若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2f′

（1）lnx＋x，则f（e）＝（　　）

A．0 B．－1

C．－2＋e D．－2

C　[由f（x）＝2f′

（1）lnx＋x，得f′（x）＝2f'1x＋1，

令x＝1，则f′

（1）＝2f'11＋1，解得f′

（1）＝－1，

所以f（x）＝－2lnx＋x，f（e）＝－2＋e.

故选C.]

5．函数f（x）＝xlnx－x在12，4上的最小值为（　　）

A．－1+ln22 B．－1

C．0 D．2ln2－2

B　[f（x）＝xlnx－x，x∈12，4，f′（x）＝lnx，

令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得12≤x＜1，

故f（x）在12，1上单调递减，在（1，4]上单调递增，

故f（x）min＝f

（1）＝－1.故选B.]

6．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数g（x）＝xf′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．f（x）有两个极值点

B．f（x）有两个极小值

C．f（0）为函数的极小值

D．f（－1）为f（x）的极小值

B　[由函数g（x）＝xf′（x）的图象，

可得当x∈（－∞，－2）时，xf′（x）＞0，

所以f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（－2，0）时，xf′（x）＜0，

所以f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，xf′（x）＜0，

所以f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，xf′（x）＞0，

所以f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上，当x＝－2时，函数f（x）取得极小值；

当x＝0时，函数f（x）取得极大值；当x＝1时，函数f（x）取得极小值，

故选项ACD错误，选项B正确．故选B.]

7．某莲藕种植塘每年的固定成本是10000元，每年最大规模的种植量是40000千克，每种植一千克藕，成本增加0.5元，如果收入函数是R（q）＝－13q3＋10000q2＋40200012q（q是莲藕的质量，单位：

千克），则要使利润最大，每年莲藕的种植量应为（　　）

A．10000千克 B．12000千克

C．20000千克 D．20100千克

D　[由题意，利润L＝－13q3＋10000q2＋40200012q－10000－0.5q＝－13q3＋10000q2＋2010000q－10000（0＜q≤40000）．

∴L′＝－q2＋20000q＋2010000＝－（q－20100）·（q＋100），

∴函数在（0，20100）上单调递增，在（20100，40000）上单调递减，

∴q＝20100时，利润最大．故选D.]

8．已知函数f（x）＝ln-x-2x，x＜0，x-1-2xexex，x≥0，若函数g（x）＝f（x）＋2x－a至少有2个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．-1，1e2 B．0，1e2

C．[－1，0]∪1e2 D．-∞，1e2

A　[令h（x）＝f（x）＋2x，当x＜0时，h（x）＝ln（－x），

当x≥0时，h