新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读第五章一元函数的导数及其应用章整体解读.docx
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第五章一元函数的导数及其应用
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具．本章通过具体情境，引导学生直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题．通过本章的学习，提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养．
一、本章内容安排
本章通过丰富的实际背景和典型实例，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念及其几何意义，通过这些过程让学生了解导数是如何刻画瞬时变化率的，体会导数的内涵，感悟极限思想．本章还学习基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则和简单复合函数的导数，并从中进一步感悟极限思想；在此基础上，引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，认识导数是研究函数单调性、最大
（小）值等性质的基本方法，体会导数的意义．本章知识结构如下：
16
“51导数的概念及其意义”按照概念教学的基本环节展开．首先通过高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率两个典型变化率实例，引导学生两次完整经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数＝f（）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达．在此基础上，通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的几何意义，让学生又一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，教科书不断渗透“用运动变化的观点研究问题”“逼近”“以直代曲”等微积分的重要思想，不断让学生体会极限的思想和方法，提升学生的数学抽象和直观想象素养．
高中阶段研究的函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，因此，引入导数的概念之后，“52导数的运算”先研究基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数，再解决计算简单初等函数导数的问题．本节首先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数，进而从特殊到一般直接给出基本初等函数的导数公式．接着，通过具体实例让学生直观感知两个函数和、差的导数与它们的导数的和、差之间的关系．在此基础上，直接给出导数的四则运算法则．最后，通过具体实例，在让学生直观感知求复合函数
导数的方法的基础上，直接给出复合函数的求导法则．在本节相关内容的展开过程中，着重引导学生利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，求简单函数及简单的复合函数
（限于形如f（ab））的导数，并从中进一步体会极限思想，提升学生的数学运算素养．
导数定量地刻画了函数的局部变化，“53导数在研究函数中的应用”利用导数研究函数的性质，主要研究函数的单调性、极值与最大（小）值等重要性质．“531 函数的单调性”首先就高台跳水运动问题，考察运动员的重心距离水面的高度函数h（t）的单调性，与h（t）的导数v（t）=h′（t）的正负之间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数导数的正负与这个函数单调性的关系；进而，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它
们的共性规律，给出一般可导函数f（）的单调性与其导函数f（x）的正负之间关系；最后利
用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一些函数的增长快慢问题．“532 函数的极值与最大（小）值”仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征（极值的必要条件），并利用可导函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，用导数求函数的极值、最大（小）值以及实际问题的最大
（小）值，并利用导数研究函数图象和性质的综合性问题．通过本节的学习，让学生认识导数是研究函数性质的基本工具，也是解决优化问题的一种通法，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
导数的概念是微积分学的最重要的概念之一，在微积分学中具有基础性地位，也是本章最为核心的内容．利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，是运用导数研究函数性质的基础和必备技能．对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题．导数简明地回答
了这些问题：
由f（x）的符号可知函数f（）是增还是减，由f（）绝对值的大小可知函数
变化的快慢．不仅如此，导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法．导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具．因此本章的重点是：
导数的概念，利用基本初等函数的导数公式和导数法则求简单函数和简单复合函数的导数，运用导数研究简单函数的性质．
导数是瞬时变化率的数学表达，学生对导数的内涵——瞬时变化率的认识有一定难度；同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟．因此，导数的概念是本章的一个教学难点．在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键．由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难．因此，求简单复合函数的导数是本章的另一个教学难点．加强对复合函数的复合过程的分析，厘清复合函数中的自变量、中间变量、因变量，是突破这一难点的关键．
二、本章编写思考
1.在导数概念抽象过程中凸显导数的内涵与思想
导数概念的本质是瞬时变化率，它高度抽象，为使学生初步理解导数的内涵与思想，教科书以两个典型的变化率问题为载体，以导数概念的本质及其反映的思想方法为指引，引导学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，展开观察、分析各实例的属性的数学活动，并挖掘其中所蕴含重要思想方法，进而析出各实例中蕴含的导数的本质属性．
具体地，对于“问题1高台跳水远动员的速度”，教科书通过
探究在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：
m）与起跳后的时间t（单位：
）存在函数关系
h（t） 4.9t2
4.8t
11.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
设置情境并提出问题，然后引导学生从已有经验出发，通过层层递进的问题，使学生感受用平均速度无法精确描述运动员的运动状况（在0≤t≤48这段时间内的平均速度为0，但
49
运动员几乎一直处于运动状态），体会研究瞬时速度必要性的同时，自然地提出问题：
如何求运动员的瞬时速度？
瞬时速度与平均速度有什么关系？
为了解决抽象导数概念过程中的这个关键问题，教科书构建了一个运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度v趋近于t0时刻的瞬时速度的过程，并以t0＝1为例，借助技术工具，引导学生直观感受当Δt→0时平均速度v无限趋近于一个确定的数，即t0＝1时刻的瞬时速度．在此过程中，使学生理解解决瞬时速度问题的方法，也使学生感受其中蕴含的极限思想．
接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，解决运动员在其他时刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验，然后再将上述过程与方法一般化，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识．
对于“问题2抛物线的切线的斜率”，教科书类比解决问题1的过程与方法，引导学生探究“如何定义抛物线f（）＝2在点P0（1，1）处的切线？
”“如何求抛物线f（）＝2在点P0（1，1）处的切线PT的斜率0”让学生充分经历从割线到切线、从割线斜率到切线斜
率的过程，进一步感受解决问题的过程和方法．
在详细分析两个典型变化率问题的基础上，抽象概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数＝f（）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，给出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达，使学生获得导数概念的同时，发展数学抽象、直观想象等素养．
2.从具体到抽象，适度进行规则的抽象概括
由于高中阶段不专门介绍极限的有关知识，因此不可能通过严格逻辑推理的方式，推导出基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，以及导数正负与函数单调性之间关系等公式与“规则”．这样，如何以适当的方式给出这些“规则”，就成了编写教科书时需要着重思考的问题之一．
教科书从高中学生的认知规律出发，结合规则的具体特点，从具体实例出发，进而从具体到抽象、从特殊到一般给出“规则”，使得过程自然、合理，不突兀．
例如，在“基本初等函数的导数公式”中，首先根据导数的定义求6个常用的具体函数
x
＝c，＝，＝2，＝3，＝1，＝
x
的导数，在此基础上，从特殊到一般给出基本初等函数的
导数公式．
又如，在“导数的四则运算法则”中，首先对f（）＝2，g（）＝，计算
［f（）g（）］与［f（）－g（）］，探究出它们与f（x）和g（x）之间的关系：
［f
（）±g（）］′＝f′（）±g′（）．进而再取几组函数，感受上述关系仍然成立．在此基础上，
从特殊到一般，给出两个函数的和（或差）的导数运算法则
［f（）±g（）］′＝f′（）±g′（）．
再如，在“简单复合函数的导数”中，先从两个角度研究具体函数＝in2的导数．第一个角度，对in2进行恒等变形，得＝2in co，进而直接利用两个函数的积的导数运算法则求出它的导数′；第二个角度，利用函数＝in2是由＝inu，u＝2复合而成的，猜想函数＝in2的导数一定与函数＝inu，u＝2的导数有关，进而求出u′，u′，并考察′，u′，u′之间的关系，得到′＝u′·u′．最后，从特殊到一般，给出复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数＝f（u）和u＝g（）复合而成的函数＝f（g（）），它的导数与函数＝f（u），u＝g（）的导数间的关系为′＝u′·u′．
对于“函数导数的正负与函数单调性的关系”，由于高中阶段不介绍微分中值定理，因此无法进行证明．教科书借助具体实例，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般函数f（）的单调性与导函数f′（）的正负之间关系．具体地，首先就高
台跳水运动问题，考察运动员的重心距离水面的高度函数h（t）的单调性，与它的导数v
（t）＝h′（t）的正负之间的关系；接着，通过4
2 3 1
个具体函数＝，＝，＝，＝
的图象，进
x
一步探讨函数导数的正负与函数单调性的关系；最后，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般函数f（）的单调性与导函数f′（）的正负之间关系．
类似地，对于“可导函数极值点的特征”，教科书仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征，得到极值的充分条件．
通过这样的“抽象概括”过程，让学生在对“规则”有一定直观感知的基础上给出“规
则”，有效化解了由于无法证明规则造成的“不严密”的问题，和规则的抽象性问题．
3.强调“逼近”过程，不断渗透极限思想
由于高中阶段不专门讲授极限的具体知识，因此极限的思想和方法必须结合具体内容的展开加以渗透．教科书抓住一切机会渗透极限思想，把“体会极限思想”落到实处．
例如，在求高台跳水运动员在t＝1时的瞬时速度时，通过列表，对于Δt的一系列值，给出对应的平均速度v的值，观察当Δt趋近于0时，平均速度v的变化趋势．
直观感受极限过程，体会极限思想，得到：
我们发现，当Δt趋近于0时，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边趋近于1
时，平均速度v都趋近于－5．
进一步地，从解析式的角度观察平均速度v的变化趋势：
v h（1（1
Δt）
Δt）
h
（1）1
4.9Δt-5，可以发现，当Δt趋近于0时，－也趋近于0，所以v趋
近于－5．这样就从解析式的角度，更为理性地感受极限过程，体会极限思想．
与求高台跳水运动员在t＝1时的瞬时速度的研究过程和方法一样，对于抛物线f（）＝2在点P（1，1）处切线的斜率，教科书也作类似地处理，以帮助学生直观感受极限过程，体会极限思想．
引入导数概念后，教科书在巩固导数概念的例题中，直接利用导数的定义求函数在一点
x
处的导数；利用导函数的定义求6个常用的具体函数＝c，＝，＝2，＝3，＝1，＝ 的导
x
函数，通过这些具体实例渗透极限思想．
4.加强形与数的融合，培养直观想象素养
由于高中阶段没有建立完整的微积分知识体系，因此，只能通过直观的方式，认识微积分的一些重要思想方法，“获得”一些“法则”．本章注重形与数的融合，帮助学生利用图形直观，理解一些重要思想方法和“法则”．
例如，通过研究导数的几何意义，从“形”的角度加深对导数概念的理解，进一步地，
通过将点P0附近的曲线不断放大，发现点P0附近的曲线越来越接近于直线，即在点P0附近，曲线＝f（）可以用点P0处的切线P0T近似代替，从而帮助学生初步感受微积分的重要
思想方法——
4 2 3 1
以直代曲．又如，通过
个函数＝，＝，＝，＝
的图象，并利用导数的几
x
何意义，从“形”的角度直观认识函数单调性与导数符号之间的关系．
对于函数的极值、最大（小）值研究，也充分借助函数图象，从图形直观的角度归纳出相应的“法则”．
5.强调利用导数研究函数性质
在学习导数之前，我们通常借助图象直观，利用不等式、方程等知识，通过代数运算研究函数的性质．导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，有了导数工具，就可以利用导数更加“精确地”研究函数的性质，因此导数是研究函数性质的基本工具．
单调性是函数最重要的性质，也是研究函数其他性质的基础．教科书首先使用了大量篇幅研究函数的单调性，从具体实例抽象概括出函数f（）的单调性与导函数f′（）的正负之间关系，进而利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一
些函数的增长快慢问题．在此基础上，采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征，并利用函数导数的正负与函数单调性的关系，用导数求函数的极值、最大（小）值和实际问题的最大（小）值，并综合研究函数的图象和性质．
在上述具体内容的展开中，注意提炼研究函数性质的通性通法，例如，在用导数研究函数的单调性之后，总结出研究步骤：
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数＝f（）的单调性：
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求出导数f′（）的零点；
第三步，用f′（）的零点将f（）的定义域划分为若干个区间，列表得出f′（）在各区间的符号，由此得出函数＝f（）在定义域内的单调性．
这样，让学生体会用导数研究函数性质体现了通性通法，认识导数是研究函数性质的基本工具．
6.注重信息技术工具的使用
本章注重借助信息技术手段，让学生直观认识极限、切线，以及“以直代曲”的重要思
想．
例如，在“问题1高台跳水运动员的速度”中，计算时间段［1，1Δt］内的平均速度
v，用平均速度v近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度．给出Δt更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v的值，便于学生观察当Δt趋近于0时，平均速度v的变化趋势．
在“问题2抛物线的切线的斜率”中，为了研究抛物线f（）＝2在点P0（1，1）处的切线，对于抛物线上的点P0（1，1）的附近任意一点P0（，2），利用信息技术工具，借助图形直观，易于观察割线P0P的变化趋势，得到割线P0P趋近于确定的位置就是抛物线f
（）＝2在点P0（1，1）处的切线．在列表计算割线P0P的斜率值时，利用信息技术工具计算更多割线P0P的斜率的值，有助于帮助学生观察出割线斜率的变化趋势．
利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点P0附近，曲线＝f（）可以用点P0处的切线P0T近似代替．
三、本章教学建议
1.充分经历概念生成过程，注重思想方法的渗透
导数的概念非常抽象，而导数的几何意义涉及一般曲线的切线的概念，对学生来说是全新的，因此要使学生理解导数的内涵和思想，教学中必须充分经历导数的概念及其几何意义的生成过程，通过典型丰富的实例抽象概括出导数概念和一般切线的概念，得出导数的几何意义．至少让学生次经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程：
过程1 物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程——典型实例分析；
过程2几何学中特殊曲线由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——典型实例分析；
过程3 一般函数＝f（）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程——给出导数的概念；
过程4 一般曲线＝f（）由割线过渡到切线、由割线斜率过渡过渡到切线斜率的过程—
—给出导数的几何意义．
前3个过程的重心是对两个不同类型的典型实例进行属性的分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，进而抽象概括出导数概念——用准确的数学语言表述的导数概念，属于概念教学一般进程中的“概念的形成”和“概念的明确与表示”环节；过程
2、过程4是从特殊到一般得到一般切线概念以及导数的几何意义的过程，其中过程4让学生又一次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，有利于建立多元联系，进一步理解导数的概念．这样多次、反复经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，极大地助力学生初步理解导数的内涵——导数是瞬时变化率．
需要特别注意的是，在上述4个过程尤其是过程1和过程2中，还应不断渗透和多次使用“运动变化的观点”“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想以及“极限思想”解决问题，这样在抽象概括导数的概念和几何意义时，可以对研究问题思想方法、过程，极限思想和结果形式的一致性等“内容及其蕴含的思想、方法”一并进行适度总结概括；在过程2和过程4中，让学生通过函数图象直观体会割线逼近切线过程，理解导数的几何意义．
通过上述过程和方法，就能真正达成初步“感知微积分的基本思想，理解导数的内涵和思想，理解导数的几何意义，体会极限思想”的单元教学目标，把提升数学抽象、直观想象素养落到实处．
2.强调导数研究函数性质的一般步骤
本章教学中，应强调利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值的一般步骤，体现程序化思想，以让学生体会导数是研究函数性质的基本工具，是普适性方法．
例如，在利用导数研究函数的极值时，强调求极值的一般步骤：
一般地，可按如下方法求函数＝f（）的极值：
解方程f′（）＝0，当f′（0）＝0时：
（1）如果在0附近的左侧f′（）>0，右侧f′（）0，那么f（0）是极小值．
3.加强运算训练，提升学生的数学运算素养本章的数学运算主要有三类：
（1）利用导数的定义求导数值、计算一些简单函数的导函数；
（2）利用基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则以及复合函数的导数，计算简单初等函数的导数；
（3）利用导数研究函数的单调性、极值、最大（小）值等性质．
通过
（1）掌握用定义求导数的步骤，并体会极限思想；通过
（2）掌握计算简单初等函数的导数的方法，并进一步体会极限思想；通过（3）掌握利用导数研究函数性质的一般步骤和方法，因此这些运算必须熟练掌握．“运算”是贯穿本章的一条主线，教学时应加强这些运算的训练，不断提升学生的数学运算素养．
4.适当介绍微积分创立的史实，让学生感受理性精神
微积分的创立是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．教学中应结合章引言、“文献阅读与数学写作”等，适当介绍微积分创立的史实，让学生感受理性精神．
例如，在章引言中，适当介绍微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物
体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速
度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等．历史上科学家对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．其中对“已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度”“求曲线的切线”“求函数的最大值与最小值”三类问题的研究，导致了导数的产生．
在“文献阅读与数学写作”中，组织学生收集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料，包括一些重要历史人物（牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等）和事件，让他们论述微积分创立与发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献，从中感受理性精神．
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