六大基本初等函数图像及其性质.doc
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桂林师范高等专科学校14生化班
六大基本初等函数图像及其性质
一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；
常数函数（）
y
y
O
x
O
x
平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
x
y
O
二、幂函数，是自变量，是常数；
1.幂函数的图像：
2.幂函数的性质；
性质
函数
定义域
R
R
R
[0,+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0,+∞）
R
[0,+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
[0,+∞）增
增
增
（0,+∞）减
（-∞,0]减
（-∞,0）减
公共点
（1,1）
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；
2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数；
3）当α为正有理数时，n为偶数时函数的定义域为（0,+∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1,1）；
4）如果m>n图形于x轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数（是自变量,是常数且，），定义域是R；
[无界函数]
1.指数函数的图象：
x
O
（0,1）
y
O
（0,1）
x
y
2.指数函数的性质；
性质
函数
定义域
R
值域
（0，+∞）
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点（0，1），即时，
单调性
在是增函数
在是减函数
1）当时函数为单调增,当时函数为单调减；
2）不论为何值,总是正的,图形在轴上方；
3）当时,,所以它的图形通过（0,1）点。
y
O
（0,1）
x
3.（选，补充）指数函数值的大小比较；
a.底数互为倒数的两个指数函数
，
的函数图像关于y轴对称。
x
O
（0,1）
y
b.1.当时，a值越大，
的图像越靠近y轴；
O
（0,1）
y
b.2.当时，a值越大，
的图像越远离y轴。
4.指数的运算法则（公式）；
第13页
a.整数指数幂的运算性质；
（1）
（2）
（3）
（4）
b.根式的性质；
（1）；
（2）当n为奇数时，
当n为偶数时，
c.分数指数幂；
（1）
（2）
四、对数函数（是常数且），定义域[无界]
1.对数的概念：
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子叫做对数式。
对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称。
2.常用对数：
的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作。
3.自然对数：
使用以无理数为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数简记作。
4.对数函数的图象：
O
x
（1,0）
y
y
O
x
（1,0）
5.对数函数的性质；
性质
函数
定义域
（0，+∞）
值域
R
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点（1，0），即时，
单调性
在（0,+∞）上是增函数
在（0,+∞）上是减函数
1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点（1,0）；
2）当时，在区间（0,1），y的值为负，图形位于x的下方；在区间（1,+），y值为正，图形位于x轴上方，在定义域是单调增函数。
在实际中很少用到。
y
O
x
（1,0）
6.（选，补充）对数函数值的大小比较；
a.底数互为倒数的两个对数函数
，
y
O
x
（1,0）
的函数图像关于x轴对称。
b.1.当时，a值越大，
y
O
x
（1,0）
的图像越靠近x轴；
b.2.当时，a值越大，
的图像越远离x轴。
7.对数的运算法则（公式）；
a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：
b.对数恒等式：
c.换底公式：
（1）（，一般常常换为或10为底的对数,即或）
（2）由公式和运算性质推倒的结论：
d.对数运算性质
（1）1的对数是零，即；同理或
（2）底数的对数等于1，即；同理或
五、三角函数
1.正弦函数,有界函数，定义域，值域
图象：
五点作图法：
0，，，，
2.余弦函数，有界函数，定义域，值域
图象：
五点作图法：
0，，，，
3.正、余弦函数的性质；
性质
函数
定义域
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
对称中心
对称轴
单调性
在上是增函数
在上是减函数
在上是增函数
在上是减函数
最值
时，
时，
时，
时，
O
y
x
4.正切函数，无界函数，定义域，值域
的图像
O
y
x
5.余切函数，无界函数，定义域,
的图像
6.正、余切函数的性质；
性质
函数
定义域
值域
R
R
奇偶性
奇函数
奇函数
周期性
单调性
在上都是增函数
在上都是减函数
对称中心
零点
O
y
x
-1
1
7.正割函数，无界函数，定义域，值域
的图像
O
y
x
-1
1
8.余割函数，无界函数，定义域，值域
的图像
9.正、余割函数的性质；
性质
函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
奇函数
周期性
单调性
减
增
减
增
续表：
性质
函数
对称中心
对称轴
渐近线
六、反三角函数
1.反正弦函数，无界函数，定义域[-1,1]，值域
A.反正弦函数的概念：
正弦函数在区间上的反函数称为反正弦函数，记为
2.反余弦弦函数，无界函数，定义域[-1,1]，值域
O
x
y
1
-1
O
x
y
1
-1
B.反余弦函数的概念：
余弦函数在区间上的反函数称为反余弦函数，记为
的图像的图像
3.反正、余弦函数的性质；
性质
函数
定义域
[-1,1]
[-1,1]
值域
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
单调性
增函数
减函数
4.反正切函数，有界函数，定义域,值域
C.反正切函数的概念：
正切函数在区间上的反函数称为反正切函数，记为
5.反余切函数，有界函数，定义域,值域
x
y
O
x
y
O
D.反余切函数的概念：
余切函数在区间上的反函数称为反余切函数，记为
的图像的图像
6.反正、余弦函数的性质；
函数
性质
定义域
R
值域
奇偶性
奇函数
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角的终边上任取一点，记：
。
正弦：
余弦：
正切：
余切：
正割：
余割：
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
，，
商数关系：
，
平方关系：
，，
三、诱导公式
轴上的角，口诀：
函数名不变，符号看象限；
轴上的角，口诀：
函数名改变，符号看象限。
四、和角公式和差角公式
五、二倍角公式
二倍角的余弦公式常用变形：
（规律：
降幂扩角，升幂缩角）
，，
六、三倍角公式
七、和差化积公式
八、辅助角公式
其中：
角的终边所在的象限与点所在的象限相同，
，，
九、三角函数的周期公式
函数，及函数，（A,,为常数，且）
周期：
函数，（A,,为常数，且）
周期：
十、正弦定理
（为外接圆半径）
十一、余弦定理
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