厦门大学至学年第二学期高等代数期末考试试题A.docx
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厦门大学至学年第二学期高等代数期末考试试题A
厦门大学2007至2008学年第二学期高等代数期末考试试题A
注意：
所有答案请写在答题纸上
一 选择题（8题×4分）
1．设是n阶对称正定阵，则是___ _。
A. 正定阵 B. 半正定阵 C. 负定阵 D. 半负定阵
2． 设是n阶非零实对称阵，则是半正定阵的充要条件是___ _。
A. 的所有k阶子式非负（） B. 存在n阶非零矩阵，使得
C. 对元素全不为零的向量，总有 D. 存在非零向量，使得
3．设是二维行空间中的任意两个向量，则对以___ _为规定的内积构成欧氏空间。
A. B.
C. D.
4．设是欧氏空间的子空间，分别是的正交补空间，则下列叙述中错误的是____。
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
5．设是n阶矩阵，则下列叙述中错误的是___ _。
A. 若是正交阵，则也是正交阵 B. 若是正定阵，则也是正定阵
C. 若是正交阵，则也是正交阵 D. 若是正定阵，则也是正定阵
6．设是n阶实对称阵，则下列说法正确的有___ _个。
①的特征值相同的充要条件是相似 ②的特征值相同的充要条件是正交相似
③的特征值相同的充要条件是合同 ④的特征值相同的充要条件是相抵
A.1 B. 2 C.3 D.4
7．设是n阶实对称阵，则满足___ _时，必相似。
A. ，其中分别为的极小多项式
B. ，其中分别为的特征多项式
C. ，且的正惯性指数等于的正惯性指数
D. ，且的正惯性指数等于的正惯性指数
8．设是n维欧氏空间上的自伴随算子，则下列说法正确的有___ _个。
①在的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵
②在的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵
③在的某组基下的表示矩阵是对角阵
④在的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵
A.1 B.2 C.3 D.4
二 填空题（8题×4分）
1．设是实对称阵，且，则_____。
2．写出实对称阵是正定的三个充要条件_____。
3． 设是欧氏空间上的两个向量，则_____，且等号成立的充要条件是_____。
4． 用Gram-Schmit正交化方法求由所张成的子空间的一组标准正交基（取标准内积）_____。
5．设是三维欧氏空间的一组基，其度量矩阵为，向量，则_____。
6．设是n维欧氏空间的子空间，且，则_____n（选择）。
7．设是n阶正交阵，若，则_____。
8．设是2阶正交阵，则必形如_____或_____。
三 （8分）
设三阶实对称阵的特征值为1（二重）和，且是对应于1的两个特征向量。
1）求对应的所有特征向量；
2）求矩阵。
四 （8分）
设是n阶实对称阵，其特征值为证明：
对任意的n维列向量，均成立
。
五 （10分）
设为n维欧氏空间V的一组基。
证明：
这组基础是V的标准正交基的充要条件是对V中任一向量，都有
。
六 （10分）
设是n阶实矩阵。
证明：
的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵，使得为上三角阵。
附加题：
（不计入总分）
设是n阶实对称阵，正定，半正定。
证明：
1） 若，则；
2） 。
参考答案
一 选择题（8题×4分）
1．设是n阶对称正定阵，则是___ _。
B
A. 正定阵 B. 半正定阵 C. 负定阵 D. 半负定阵
2． 设是n阶非零实对称阵，则是半正定阵的充要条件是___ _。
B
A. 的所有k阶子式非负（） B. 存在n阶非零矩阵，使得
C. 对元素全不为零的向量，总有 D. 存在非零向量，使得
3．设是二维行空间中的任意两个向量，则对以___ _为规定的内积构成欧氏空间。
C
A. B.
C. D.
4．设是欧氏空间的子空间，分别是的正交补空间，则下列叙述中错误的是___ _C
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
5．设是n阶矩阵，则下列叙述中错误的是___ _。
D
A. 若是正交阵，则也是正交阵 B. 若是正定阵，则也是正定阵
C. 若是正交阵，则也是正交阵 D. 若是正定阵，则也是正定阵
6．设是n阶实对称阵，则下列说法正确的有___ _个。
B
①的特征值相同的充要条件是相似 ②的特征值相同的充要条件是正交相似
③的特征值相同的充要条件是合同 ④的特征值相同的充要条件是相抵
A.1 B. 2 C.3 D.4
7．设是n阶实对称阵，则满足___ _时，必相似。
B
A. ，其中分别为的极小多项式
B. ，其中分别为的特征多项式
C. ，且的正惯性指数等于的正惯性指数
D. ，且的正惯性指数等于的正惯性指数
8．设是n维欧氏空间上的自伴随算子，则下列说法正确的有___ _个。
C
①在的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵
②在的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵
③在的某组基下的表示矩阵是对角阵
④在的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵
A.1 B.2 C.3 D.4
二 填空题（8题×4分）
1．设是实对称阵，且，则_____。
0
2．写出实对称阵是正定的三个充要条件_____。
①；②；③；④可逆矩阵，使得；⑤ A的特征值全大于0；⑥ A的顺序主子式全大于0
3． 设是欧氏空间上的两个向量，则_____，且等号成立的充要条件是_____。
；线性相关即使得或
4． 用Gram-Schmit正交化方法求由所张成的子空间的一组标准正交基（取标准内积）_____。
5．设是三维欧氏空间的一组基，其度量矩阵为，向量，则_____。
6．设是n维欧氏空间的子空间，且，则_____n（选择）。
7．设是n阶正交阵，若，则_____。
0
8．设是2阶正交阵，则必形如_____或_____。
三 （8分）
设三阶实对称阵的特征值为1（二重）和，且是对应于1的两个特征向量。
1）求对应的所有特征向量；
2）求矩阵。
解:
设=是所对应的特征向量，则由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，
可得
上方程的基础解系为，所以的所有特征向量为，其中且。
（法一）将单位化后得：
记，则，故
（法二）由法一有，即
四 （8分）
设是n阶实对称阵，其特征值为证明：
对任意的n维列向量，均成立
。
证明：
（法一） 因为是实对称矩阵，所以存在正交阵，使得：
对任意，令，则且
同理可证。
故命题成立。
（法二） （07数学 桑雨聪 王依晨） 因为是实对称矩阵，是的特征值，所以也是实对称矩阵，且是其所有特征值。
由可知。
故是半负定矩阵，从而，即。
同理可证， 。
命题得证。
五 （10分）
设为n维欧氏空间V的一组基。
证明：
这组基础是V的标准正交基的充要条件是对V中任一向量，都有
。
证明：
（必要性）记。
因为是V的一组标准正交基，所以。
故。
从而由为V的一组基可知=。
命题得证。
（充分性）（法一）对任意取，则有。
简单整理得
。
注意到是V的一组基，必线性无关，故上式中的系数必为0，即。
这就证明了是V的一组标准正交基。
（法二）（07数学 严撼 赵筱倩）依题意，得
记。
则，即
（*） 由的任意性以及是V的一组基可知，（*）式对任意的都成立。
故，即。
所以是V的一组标准正交基。
六 （10分）
设是n阶实矩阵。
证明：
的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵，使得为上三角阵。
证明：
（充分性）存在正交阵，使得为上三角阵，对角元全是实数。
而上三角阵的特征值恰为其对角元，所以的特征值全为实数。
又因为与相似，相似矩阵有相同的特征值，所以的特征值全为实数。
（必要性）对的阶数作归纳。
当时，取，结论成立。
设结论对阶矩阵成立。
当的阶数为时，设是的一个实特征值，是其对应的特征向量。
令，则且是单位向量，故可将扩为n维列向量标准内积空间的一组标准正交基。
将A看做这个标准内积空间上的线性变换，则
。
令，则是正交阵，且，其中是阶实矩阵。
设是的特征值，则是的特征值，故也为的特征值。
从而全为实数。
由归纳假设，存在阶正交阵使得。
令，则是n阶正交阵，且。
命题得证。
附加题：
（不计入总分）
设是n阶实对称阵，正定，半正定。
证明：
1） 若，则；
2） 。
证明:
1）（法一）（07数学 魏卓锦）因为正定，所以存在可逆阵，使得。
故若，则，即是的特征值。
又因为半正定，所以也是半正定，从而，即。
（法二） （07数学 蔡悦韵）（反证法）若，则。
若不然，设。
由知存在，使得
。
注意到正定，所以，又，故上式成立只能。
这与半正定矛盾，故。
（法三）（07数学 李雅敏）因为正定，所以存在可逆阵，使得。
由为对称阵，知存在正交阵，使得。
令，则可逆， 且，故。
又因为半正定，所以。
由设，从而，因此必有，使得，故。
2）（法一）（07数学 李雅敏）从1）的法三证明知存在可逆阵，使得 ，且，由1）得，所以。
（法二）（07数学 魏卓锦）由设是正定阵，则必可逆，又，故，，它说明是的特征值。
现设是的全部特征值，由1）知，所以，从而。
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