2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：25　第五章　5.3　5.3.1　第2课时　函数单调性的应用.docx

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第2课时　函数单调性的应用

[学习目标]　1．进一步理解函数的导数和其单调性的关系．（数学运算）

2．能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．（数学运算）

（教师用书）

请大家解这样一个关于x的一元一次不等式：

ax－2＞0，根据不等式的性质可知，我们无法直接进行求解，它依赖于a的符号，于是我们分类讨论进行求解如下：

当a＞0时，得x＞2a；当a＝0时，x无解；当a＜0时，得x＜2a，参数的存在不仅对解不等式有影响，对于一些函数的单调性也有影响，如何解答含参函数的单调性问题，今天我们就来探究一下．

[讨论交流]　

问题1．若函数f（x）为可导函数，且在区间（a，b）上单调递增（或递减），则f′（x）满足什么条件？

问题2．对于函数y＝f（x），f′（x）≥0是f（x）为增函数的充要条件吗？

[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．

探究1　讨论含参函数的单调性

[典例讲评]　1．已知函数f（x）＝lnx－12ax2＋（1－a）x＋32a（a∈R），判断函数f（x）的单调性．

[解]　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝1x－ax＋1－a

＝-ax2+1-ax+1x＝-ax+1x+1x.

当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

当a＞0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1a，则f（x）在0，1a上单调递增；

令f′（x）＜0，解得x＞1a，则f（x）在1a，+∞上单调递减．

综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在0，1a上单调递增，在1a，+∞上单调递减．

（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

（2）划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．

【教用·备选题】　已知函数f（x）＝13x3＋ax2－3a2x＋1（a≤0）．试求函数f（x）的单调区间．

[解]　f′（x）＝x2＋2ax－3a2＝（x＋3a）（x－a），且x∈（－∞，＋∞）．

当a＝0时，f′（x）＝x2≥0，此时f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．

当a＜0，x∈（－∞，a）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；

x∈（a，－3a）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；

x∈（－3a，＋∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．

综上，当a＝0时，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞），无单调递减区间；

当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，a），（－3a，＋∞）；

函数f（x）的单调递减区间为（a，－3a）．

[学以致用]　1．求函数f（x）＝1x2＋alnx（a∈R）的单调递减区间．

[解]　易得函数f（x）的定义域是（0，＋∞），

f′（x）＝－2x3+ax＝ax2-2x3.

①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，

故f（x）在（0，＋∞）上单调递减．

②当a＞0时，若0＜x＜2a，则f′（x）＜0；

若x＞2a，则f′（x）＞0，

所以f（x）在0，2a上单调递减，在2a，+∞上单调递增．

综上可知，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），当a＞0时，f（x）的单调递减区间为0，2a.

探究2　根据函数的单调性求参数的取值范围

探究问题1　如果函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递增，则f′（x）有什么特点？

[提示]　f′（x）≥0，但f′（x）不可以恒为0.

探究问题2　如果函数y＝f（x）在区间（a，b）内存在单调递增区间，则f′（x）有什么特点？

[提示]　f′（x）＞0有解．

[新知生成]

导数的符号与函数单调性的关系

（1）在某区间D上，若f′（x）＞0⇒函数f（x）在D上单调递增；在某区间D上，若f′（x）＜0⇒函数f（x）在D上单调递减．

（2）若函数f（x）在D上单调递增⇒f′（x）≥0；若函数f（x）在D上单调递减⇒f′（x）≤0．需要检验f′（x）＝0不能恒成立．

（3）若函数f（x）在D上存在单调递增区间⇒f′（x）＞0有解．

若函数f（x）在D上存在单调递减区间⇒f′（x）＜0有解．

【教用·微提醒】　

（1）单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间．

（2）注意以下区别：

若单调递增，则f′（x）≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′（x）＞0能成立．

[典例讲评]　2．已知函数f（x）＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．

[思路导引]　fx为增函数→f'x≥0恒成立　→分离参数求a的取值范围

[解]　由已知得f′（x）＝3x2－a，

因为f（x）在R上是增函数，

所以f′（x）＝3x2－a≥0在R上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′（x）＝3x2≥0且不恒为0，f（x）＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.

[母题探究]　

1．若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值．

[解]　由题意得f′（x）＝3x2－a，函数f（x）的定义域为R.

①当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在R上为增函数，与已知矛盾，不符合题意．

②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±3a3，

当－3a3＜x＜3a3时，f′（x）＜0.

∴f（x）在-3a3，3a3上单调递减，

∴f（x）的单调递减区间为-3a3，3a3，

又函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），∴3a3＝1，即a＝3.

2．若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围．

[解]　由题意可知f′（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立，∴f'-1≤0，f'1≤0，即3-a≤0，3-a≤0，

∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞）．

3．若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上不单调，求a的取值范围．

[解]　∵f（x）＝x3－ax－1，∴f′（x）＝3x2－a，由题意可知a＞0，

由f′（x）＝0，得x＝±3a3（a＞0）．

∵f（x）在区间（－1，1）上不单调，

∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.

故a的取值范围为（0，3）．

　利用函数的单调性求参数，常用方法如下：

1

函数f（x）在区间D上单调递增⇒f′（x）≥0在区间D上恒成立

2

函数f（x）在区间D上单调递减⇒f′（x）≤0在区间D上恒成立

3

函数f（x）在区间D上不单调⇒f′（x）在区间D上存在变号零点

4

函数f（x）在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f′（x0）>0成立

5

函数f（x）在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f′（x0）<0成立

6

若已知f（x）在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围

[学以致用]　2．已知a∈R，函数f（x）＝x3－6x2＋3（4－a）x.

（1）若曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；

（2）若函数f（x）在区间（1，4）上单调递减，求a的取值范围．

[解]　

（1）因为f′（x）＝3x2－12x＋12－3a，所以曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率k＝f′（3）＝27－36＋12－3a＝3－3a.而直线x－3y＝0的斜率为13，则3－3a＝－3，解得a＝2.

（2）由f（x）在（1，4）上单调递减，得f′（x）＝3x2－12x＋12－3a≤0在（1，4）上恒成立，即a≥x2－4x＋4在（1，4）上恒成立．又x∈（1，4）时，y＝x2－4x＋4＜4，所以a≥4，所以a的取值范围是[4，＋∞）．

探究3　根据函数的单调性比较大小或解不等式

[典例讲评]　3．

（1）函数f（x）＝sinx＋2xf′π3，f′（x）为f（x）的导函数，令a＝12，b＝log32，则下列关系正确的是（　　）

A．f（a）＜f（b）　 B．f（a）＞f（b）

C．f（a）＝f（b） D．f（a）≤f（b）

（2）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为f（x）的导函数，函数y＝f′（x）的图象如图所示，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1的解集是（　　）

A．（－3，－2）∪（2，3）

B．（－2，2）

C．（2，3）

D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

（1）B　

（2）A　[

（1）由题意得f′（x）＝cosx＋2f′π3，f′π3＝cosπ3＋2f′π3，

解得f′π3＝－12，所以f（x）＝sinx－x，

所以f′（x）＝cosx－1≤0，所以f（x）为减函数．

因为b＝log32＞log33＝12＝a，

所以f（a）＞f（b）．故选B.

（2）由y＝f′（x）的图象知，函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1可转化为－2＜x2－6＜3，

解得2＜x＜3或－3＜x＜－2.故选A.]

（1）在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小．

（2）在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系．

[学以致用]　3．

（1）设函数f（x）＝2x＋sinx，则（　　）

A．f

（1）＞f

（2） B．f

（1）＜f

（2）

C．f

（1）＝f

（2） D．以上都不正确

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lgx）＞f

（1），则x的取值范围是________．

（1）B　

（2）110，10　[

（1）f′（x）＝2＋cosx＞0，

故f（x）是R上的增函数，故f

（1）＜f

（2）．故选B.

（2）由题设知，当x＞0时，f（x）单调递减；

当x＜0时，f（x）单调递增，

∴f（lgx）＞f

（1）⇔|lgx|＜1⇔－1＜lgx＜1⇔110＜x＜10.]

1．若函数f（x）＝－cosx＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（　　）

A．[－1，＋∞） B．[1，＋∞）

C．（－1，＋∞） D．（1，＋∞）

B　[由题意可得，f′（x）＝sinx＋a≥0恒成立，故a≥－sinx恒成立，因为－1≤－sinx≤1，所以a≥1.故选B.]

2．已知函数f（x）＝x＋lnx，则下列选项正确的是（　　）

A．f（e）＜f（π）＜f（2.7）

B．f（π）＜f（e）＜f（2.7）

C．f（e）＜f（2.7）＜f（π）

D．f（2.7）＜f（e）＜f（π）

D　[因为函数f（x）＝x＋lnx（x＞0），所以f′（x）＝12x+1x＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．又因为2.7＜e＜π，所以f（2.7）＜f（e）＜f（π）．故选D.]

3．函数f（x）＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为（0，3），则m＝________．

92　[令f′（x）＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝23m，所以23m＝3，解得m＝92.]

4．函数f（x）的图象如图所示，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式f'xx＜0的解集为_______