7.定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b=（a+b）（a−b）−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：
4*3=（4+3）×（4−3）−1=7−1=6.若x*k=x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
8.某校九年级3月份中考模拟总分760分以上有300人，同学们在老师们的高效复习指导下，复习效果显著，在4月份中考模拟总分760分以上人数比3月份增长5%，且5，6月份的760分以上的人数按相同的百分率x继续上升，则6月份该校760分以上的学生人数（ ）
A.300（1+5%）（1+2x）人 B.300（1+5%）（1+x）2人
C.（300+5%）（300+2）人 D.300（1+5%+2x）人
9.如图，三角形OAB的边OB在x轴的正半轴上，点O是原点，点B的坐标为（3,0），把三角形OAB沿x轴向右平移2个单位长度，得到三角形CDE，连接AC，DB，若三角形DBE的面积为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.12 B.1 C.2 D.32
10.已知某函数的图象过A（2,1），B（−1,−2）两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y=4x平行；
②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线x=12左侧．
所有合理推断的序号是（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.写出一个比−3大且比−2小的无理数是______．
12.不等式组2x−3<11−x≤2的解集是______．
13.甲袋中装有红、白两球，乙袋中装有两个红球和一个白球，两袋的球除颜色不同外其他都相同，如果分别从两个袋中各摸一球，则从两个袋中摸出的球都是白球的概率是______．
14.如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（2,2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值=______．
15.在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E在线段BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE交线段CD于点F.以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，当点E从B运动到C时，点H运动的路径长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16.先化简，再求值：
x2−2x−3x−2÷（x+2−5x−2），其中x=1．
17.随着2019年全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨，某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校九年级学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）整理统计如下：
收集数据：
25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位；分）：
90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100
整理数据：
按如下分组整理样本数据并补全表格：
成绩x（分）
90≤x≤100
75≤x<90
60≤x<75
x<60
人数
______
10
8
______
分析数据：
补充完成下面的统计分析表：
平均数
中位数
方差
76
______
190.88
得出结论
（1）若全校九年级有1000名学生，请估计全校九年级有多少学生成绩达到90分及以上；
（2）若八年级的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，请你分别从平均数，中位数和方差三个方面做出评价，你认为哪个年级的成绩较好？
18.2020年我国建成5G基站超60万个，5G建设跑出“中国速度”.某地有一个5G信号塔AB，小敏想用所学的数学知识测量信号塔AB的高度，她选择用树CD和楼房来测量.首先在树的底部D处测得信号塔的顶部A的仰角为42°；然后她站在楼房上的点E处恰好看到树的顶端C、信号塔的顶端A在一条直线上.测得树与楼房的距离DF=12米，CD=12米，EF=6米，已知点B、D、F三点共线，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求信号塔AB的高度.（参考数据：
sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
19.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．
（1）求证：
证明AF//OD；
（2）填空：
①已知AB=4，当BE=______时，AC=CF；
②连接BD、CD、OC，当∠E的度数为______时，四边形OBDC是菱形．
20.毕业季即将到来，某礼品店购进了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进2个A种礼品和6个B种礼品共需342元，购进4个A种礼品和3个B种礼品共需279元
（1）A，B两种礼品每个的进价是多少元？
（2）该店计划用4500元全部购进A，B两种礼品，设购进A种x个，B种y个．
①求y关于x的关系式；
②进货时，A种礼品的购进数量不少于60个，已知A种礼品每个的售价为38元，B种礼品每个的售价为50元，若该店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使该店所获利润最大．
21.已知二次函数y=ax2+4ax+b与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），且AB=2．
（1）抛物线的对称轴是______；
（2）求点A和点B坐标；
（3）点C坐标为（−2.5,−4），D（0,−4）.若抛物线y=ax2+4ax+b与线段CD恰有一个交点，求a的取值范围．
22.小星在学习中遇到这样一个问题：
如图
（1），Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AC=10cm，点E在线段CB上，且EC=2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长．
小星的探究过程如下：
（1）小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP=1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为______cm.但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题．
（2）小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，并分别对函数y1，y2随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值：
x/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
y1/cm
4.59
3.71
2.91
2.15
1.42
0.71
0
y2/cm
？
2.40
2.16
1.78
1.27
0.68
0
①在探究过程中，小星发现当BP=0时，无须测量可以求出QE的长，此时QE的长约为______cm（结果精确到0.01.参考数据：
2≈1.414）．
②利用表格中的数据，小星已经在如图
（2）所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象，请你根据上文中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y2关于x的函数图象
（3）小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：
______，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（4）请结合图象直接写出：
当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为______（结果精确到0.1cm）．
23.在△ABC中，AC=BC=3，∠ACB=120°，在△ADE中，∠DAE=90°，∠AED=30°，AD=1，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）如图1，当顶点D在边AB上时，线段BE与线段CF的数量关系是______，线段BE与线段CF的位置关系是______；
（2）将△ADE绕点A旋转，转到图2的位置时，
（1）中结论是否仍然成立？
若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（3）在△ADE绕点A旋转的过程中，线段AF的最大值为______；当DE//CF时，线段CF的长为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：
与15为倒数的数为：
5．
故选：
C．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：
从左面可看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：
A．
找到几何体从左面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】D
【解析】解：
A、了解新冠肺炎确诊病人同机乘客的健康情况，适宜采全面调查方式，故本选项不合题意；
B、调查某中学在职教师的身体健康状况，适宜采全面调查方式，故本选项不合题意；
C、对全校同学进行每日温度测量统计，适宜采全面调查方式，故本选项不合题意；
D、中央电视台《开学第一课》的收视率，适宜采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
故选：
D．
根据全面调查和抽样调查的概念、结合实际解答．
本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查，其二，调查过程带有破坏性，其三，有些被调查的对象无法进行普查．
4.【答案】A
【解析】解：
∵AB//CD，∠C=33°，
∴∠ABC=∠C=33°．
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠ABC=66°，
∵AB//CD，
∴∠CEF=∠ABE=66°．
故选：
A．
先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由BC平分∠ABE求出∠ABE的度数，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：
141178万=1.41178×109．
故选：
C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
6.【答案】B
【解析】∵点A（x1,−5），B（x2,2），C（x3,5）都在反比例函数y=2x的图象上，
∴x1=−25，x2=1，x3=25，
∴x1故选：
B．
根据函数值直接求出对应的x的值，比较大小即可．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：
∵x*k=x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x−k）−1=x，
整理得x2−x−k2−1=0．
∵△=（−1）2−4（−k2−1）
=4k2+5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：
C．
利用新定义得到（x+k）（x−k）−1=x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△>0可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2−4ac有如下关系：
当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
8.【答案】B
【解析】解：
根据题意知，6月份该校760分以上的学生人数=300（1+5%）（1+x）2人．
故选：
B．
4月份中考模拟总分760分以上有300（1+5%）人，6月份该校760分以上的学生人数=4月份该校760分以上的学生人数×（1+x）2人．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
9.【答案】D
【解析】解：
∵点B的坐标为（3,0），把三角形OAB沿x轴向右平移2个单位长度，
∴BE=2，BC=3−2=1，
∵图中阴影部分与三角形DBE等高，三角形DBE的面积为3，
∴图中阴影部分的面积为=3×12=32．
故选：
D．
根据平移的性质和等高的三角形面积比等于底边的比即可求解．
考查了坐标与图形变化−平移，三角形的面积，关键是得到三角形DBE和图中阴影部分的底．
10.【答案】D
【解析】解：
①过A（2,1），B（−1,−2）两点的直线的关系式为y=kx+b，则，
2k+b=1−k+b=−2，
解得，k=1b=−1，
所以直线的关系式为y=x−1，
直线y=x−1与直线y=4x不平行，
因此①不正确；
②过A（2,1），B（−1,−2）两点的反比例函数的关系式为y=kx，
则，k=1×2=2>0，因此双曲线的两个分支位于一、三象限，
故②正确；
③若过A（2,1），B（−1,−2）两点的抛物线的关系式为yax2+bx+c，
则4a+2b+c=1，a−b+c=−2，
所以a+b=1，
当抛物线开口向下时，有a<0，则b>0，
对称轴x=−b2a>0，
由图象可知，当对称轴0当b2a>2时，抛物线与y轴的交点在负半轴，
因此③不正确；
④当抛物线开口向上时，有a>0，而a+b=1，即b=−a+1，
所以对称轴x=−b2a=−−a+12a=12−12a<12，
因此函数图象对称轴在直线x=12左侧，故④正确，
综上所述，正确的有②④，
故选：
D．
分别根据过A、B两点的函数是一次函数、反比例函数、二次函数时，相应的函数的性质进行判断即可．
本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，理解各种函数的图象和性质是正确判断的前提．
11.【答案】如−5等（答案不唯一）
【解析】解：
由题意可得，−2>−5>−3，并且−5是无理数．
故答案为：
如−5等（答案不唯一）．
根据这个数即要比−3大且比−2小又是无理数，解答出即可．
本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12.【答案】−1≤x<2
【解析】解：
∵解不等式2x−3<1得：
x<2，
解不等式1−x≤2得：
x≥−1，
∴不等式组的解集是−1≤x<2，
故答案为：
−1≤x<2．
先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
13.【答案】16
【解析】解：
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，从两个袋中摸出的球都是白球的结果有1个，
∴从两个袋中摸出的球都是白球的概率为16，
故答案为：
16．
画树状图，共有6个等可能的结果，从两个袋中摸出的球都是白球的结果有1个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】16π−1233
【解析】解：
由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，
∵P（2,2），
∴OP=2，∵OA=OB=4，
∴PA=PB=23，
∴tan∠AOP=tan∠BOP=3，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S阴=S扇形OAB−S△AOB=120⋅π⋅42360−12⋅23⋅2=16π−1233，
故答案为：
16π−1233．
由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，求出AB的长，∠AOB的大小即可解决问题．
本题考查扇形的面积的计算、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，属于中考常考题型．
15.【答案】5
【解析】解：
如图，连接CH．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=BCF=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF+∠EBF=90°，∠ABF+EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴ABCB=EBCF=2，
∵四边形BEHF是平行四边形，
∴FH=BE，FH//BE，
∴∠HFC=∠BCF=90°，
∴FHCF=2，
∴tan∠HCF=2，
∴∠HCF是定值，
∴点H的运动轨迹是线段CH，
当当点E从B运动到C时，
∴FH=BC=2，
∴CF=1，
∴CH=22+12=5．
故答案为：
5．
如图，连接CH.证明△ABE∽△BCF，推出ABCB=EBCF=2，由四边形BEHF是平行四边形，推出FH=BE，FH//BE，推出∠HFC=∠BCF=90°，推出FHCF=2，推出tan∠HCF=2，推出∠HCF是定值，推出点H的运动轨迹是线段CH，求出CH，可得结论．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是确定点H的运动轨迹，属于中考常考题型．
16.【答案】解：
x2−2x−3x−2÷（x+2−5x−2）
=（x−3）（x+1）x−2÷（x+2）（x−2）−5x−2
=（x−3）（x+1）x−2⋅x−2x2−4−5
=（x−3）（x+1）（x+3）（x−3）
=x+1x+3，
当x=1时，原式=1+11+3=12．
【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则和运算顺序．
17.【答案】4 3 76
【解析】解：
整理数据：
补全表格如下
成绩x（分）
90≤x≤100
75≤x<90
60≤x<75
x<60
人数
4
10
8
3
分析数据：
补充完成下面的统计分析表：
平均数
中位数
方差
76
76
190.88
得出结论
（1）估计全校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为1000×425=160（人）；
（2）从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
整理数据：
根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可补全统计分析表；
得出结论：
（1）总人数乘以样本中成绩达到90分及以上的学生人数所占比例；
（2）分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
18.【答案】解：
过点E作EG⊥AB于G，交CD于H，则四边形EFDH、四边形EFBG、四边形BDHG都为矩形，如图所示：
∴EF=DH=BG=6，HE=DF=12米，BD=GH，BF=GE，∠CHE=∠AGE=90°，
∴CH=CD−DH=12−6=6（米），
在Rt△CHE中，tan∠CEH=CHHE=612=12，
∴在Rt△AGE中，tan∠AEG=AGGE=12，
设AG=x，则GE=BD+DF=BD+12=2x，
∴BD=2x−12，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=ABBD=x+62x−12≈0.9，
解得：
x=21，
即AG≈21（米），
∴AB=AG+BG≈27（米），
答：
信号塔AB的高度约为27米．
【解析】过点E作EG⊥AB于G，交CD于H，由锐角三角函数定义得出tan∠AEG=AGGE=12，设AG=x，则GE=BD+DF=BD+12=2x，则BD=2x−12，由tan∠ADB=ABBD=x+62x−12≈0.9，解得：
x=21，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】4 30°
【解析】证明：
（1）连接OD，OC，如图，
∵点D是BC的中点，
∴∠DOE=∠DOC=12∠COB，
∵∠CAB=12∠COB，
∴∠CAB=∠DOE．
∴AF//OD．
解：
（2）①连接OD，过点O作OG⊥AC于点H，如图，
若AC=CF，则AC=12AF．
∵OG⊥AC，
∴AG=12AC，
∴AG=14AF．
∴GF=34AF，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
由
（1）得：
OD//AF，
∴AF⊥EF．
∵OG⊥AF，
∴四边形OGFD为矩形．
∴GF=OD=12AB=2．
∴34AF=2，
∴AF=83．
∵OD//AF，
∴△EOD∽△EAF．
∴ODAF=EOEA．
∴283=EB+OBEB+AB，即：
283=BE+2BE+4，
解得：
BE=4，
故答案为：
4．
②连接OD，如图，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠ODE=90°．
若四边形OBDC是菱形，
则OB=BD=CD．
∵OB=OD，
∴OB=OD=BD，
∴∠DOB=60°，
∴∠E=180°−∠ODE−∠DOB=180°−90°−60°=30°．
故答案为：
30°．
（1）连接OD，OC，利用圆周角定理和同弧所对的圆心角相等得出∠CAB=∠DOE，根据同位角相等，两直线平行可得
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