第十九章《四边形》习题含答案.docx
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第十九章《四边形》习题含答案
第十九章《四边形》
提要：
本章重点是四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.本章难点在于四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面学习三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思不容易理解，所以是难点.
习题
一、填空题
1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是：
．
2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形：
（1）第4个图形中有白色地面砖块；
（2）第n个图形中有白色地面砖块．
3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________．
4．在正方形ABCD所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．
5．四边形ABCD为菱形,∠A=60°,对角线BD长度为10cm，则此菱形的周长cm．
6．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是__________cm2．
7．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm，则△AOC的周长为_______．
8．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________,∠B=__________．
9．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，两底分别是15cm和49cm，则等腰梯形的腰长为______．
10．用一块面积为450cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条cm．
11．已知在平行四边形ABCE中,AB=14
BC=16
则此平行四边形的周长为
.
12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明（只需填写一种方法）
13．如图19-3,正方形ABCD的对线AC、BD相交于点O.那么图中共有个等腰
直角三角形.
14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.
（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成;
（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;
（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.
15．矩形的两条对角线的夹角为
较短的边长为12
则对角线长为
.
16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为
和
.
17．平行四边形的周长为24
相邻两边长的比为3:
1,那么这个平行四边形较短的边长为
.
18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为
.
19．已知菱形的两条对角线长为12
和6
那么这个菱形的面积为
.
20．如图19-5,
是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论:
（1）AB∥CD;
（2）AB=CD;（3）AB
BC;（4）AO=OC.其中正确的结论是.
（把你认为正确的结论的序号都填上）
二、选择题
21．给出五种图形：
①矩形；②菱形；③等腰三角形（腰与底边不相等）；④等边三角形；⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（）
A．②③B．②③④
C．①③④⑤D．①②③④⑤
22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）
23．四边形ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰3，则这个四边形是（）
A．梯形B．等腰梯形
C．直角梯形D．任意四边形
24．要从一张长40cm，宽20cm的矩形纸片中剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片则最多能剪出（）
A．1张B．2张
C．3张D．4张
25．如图19-7，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE︰EF︰FB为（ ）
A．1︰2︰3 B．2︰1︰3
C．3︰2︰1D．3︰1︰2
26．下列说法中错误的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
B．两条对角线相等的四边形是矩形；
C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
D．两条对角线相等的菱形是正方形．
27．下列说法正确的是（）
A．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；
B．角既是轴对称图形又是中心对称图形；
C．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；
D．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．
28．点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A．①② B．②③
C．①③D．③④
29．已知ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）
A．AB=CDB．AC=BD
C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC=90°时，它是矩形
30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）
A．大于2，B．小于14
C．大于2且小于14D．大于2或小于12
31．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（）
A．4种B．5种C．7种D．8种
32．下列说法中,错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形
33．给出四个特征
（1）两条对角线相等;
（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．菱形、矩形或正方形
35．如图19-8,直线
∥
A是直线
上的一个定点,线段BC在直线
上移动,那么在移动过程中
的面积（）
A．变大B．变小C．不变D．无法确定
36．如图19-10,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果
则
等于（）
A．
B．
C．
D．
37．如图19-11,在
中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是（）
A．5B．10C．15D．20
38．已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:
（1）如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
（2）如果再加上条件“
”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
（3）如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
（4）如果再加上条件“
”,那么四边形ABCD一定是平行四边形
其中正确的说法是（）
A．
（1）
（2）B．
（1）（3）（4）C．
（2）（3）D．
（2）（3）（4）
三、解答题
39．如图19-12，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD//BA,四边形AEBC是平行四边形．请说明：
∠ABD＝∠ABE．
40．如图19-13，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC, 设MN交∠BCA的平分线
于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
说明你的结论．
41．如图19-14，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．
42．如图19-15，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．
43．如图19-16，等腰梯形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AB于F，如果AB=6，EF=5，求梯形ABCD的面积．
44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？
请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：
①画出的圆应符合比例要求；②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：
正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）
45．如图19-18,在正方形ABCD中,M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．
试说明：
MD=MN．
46．如图19-19,中,DB=CD,
AE⊥BD于E.试求
的度数.
47．如图19-20,中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,
.
（1）试说明DF=BG;
（2）试求
的度数.
48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH;
（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是:
;
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:
.
（图①）（图②）（图③）（图④）
图19-21
49．如图19-22，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求DE、EF、FC的长．
50．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE＝15°，试求∠COE的度数。
51．如图19-24，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，P在BC上，且AP=PC+CD，
求证：
AQ平分∠DAP。
52．已知四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形,并说明理由.
53．如图19-24,直线MN经过线段AC的端点A,点B、Ｄ分别在
和
的角平分线AE、AF上,BD交AC于点O,如果O是BD的中点,试找出当点O在AC的什么位置时,四边形ABCD是矩形,并说明理由.
54．如图19-25，李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?
若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.
55．如图19-26，在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，
⑴在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；
⑵在△ABC中，增加条件，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；
⑶在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置
⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置.
参考解析
一、填空题
1．A=
b（点拨：
利用矩形的面积等于长与宽的积．）
2．
（1）18；
（2）4n+2（点拨：
每相邻两个大正六边形有两块白色地砖是公共的，因此第n个图形中有白色地面砖4n+2块．）
3．正方形（点拨：
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．）
4．5个点（点拨：
正方形的中心O；正方形四个外角角平分线的交点．）
5．40（点拨：
当∠A=60°时，菱形的边长等于它较短的对角线长．）
6．32（点拨：
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形．）
7．13㎝（点拨：
平行四边形的对角线互相平分，则OA+OB=7㎝．）
8．110°,110°（点拨：
平行四边形的对角相等，邻角互补．）
9．34㎝（点拨：
过点A作腰的平行线得到等边三角形，则腰长等于两底的差．）
10．60（点拨：
设对角线长为a，过上底的一个端点作对角线的平行线，与下底及梯形的另一条腰构成等腰直角三角形，则它的面积=
a2=450，a=30．）
11．60．
12．平行四边形;有一组邻边相等．
13．8．提示:
它们是
14．
（1）等腰直角三角形;
（2）等腰三角形;（3）直角三角形．
15．24．
16．135;45．
17．3．
18．4．（点拨：
如图19-1所示,将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为1
的正方形,所以它的周长为4
．
19．36．提示:
菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半．
20．
（1）
（2）（4）．提示:
四边形ABCD是菱形．
21．C（点拨：
当两块三角板的最小边重合时，可得到平行四边形或腰和底边不相等的等腰三角形；当它们的斜边重合在一起时，可得到矩形．）
22．C（点拨：
图（B）绕小正方形的中心旋转180°，能与原来的图形重合．）
23．C（点拨：
四边形的四个内角分别为90°、90°、45°、135°．）
24．C（点拨：
在矩形的长上依次剪三个12㎝，再在宽上剪18㎝．）
25．B（点拨：
BE=BC=4，AE=2，BF=3，则EF=BE－BF=1．）
26．B（点拨：
对角线相等的平行四边形是矩形．）
27．C（点拨：
菱形也是中心对称图形，A错；角不是中心对称图形，B错．）
28．B（点拨：
由①②，①③，③④，②④的组合都能得到平行四边形．）
29．B（点拨：
平行四边形ABCD不一定是矩形，因而它的对角线不一定相等．）
30．C（点拨：
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．）
31．B．
32．D．
33．C．
34．C．
35．C．（点拨：
因为
的底边BC的长不变,BC边上的高等于直线
之间的距离也不变,所以
的面积不变．）
36．A（点拨：
由于
）
37．B（点拨：
先说明DF=BF,DE=CE,
所以四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC．）
38．C．
三、解答题
39．AD=BC=AE，BD=AC=BE，AB=AB，则△AEB≌△ADB，故∠ABD=∠ABE．
40．
（1）CE平分∠ACB，则∠ACE=∠BCE，而MN//BC，得到∠OEC=∠BCE，所以∠ACE=∠OEC，从而EO=OC，同理OC=OF，故EO=FO；
（2）当点O运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形．先得到∠ECF=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行识别．
41．AD⊥EF．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，确定四边形AEDF是菱形，所以AD⊥EF．
42．OM⊥ON，OM=ON．先说明△DCM≌△CBN得CM=BN，再推出△OCM≌△OBN得OM=ON．
43．如图19-2，连结AE交BC的延长线于G点，连结BE．先说明△ADE≌△GCE，得到AE=GE，S△ABG=S梯形ABCD=2S△ABE=2×15=30．
44．摆放三套或四套的设计方案如图19-3所示．关键是确定这些圆的圆心位置（圆心分别在等腰三角形和平行四边形的顶点处），另外，设计的示意图要符合比例要求：
（1）每个圆的半径为1.5㎝；
（2）每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于2㎝；（3）设计两圆的圆心的距离不小于3.5㎝．
45．如图19-4，将△BMN以∠DMN的角平分线为轴翻折至△PDM的位置，即取AD的中点P，连结PM．从而△MPD≌△NBM，故DM=MN．
46．因为BD=CD,所以
又因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以
因为
.
47．
（1）因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB－AF=DC－CG,即GD=BF,又DG∥BF,所以四边形DFBG是平行四边形,所以DF=BG;
（2）因为四边形DFBG是平行四边形,所以DF∥GB,所以
同理可得
所以
.
48．
（1）平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
（2）矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.
49．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，
AD=BC（平行四边形的对边平行且相等），所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），又因为AE平分∠DAB，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以DA=DE=2cm（等角对等边）．同理BC=CF=2cm．所以EF=DC—DE—CF=6cm—2cm—2cm=2cm．
50．由“四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC”知∠CDE＝∠CED＝45°，又∠BDE＝15°，所以∠CDO＝60°，由矩形的特征“对角线互相平分”可知，OD＝OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC＝OD＝CE，∠DCO＝60°，∠OCB＝30°，进而求得∠COE＝75°．
51．如图应9-5，延长AQ交BC的延长线于E．因为四边
形ABCD是正方形，所以AD=CD，AD∥BE．又Q是CD的中点．因此，△ADQ与△ECQ关于点Q成中心对称．则有AD＝CE，∠1＝∠E．又因为AP＝PC＋CD，所以AP＝PC＋CE，于是∠2＝∠E．故∠1＝∠2，即有AQ平分∠DAP．
52．下面给出两种参考答案:
（1）添加条件AB∥DC,可得出该四边形是矩形;
理由:
因为AB∥DC,AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为AC=BD,所以四边形ABCD是矩形.
（2）添加条件AC垂直平分BD,那么该四边形是正方形.
理由:
因为AC垂直平分BD,所以AB=AD,BC=CD,又因为AB=DC,所以AB=AD=BC=DC,所以四边形ABCD是菱形,又因为AC垂直BD,所以四边形ABCD是正方形.
说明:
解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系,向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论.
53．解析：
O在AC的中点时,四边形ABCD是矩形.
因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,
又
=
=
所以四边形ABCD是矩形.
54．如图19-6所示,连结对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行线,且这些平行线两两相交于E、F、G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形.
55．⑴ 如图19-7
方法一：
∠B＝90°，中位线EF，如图示2－1.
方法二：
AB＝AC，中线（或高）AD，如图示2－2.
⑵ AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位线EF，如图示3.
⑶ 方法一：
∠B＝90°且AB＝2BC，中位线EF，如图示4－1.
方法二：
AB＝AC且∠BAC＝90°，中线（或高）AD，如图示4－2.
⑷ 方法一：
不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB＝∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－1.
方法二：
不妨设∠B＞∠C，分别取AB、AC的中点D、E，过D、E作BC的垂线，G、H为垂足，在HC上截取HF＝GB，连结EF，则EF为剪切线.如图示5－2.
方法三：
不妨设∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，连结AG，过AC的中点E作EF∥AG交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－2.
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