小学奥数典型行程问题 环形跑道问题题库版.docx
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小学奥数典型行程问题环形跑道问题题库版
环形跑道问题
教学目标
1、 掌握如下两个关系：
（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次
（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次
2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析
3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题
知识精讲
本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决
多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合
理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：
路程和=相遇时间×速度和
路程差=追及时间×速度差
二、解环形跑道问题的一般方法：
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，
则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环线型
同向：
路程差
相对（反向）：
路程和
同一出发点
nS
nS
直径两端
nS+0.5S
nS-0.5S
模块一、常规的环形跑道问题
【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66 米，麻雀每
分钟走 59 米．经过几分钟才能相遇?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】黄莺和麻雀每分钟共行 66 + 59 = 125 （千米），那么周长跑道里有几个125 米，就需要几分钟，即
．
500 ÷ （66 + 59） = 500 ÷ 125 = 4 （分钟）
【答案】 4 分钟
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【巩固】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。
已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第 10 次相遇后，王老师再走
米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】填空
【关键词】2006 年,第 4 届,希望杯,4 年级,1 试
【解析】几分钟相遇一次：
480÷（55＋65）=4（分钟）
10 次相遇共用：
4×10=40（分钟）
王老师 40 分钟行了：
55×40=2200（米）
2200÷480=4（圈）……280（米）
所以正好走了 4 圈还多 280 米，480－280=200（米）
答：
再走 200 米回到出发点。
【答案】200 米
【例 2】 上海小学有一长 300 米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑 6 米，小
胖每秒钟跑 4 米，
（1）小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？
（2） 小亚第二次追上小胖两人
各跑了多少圈？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【关键词】2008 年，第八届，春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛
【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300 ÷ （6 - 4） = 150 秒，小亚跑了 6 ⨯150 = 900 （米）。
小胖跑了 4 ⨯150 = 600 （米）；第一次追上时，小胖跑了2 圈，小亚跑了3 圈，所以第二次追上时，
小胖跑 4 圈，小亚跑 6 圈。
【答案】小胖跑 4 圈，小亚跑 6 圈
【巩固】 小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步．小王的速度是 200 米/分．⑴小张
反1/小
和小王同时从同一地点出发， 向跑步， 分钟后两人第一次相遇， 张的速度是多少米分？
⑵小张
和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是500 ÷ 1 - 200 = 300 （米/分）．
⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间
是：
500 ÷ （300 - 200） = 5 （分）． 300 ⨯ 5 ÷ 500 = 3 （圈）．
【答案】⑴ 300 米/分⑵ 3 圈
【巩固】 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地
同向出发，经过多少分钟两人相遇？
÷=
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】 400 （450 - 250） 2 （分钟）．
【答案】 2 分钟
【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道长 800
米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据S= v t ，可知小新第一次超过正南需要：
差差
÷=
800 （250 - 210） 20 （ 分 钟 ） ， 第 三 次 超 过 正 南 是 比 正 南 多 跑 了 三 圈 ， 需 要
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800 ⨯ 3 （250 - 210） 60 （分钟）．
【答案】 60 分钟
【巩固】 幸福村小学有一条 200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑 6 米，
晶晶每秒钟跑 4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶时两人各跑
了多少圈？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一
次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200 米），又知道了冬冬和晶晶的
速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程．
÷=
①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：
200 （6 - 4） 100 （秒）
②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：
6 ⨯100 = 600 （米）
③晶晶第一次被追上时所跑的路程：
4 ⨯100 = 400 （米）
④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：
（600 ⨯ 2） 200 = 6 （圈）
⑤晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：
（400 ⨯ 2） 200 = 4 （圈）
【答案】 4 圈
【巩固】 小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是 400 米的环形跑道，小刚对小明说：
“咱们
比比看谁跑的快”，于是两人同时同向起跑，结果 10 分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学
们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑 140 米，那么如果小明第 3 次从背后追上小刚时，
小刚一共跑了米．
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】填空
【关键词】2009 年，学而思杯，4 年级
【解析】 140 ⨯10 - 400 = 1000 米，1000 ⨯ 3 = 3000 米。
【答案】 3000 米
【巩固】 如图 1，有一条长方形跑道，甲从 A 点出发，乙从 C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每
秒跑 5 米，乙每秒跑 4.5 米。
当甲第一次追上乙时，甲跑了圈。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】填空
【关键词】2004 年，希望杯，4 年级，1 试
【解析】 （10+6）÷（5-4.5）=32 秒，甲跑了 5×32÷32=5 圈
【答案】5 圈
【例 3】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时
同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题．同地出发，其实追及路程或相隔
距离就是环形道一周的长．这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度．环形道一周的长度
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÷=
可根据两人同向出发，45 分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：
250 - 200 = 50 （米/分），
所以路程差为：
50 ⨯ 45 = 2250 （米），即环形道一圈的长度为 2250 米．所以反向出发的相遇时间
为：
2250 （250 + 200） 5 （分钟）．
【答案】 5 分钟
【巩固】 两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，反向而行，
45 秒后两人相遇。
如果同向而行，几秒后两人再次相遇
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】（4+3）×45=315 米——环形跑道的长（相遇问题求解）315÷（4-3）=315 秒——（追及问题求解）
【答案】315 秒
【巩固】 一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人同时出发，经过多
少分钟两人相遇
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】小青每分钟比小兰多跑 50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟
【答案】8 分钟
【巩固】 甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒
钟甲比乙多走 0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】176
【答案】176
【例 4】 在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如果背
向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】同向而跑，这实质是快追慢．起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间
的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大．接着，两人的距离
又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所谓的相遇问题，数
量关系为：
路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间．同向而行 2 分 30 秒相遇，2 分 30 秒＝150 秒，两个人
的速度和为：
300 ÷ 150=2 （米/秒），背向而跑则半分钟即 30 秒相遇，所以两个人的速度差为：
÷
300 ÷ 30=10 （米/秒）.两人的速度分别为：
（10 - 2） 2 = 4 （米/秒）， 10 - 4 = 6 （米/秒）
【答案】 6 米/秒
【巩固】 在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而
行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】甲乙的速度和为：
400 ÷ 40 = 10 （米/秒），甲乙的速度差为：
400 ÷ 200 = 2 （米/秒），甲的速度为：
÷÷
（10 + 2） 2 = 6 （米/秒），乙的速度为：
（10 - 2） 2 = 4 （米/秒）．
【答案】 4 米/秒
【例 5】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。
已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10 次相遇后，王老师再走
米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
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【解析】两人每共走 1 圈相遇 1 次，用时 480÷（55+60）=4（分），到第 10 次相遇共用 40 分钟，王老师共走了。
55×40=2200（米），要走到出发点还需走，480×5-2200=200（米）
【答案】200 米
【巩固】 在周长为 200 米的圆形跑道—条直径的两端，甲、乙两人分别以 6 米/秒，5 米/秒的骑车速度同
时同向出发，沿跑道行驶。
问：
16 分钟内，甲追上乙多少次?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【关键词】1997 年，第六届，华杯赛，初赛
200100
【解析】甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是＝100（米）．所需要的时间是（秒）以后，两
211
人每隔 200（秒）相遇一次因为1 +
2
60 ⨯16 -
200
11
100
11 ＝53.3，
16 分钟内二人相遇 53 次.
【答案】53 次
【巩固】 在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔 4 分钟相遇一次；如果两人从同处
同向同时跑，每隔 20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是 1600 米，那么两人的速度分别是
多少？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】两人反向沿环形跑道跑步时，每隔 4 分钟相遇一次，即两人 4 分钟共跑完一圈；当两人同向跑步
时，每 20 分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20 分钟．两人速度和为：
1600 ÷ 4 = 400 （ 米 / 分 ） ， 两 人 速 度 差 为 ：
1600 ÷ 20 = 80 （ 米 / 分 ） ， 所 以 两 人 速 度 分 别 为 ：
÷
（400 + 80） 2 = 240 （米/分）， 400 - 240 = 160 （米/分）
【答案】160 米/分
【例 6】 甲、乙二人在操场的 400 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后 6 分
甲第一次超过乙，22 分时甲第二次超过乙。
假设两人的速度保持不变，问：
出发时甲在乙后面
多少米？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】150 米。
提示：
甲超过乙一圈（400 米）需 22－6＝16（分）。
【答案】16 分
【例 7】 在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。
甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，
按逆时针方向跑步。
甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。
那么甲追上乙需要时间是多少秒？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】3 星【题型】解答
【解析】甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25
（秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这
时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。
正好追上。
【答案】140 秒
【例 8】 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人
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改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
11
【解析】由题意可知，两人的速度和为，速度差为
412
⎛ 11 ⎫1⎛ 11 ⎫1
⎝ 412 ⎭6⎝ 412 ⎭12
所以两人跑一圈分别需要 6 分钟和 12 分钟．
【答案】6 分钟和 12 分钟
【例 9】 有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同
时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道
上同一处?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】4 星【题型】解答
5
【解析】由题意知道：
甲走完一周需要时间为300÷120=（分）；乙走完一周需要时间为 300÷100=3（分）
2
30
丙走完一周需要时间为300÷700=，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：
7
⎡ 5 30⎤[5,30,3 ]30
⎢⎥ = （2,7,1 ） = 1 = 30 分
【答案】 30 分
【例 10】 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70
分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】3 星【题型】解答
【解析】甲行走 45 分钟，再行走 70－45=25 分钟即可走完一圈.而甲行走 45 分钟，乙行走 45 分钟也能走
完一圈.所以甲行走 25 分钟的路程相当于乙行走 45 分钟的路程．甲行走一圈需 70 分钟，所以乙
需 70÷25×45=126 分钟．即乙走一圈的时间是 126 分钟．
【答案】126 分钟
【例 11】 林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米，
那么她的后一半路程跑了多少秒？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】1 星【题型】解答
【解析】设总时间为 X，则前一半的时间为 X/2，后一半时间同样为 X/2
X/2*5+X/2*4=450
X=100
总共跑了 100 秒
前 50 秒每秒跑 5 米，跑了 250 米
后 50 秒每秒跑 4 米，跑了 200 米
后一半的路程为 450÷2=225 米
后一半的路程用的时间为（250-225）÷5+50=55 秒
【答案】55 秒
【巩固】 某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米，
则他后一半路程跑了多少秒？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】44
【答案】44
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【例 12】 甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米， 乙速
度是每小时 4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，
在过 5 分钟，乙与丙相遇。
那么绕湖一周的行程是多少？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】30 分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这 0.6 千米用了 5 分钟，因为乙
和丙从出发到相遇共用 35 分钟，所以绕湖一周的行程为：
35÷5×0.6＝4.2（千米）。
【答案】4.2 千米
【例 13】 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当
乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60 米处又第二次相遇。
求此圆形场地的
周长？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
1
【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙
2
13
共走完 1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：
3，因而第二次相
22
遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 100×3=300 米．有甲、乙第二次相
3
遇时，共行走（1 圈－60）+300，为圈，所以此圆形场地的周长为 480 米．
2
【答案】480 米
【巩固】 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第
一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长.
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈．从出发开始算，
两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所
走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离，应该是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是 80 ⨯ 3 = 240
（米）． 240 - 60 = 180 （米）． 180 ⨯ 2 = 360 （米）．
【答案】 360 米
【巩固】 如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端 A 与 C 同时出发，绕圆周相向而行．它们第一
次相遇在离 A 点 8 厘米处的 B 点，第二次相遇在离 C 点处 6 厘米的 D 点，问，这个圆周的长是
多少?
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A
B
第一次
相遇
第二次
相遇
C
D
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A 点出发的小虫爬了 8 厘米，第二
次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1 个半圆周，其中从 A 点出发
的应爬行 8 ⨯ 3 = 24 （厘米），比半个圆周多 6 厘米，半个圆周长为 8 ⨯ 3 - 6 = 18 （厘米），一个圆周长
就是：
（8 ⨯ 3 - 6） ⨯ 2 = 36 （厘米）
【答案】 36 厘米
【巩固】 A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，
在 D 点第二次相遇．已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少米？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答
【解析】340
【答案】340
【例 14】 两辆电动小汽车在周长为 360 米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶 20 米．甲、乙两车同时分
别从相距 90 米的 A，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达 B
点时，甲车过 B 点后恰好又回到 A 点．此时甲车立即返回（乙车过 B 点继续行驶），再过多少
分与乙车相遇？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】3 星【题型】解答
【解析】右图中 C 表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从 B 到 C 又返回 B 时，甲恰好转一圈回到 A，所
以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距 B 点 180－90＝90（米）．甲从 A 到 C 用
了 180÷20＝9（分），所以乙每分行驶 90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从 A，B
出发相向而行相遇需要 90÷（20＋10）＝3（分）．
【答案】3 分
【巩固】 周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B 两点．甲、乙两人分别从 A，B 两点同时相
背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到 B．如果以后甲、
乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】3 星【题型】解答
【解析】如下图,记甲乙相遇点为 C.当甲跑了 AC 的路程时，乙跑了 BC 的路程；而当甲跑了 400 米时，乙
跑了 2BC 的路程．由乙的速度保持不变
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