数学2考研真题和答案解析详解.docx
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数学2考研真题和答案解析详解
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2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学
(二)
(科目代码302)
考生注意事项
1.答题前,考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号,并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下,粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的,责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填(书)写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后,将答题卡和试题册按规定一并交回,不可带出考场。
考生姓名:
考生编号:
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
...
1
cosx
0在x
(1)若函数f(x)
ax
x
0
处连续,则(
)
b,x0
(A)
1
(B)
ab
1
(C)ab
0
(D)ab
2
ab
2
2
(2)设二阶可导函数
f
(x)满足f
(1)
f(
1)
1,f(0)
1
且f''(x)
0,则(
)
(A)
1
0
B
1
0
f(x)dx
f(x)dx
1
1
(C)
0
1
f(x)dx
D
0
f(x)dx
1
f(x)dx
0
1
f(x)dx
1
0
(3)设数列xn收敛,则()
(A)当limsinxn
0
时,limxn
0
(B)当lim(xn
xn)
0时,limxn
0
n
n
n
n
(C)当lim(xnxn
2)
0时,limxn0
(D)当lim(xn
sinxn)
0时,limxn
0
n
n
n
n
(4)微分方程的特解可设为
(A)Ae2x
e2x(Bcos2x
Csin2x)
(B)Axe2x
e2x(Bcos2x
Csin2x)
(C)Ae2x
xe2x(Bcos2x
Csin2x)
(D)Axe2x
e2x(Bcos2x
Csin2x)
(5)设f(x,y)具有一阶偏导数,且对任意的
f(x,y)
f(x,y)
,则
(x,y),都有
0,
0
x
y
(A)f(0,0)
f(1,1)
(B)f(0,0)
f(1,1)
(C)f(0,1)
f(1,0)
(D)f(0,1)
f(1,0)
(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方
10(单位:
m)处,图中实线表示甲的速度曲线
vv1(t)(单
位:
m/s),虚线表示乙的速度曲线v
v2(t),三块阴影部分面积的数值依次为
10,20,3
,计时开始后乙
追上甲的时刻记为
t0(单位:
s),则(
)
(A)t010
(B)15t0
20
(C)t025
(D)t0
25
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v(m/s)
1020
051015202530t(s)
0
(7)设A为三阶矩阵,P(
1,
2,3)为可逆矩阵,使得P1AP
1
,则A(1,2,3)
(
)
2
(A)12
(B)
2
23(C)23
(D)1
22
2
0
0
2
1
0
1
0
0
(8)设矩阵A0
2
1
B
0
2
0
C
0
2
0
则(
)
0
0
1
0
0
1
0
0
2
(A)A与C相似,B与C相似
(B)A与C相似,B与C不相似
(C)A与C不相似,B与C相似
(D)A与C不相似,B与C不相似
二、填空题:
9
14小题,每小题
4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
...
(9)
曲线yx1arcsin
2的斜渐近线方程为_______
x
(10)
设函数y
y(x)由参数方程
x
tet
确定,则d2y
______
y
sint
dx2
t0
(11)
ln(1
x)dx
_______
0
(1x)
2
(12)
设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且df(x,y)
yeydxx(1y)eydy,f(0,0)
0,则
f(x,y)
______
1
1tanx
______
(13)
dy
x
dx
0
y
4
1
2
1
(14)设矩阵A
1
2
a的一个特征向量为
1,则a
_____
3
1
1
2
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三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
...
演算步骤.
x
分)求极限lim
xtetdt
(15)(本题满分
10
0
3
x0
x
(16)(本题满分
10
分)设函数
f(u,v)具有2阶连续偏导数,y
f(ex,cosx),求dy
,d2y
dxx0
dx2
x0
(17)(本题满分
10分)求lim
n
k2ln1
k
n
k1
n
n
(18)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程x3y33x3y20确定,求y(x)的极值
(19)(本题满分10分)设函数f(x)在区间[0,1]上具有
2阶导数,且f
(1)0,lim
f(x)
0,证明:
x0
x
(
)方程f(x)
0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(
)方程f(x)f
'(x)(f'(x))2
0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
(20)(本题满分
11分)已知平面区域D
x,y|x2
y22y,计算二重积分
x
2
dxdy。
1
D
(21)(本题满分
11分)设y(x)是区间
0,
3
内的可导函数,且y
(1)0,点P是曲线L:
y
y(x)上
2
任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点
0,Yp
,法线与x轴相交于点Xp,0
,若Xp
Yp,求L
上点的坐标x,y满足的方程。
(22)(本题满分
11分)设3阶矩阵A
1,
2,
3
有3个不同的特征值,且
3
1
2
2。
()证明:
r(A)2
(
)若
12
3,求方程组Ax
的通解。
(23)(本题满分
11分)设二次型
f(x1,x2,x3)2x12
x22
ax32
2x1x28x1x32x2x3在正交变换
X
QY下的标准型
1y12
2y22
,求a的值及一个正交矩阵
Q.
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参考答案
【答案】A【解析】lim1cos
x
1x
1
1
1.选A.
1.
lim
2
f(x)在x
0处连续
b
ab
x
0
ax
x0
ax
2a
2a
2
【答案】B【解析】f(x)为偶函数时满足题设条件,此时
0
f(x)dx
1
2.
f(x)dx,排除C,D.
1
0
2x2
1
f(x)dx
1
2x2
1dx
2
0,选B.
取f(x)
1满足条件,则
1
1
3
3.
【答案】D【解析】特值法:
(A)取xn
,有limsin
xn
0,lim
xn
,A错;取xn
1,排除B,C.
n
n
所以选D.
2
4
8
0
2
2i
4.
【答案】A【解析】特征方程为:
1,2
f(x)
e2x(1
cos2x)e2x
e2xcos2x
y1*
Ae2x,y2*
xe2x(Bcos2x
Csin2x),
故特解为:
y*
y1*
y2*
Ae2x
xe2x(Bcos2x
Csin2x),选C.
5.
【答案】【解析】
f(x,y)
0,
f(x,y)
0,
f(x,y)
是关于
x的单调递增函数,是关于
y
的单调递
C
x
y
减函数,所以有
f(0,1)
f(1,1)
f(1,0),故答案选D.
6.
【答案】B【解析】从
0到t0
t0
t0
这段时间内甲乙的位移分别为
v1(t)dt,
v2(t)dt,则乙要追上甲,则
0
0
t0
v1(t)dt10,当t0
25时满足,故选C.
v2(t)
0
7.【答案】B【解析】
0
0
0
P1AP
1
APP
1
A(1,2,3)(1,2,3)
1
223,
2
2
2
因此B正确。
8.【答案】B【解析】由
E
A
0可知A的特征值为2,2,1,因为3r(2E
A)
1,∴A可相似对角化,
1
0
0
即A~0
2
0
由
EB
0
可知B特征值为2,2,1.因为3r(2EB)
2,∴B不可相似对角化,
0
0
2
显然C可相似对角化,∴
A~C,但B不相似于C.
lim
y
lim(1arcsin2)
1,limyx
limxarcsin2
2,
x
x
x
x
x
x
x
9.【答案】y
x2【解析】
x
2
y
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10.【答案】
1
【解析】
8
dy
cost,dx
1et
dy
cost
dt
dt
dx
1et
'
d2y
cost
et)
costet
d2y
1
et
sint(1
1
dx2
dx
1et
2
dx2t0
8
dt
11.【答案】1【解析】
ln(1x2
)dx
ln(1
x)d
1
0
(1x)
0
1x
ln(1
x)
1
1
x
0
0(1
x)2dx
1
2dx
1.
(1x)
0
12.【答案】xyey
【解析】fx
yey,fy
x(1
y)ey,f(x,y)
yeydxxyey
c(y),故
fy
xey
xyey
c(y)
xey
xyey,因此c
(y)0,即c(y)
C,再由f
(0,0)0,可得
f(x,y)xyey.
13.【答案】
lncos1
dy
dx
dx
dy
tanxdxlncos1
.【解析】交换积分次序:
1
1
tanx
1
xtanx
1
0
y
x
0
0
x
0
1
14.【答案】-1【解析】设
1,由题设知A,故
2
4
1
2
1
1
1
12a1
1
32a
故a1.
3
1
1
2
2
2
2
x
tet
15.【答案】2【解析】lim
x
dt,令x
x
xtetdt
0
x
0
3
tu,则有
uexudu
uexudu
3
x
0
0
x
0
x
x
x
ueudu
uexudu
ex
原式=lim
0
3
lim
0
3
x
0
x2
x0
x2
x
u
uedu
x
lim0
lim
xe
2
x
0
3
x0
3
1
3
x2
x2
2
16.【答案】dy
dxx0
x0
yf(ex,cosx)
dyf1'exdxx0
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'
d2y
''
(1,1),【解析】
f1
(1,1),
f11
dx2
x0
y(0)
f(1,1)
f2'
sinx
f1
'(1,1)1f2'(1,1)0f1
'(1,1)
x
0
d
2
y
结论:
f11''e2x
f12''ex(
sinx)
f21''ex(sinx)f22''sin2xf1
'ex
f2'cosx
dx2
d2
y
''
'
'
dx2
x0
f11
(1,1)
f1
(1,1)
f2
(1,1)
dy
f1'(1,1)
dxx
0
d2y
''
'
'
(1,1)
dx2
f11(1,1)
f1
(1,1)f2
x
0
17.【答案】1【解析】
4
lim
n
k
ln(1
k
1
1
1
21
(ln(1x)x
21
1x2
11
1
2
)
xln(1x)dx
ln(1
x)dx
0
0
dx)
n
k1
n
n
0
2
0
2
1
x
4
18.【解析】两边求导得:
3x23y2y'33y'0
(1)
令y'
0得x
1
对
(1)式两边关于
x求导得
6x
6y
2
3y2y''
3y''
0
(2)
y'
将x
1代入原题给的等式中,得
x
1
x
1
y
or
,
1
y
0
将x
1,y1
代入
(2)得y''
(1)
1
0
将x
1,y
0
代入
(2)得y''
(1)
20
故x
1为极大值点,
y
(1)
1;x
1为极小值点,y(
1)
0
19.【解析】
(I)f(x)二阶导数,
f
(1)
0,lim
f(x)
0
x0
x
解: