学年高中数学 第一章 导数及其应用 14 生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修22doc.docx
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学年高中数学第一章导数及其应用14生活中的优化问题举例教案新人教A版选修22doc
2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例教案新人教A版选修2-2
1.教学目标
知识与技能
1.体会导数在解决实际问题中的作用,能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,
2.形成求解优化问题的思路和方法。
过程与方法
1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题,进一步培养学生发散思维能力。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。
情感、态度、价值观
培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度
2.教学重点、难点
教学重点
利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点
理解导数在解决实际问题时的作用,并利用其解决生活中的一些优化问题。
3.教学用具
多媒体
4.教学过程
教学过程设计
1、复习导入
【师】
问题一:
导数在研究函数中有哪些应用?
问题二:
联系函数在实际生活中的作用,你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢?
问题三:
通过预习,我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢?
【生】学生讨论回答
【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题.
2、新知学习
问题1:
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有几个方面?
(1)与几何有关的最值问题;
(2)与利润及其成本有关的最值问题;
(3)效率最值问题。
【生】学生讨论回答
问题2:
解决优化问题的方法有哪些?
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.
【生】学生讨论回答
问题3:
解决优化问题的的步骤是怎样的?
【生】学生讨论回答
典例探究
1海报版面尺寸的设计
【例题1】学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
【分析】先建立目标函数,然后利用导数求最值.
【规范解答】设版心的高为xdm,则版心的宽为
此时四周空白面积为
因此,x=16是函数的极小值,也是最小值点。
所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。
答:
当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。
【引申思考】
在本题解法中,“
是函数
的极小值点,也是最小值点。
”为什么?
【生】学生讨论回答
【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值,则该极值即为这个区间上的最值。
在实际问题中,由于
常常只有一个根,因此若能判断该函数的最大(小)值在的变化区间内部得到,则这个根处的极大(小)值就是所求函数的最大(小)值。
【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法?
【探究解答】
由解法一可得:
【规范解答】
解法一:
设箱底边长为xcm,则箱高
得箱子容积
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16000是最大值
答:
当x=1000px时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3
解法二:
设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
(后面同解法一,略)
由题意可知,当x过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处.
【反思提高】
事实上,可导函数
在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值
饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
【问题引领】
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
【例题2】
【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是
分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米。
已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm
【问题】
(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
【分析】先建立目标函数,转化为函数的最值问题,然后利用导数求最值.
【规范解答】
由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
(1)半径为2cm时,利润最小,这时f
(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为6cm时,利润最大
【新视角解答】
我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式:
.
图象如图,能否根据它的图象说出其实际意义?
【合作探究】
当
时,
为减函数,其实际意义为:
瓶子的半径小于2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为2cm时,利润最小;
当
时,
为增函数,其实际意义为:
瓶子的半径大于2cm时,瓶子的半径越大,利润越大。
特别的,当r=3时,
即瓶子的半径为3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等,r>3时,利润才为正值.
当r=2时,f
(2)<0,即瓶子的半径为2cm时,饮料的利润最小,饮料利润还不够饮料瓶子的成本,此时利润是负值。
磁盘的最大存储量问题
【例题3】
【背景知识】
计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。
为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n。
为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
【问题】
现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域.
(1) 是不是r越小,磁盘的存储量越大?
(2) r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
【规范解答】
【规范解答】
由题意知:
存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达
由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达
所以,磁盘总存储量
【思考】根据以上三个例题,总结用导数求解优化问题的基本步骤.
【例题总结】
(1)认真分析问题中各个变量之间的关系,正确设定最值变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,列出适当的函数关系式
并确定函数的定义区间;
(2)求
得出所有实数根;
(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小,
根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。
【提别提醒】
由问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值,不必再与端点值比较.
课堂练习
1.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:
达到100人的团体,每人收费1000元。
如果团体的人数超过100人,那么每超过1人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过180人,如何组团可使旅行社的收费最多?
(不到100人不组团)
【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型.
【规范解答】
设参加旅游的人数为x,旅游团收费为y
则依题意有
所以当参加人数为150人时,旅游团的收费最高,可达112500元。
2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
答:
当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
【变式练习】
当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省?
5.课堂小结
6.课后习题
课本37页A组1,2;B组第1题
7.板书