《轴对称》参考案例.docx
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《轴对称》参考案例
轴对称
轴对称
（一）
教学目标
（一）教学知识点
1．在生活实例中认识轴对称图．
2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
（二）能力训练要求
1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称
轴．
2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．
（三）情感与价值观要求
通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点
轴对称图形的概念．
教学难点
能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教学方法
启发诱导法．
教具准备
师：
1．天安门、蝴蝶、窗花、脸谱等图片．
2．多媒体课件．
3．投影仪．
生：
剪刀、小刀、硬纸板．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性⋯⋯对称给我们带来多少美的感受！
初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密
吧！
从这节课开始，我们来学习第十二章：
轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．
Ⅱ．导入新课
[师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．
[生甲]这些图形都是对称的．
[生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
[师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?
甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周
围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
[生丙]我们的黑板、课桌、椅子等．
[生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．
[师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看一下
下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形．
（演示多媒体课件）
观察
如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），?
再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．
观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点
吗？
（学生讨论、探究）
[生甲]窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．
[生乙]不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图12．1．1
中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．
[生结论]这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．
[师]太好了!
我们把这样的图形叫做轴对称图形．
即（点击课件、屏幕显示）：
如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?
对称．
[师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．
（屏幕显示）
取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，?
将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？
与同伴进行交流．
（学生操作、讨论，教师指导）
[生]我们经过操作、讨论、交流得知：
位于折痕两侧的图案是对称的，它
们可以互相重合．
[师]很好，由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：
一个图形沿一条直
线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有
一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至
有无数条，?
大家请看屏幕．
（点击课件）
你能找出它们的对称轴吗？
分小组讨论．
学生讨论得出结果：
图
（1）有四条对称轴；图
（2）有四条对称轴；图（3）
有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
[师]大家回答得很好，看屏幕．
（演示折叠过程）
（1）
（2）（3）（4）
（5）
接下来，大家想一想，你发现了什么？
（屏幕显示）
[生甲]这些图形都是轴对称图形．
[生乙]可是轴对称图形指的是一个图形，而这些图形每组都是两个图形，
能不能说两个图形成轴对称呢？
[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，?
把一个图形沿着
某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
条直线对称，?
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）
[
[
[
[
[
好，接下来我们做练习来巩固所学内容．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P30练习
下面的图形是轴对称图形吗？
如果是，你能指出它的对称轴吗？
（图略）
（学生口答）
生甲]图
（1）是轴对称图形，它的对称轴是过蝴蝶头和尾的直线．
生乙]图
（2）也是轴对称图形．它的对称轴是过第一架飞机头和尾的直线．
生丙]图（3）是轴对称图形．它的对称轴是中间那条竖直的线．
生丁]图（4）不是轴对称图形．图（5）是轴对称图形，它有四条对称轴．
师]大家回答得很好，看来同学们已能判断轴对称图形并找出它的对称轴
了．
（二）P31练习
下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？
如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
答案：
图
（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图
（2）不是．?
其对称轴及对称点如图．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
Ⅴ．课后作业
（一）课本习题12．1─1、2、6、7、8题．
（二）预习课本P31～P33内容．
Ⅵ．活动与探究
课本P31思考．
成轴对称的两个图形全等吗？
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？
这两个图形对称吗？
过程：
（学生操作）在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，?
再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．
结论：
成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把
轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；
反过来，?
如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图
形．
§12．1．2轴对称
（二）
教学目标
（一）教学知识点
1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
2．探究线段垂直平分线的性质．
（二）能力训练要求
1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间
观察．
2．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．（三）情感与价值观要求
通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，
活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，?
并使学生具有一些初步研究问题的能力．
教学重点
1．轴对称的性质．
2．线段垂直平分线的性质．教学难点
体验轴对称的特征．
教学方法
引导发现法．教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现
实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那
么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？
[生]如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两
旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称
轴．
[师]很好，那么我们今天继续来研究轴对称的性质．
Ⅱ．导入新课
[师]大家观看大屏幕，再思考．
如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是
点A、?
B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
（学生思考并做小范围讨论）
[生甲]图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．[师]能说明理由吗？
AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系
吗？
[生乙]△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN
对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．
[师]这位同学回答得非常好，分析得也很有道理．对称轴所在直线经过对
称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于
这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
[师]下面大家来画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两
对称点连线的关系．
学生画完后，用投影仪演示同学们所画的图形．
[师]我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，?
对称轴所在
直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．
归纳图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，?
那么对称轴是任何一对对称点所连线段
的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂
直平分线．
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，⋯是L上的点，?
分别量一量点P1，P2，P3，⋯到A与B的距离，你有什么发现？
学生活动：
1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3⋯，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2⋯
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2⋯讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，
AP2=BP2，⋯
[师]能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
学生讨论给出证明．
证法一：
利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC和△BPC中，
PCPC
PCAPCBRt
ACBC
△APC≌△BPCPA=PB.
证法二：
利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重
合的，?
因此它们也是相等的．
带着探究1的结论我们来看下面的问题．
[探究2]
如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？
为什么？
学生活动：
1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．
2．讨论：
要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？
探究过程：
1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，
也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．
2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．
探究结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[?
探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．
[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：
线段
垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个
端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．?
所以线段的垂直平分线可以看成是
与线段两端点距离相等的所有点的集合．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P34练习1、2．
1．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长
度有什么关系？
AB+BD与DE有什么关系？
答：
AB=AC=CE．理由：
线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相
等．AB+BD=DE．?
因为AB=CE，BD=DC，所以AB+BD=DC+CE，即AB+BD=DE．
2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
答：
是．因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以A、
M?
都在BC的垂直平分线上，所以直线AM是线段BC的垂直平分线．
（二）阅读课本P31～P33，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，?
了解了线段的垂直平分线的有
关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
Ⅴ．课后作业
（一）课本习题12．1─3、4、9题．
（二）预习课本P34～P35内容．
§12．1．3轴对称（三）
教学目标
（一）教学知识点
探索作出轴对称图形的对称轴的方法．
（二）能力训练要求
1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、?
归纳获
得数学结论的过程．
2．掌握轴对称图形对称轴的作法．
3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．（三）情感与价值观要求
通过提问、思考、归纳、探究来激发学生学习数学的兴趣，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力，培养创新精神．
教学重点
轴对称图形对称轴的作法．
教学难点
探索轴对称图形对称轴的作法．
教学方法
引导发现法．
教具准备
多媒体课件、投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，引入新课
[师]有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？
不折叠图形，?
你能
比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？
（学生思考，教师提示）
[师]大家不妨回忆，我们上节研究的主要结论是什么？
[生]轴对称图形的性质．
如果两个图形关于某条直线对称，?
那么对称轴是任何一对对称点所连线段
的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分
线．
[师]这位同学回答得很好．大家想想，既然轴对称图形的对称轴是任何一
对对称点所连线段的垂直平分线，那么，轴对称图形的对称轴如何来作呢？
[生]只要我们找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可
以得到这两个图形的对称轴了．
[师]好极了．这就是我们这节课要研究的第一个问题，大家请看大屏幕．
（播放课件）
问题：
如何作出线段的垂直平分线？
提示：
由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到线段两
端点距离相等的两点即可．
[师]下面同学们按我们分好的组来讨论．
[生]我们用折纸的方法，根据折叠的过程中线段重合，说明了线段垂直平
分线的一个性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．所以这个
问题利用此性质就能完成．
[师]这位同学分析得很详细，我们曾证明过这一性质．现在我们利用这一
性质，?
来作出线段的垂直平分线．
Ⅱ．导入新课
[师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端
点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，
那么我们必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的
垂直平分线．
下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．
[师生共析]
[例]如图
（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：
线段AB[如图
（1）]．
求作：
线段AB的垂直平分线．
作法：
如图
（2）
1．分别以点A、B为圆心，以大于1AB的长为半径作弧，两弧相交于C和
2
D两点；
2．作直线CD．
直线
CD就是线段
AB的垂直平分线．
[
师]在上述作法中，为什么要以“大于
1
AB的长”为半径作弧？
2
[
生]如果以
1AB长为半径作弧，两弧只有一个交点，正好是线段
AB的中
2
点．?
这样就找不到到端点
A、B距离相等的两点，也就作不出线段
AB的垂直平
分线．
[
生]如果以小于
1
AB长为半径，两弧就没有交点，这样找不到到
A、B两
2
端点距离相等的点，也就作不出线段
AB的垂直平分线了．只有以大于
1
长为半
2
径作弧才可以作出线段AB的垂直平分线．
[师]根据上面作法中的步骤，请你说明
CD为什么是
AB的垂直平分线，请
与同伴进行交流．
[生]从作法的第一步可知
AC=BC，AD=BD．
∴C、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．
∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．
[师]这种作图方法用到直尺和圆规，?
我们把这种用直尺和圆规辅助作图的
方法叫尺规作图法．
我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，
一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我
们也用这种方法作线段的中点．
[师]同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么．
[生]是为了作出轴对称图形的对称轴．
[师]那怎么作出一个轴对称图形的对称轴呢？
[生]我们只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，
就可以得到此图形的对称轴．
[师]我们来看下面的例题．
（演示课件）
[例]下图中的五角星有几条对称轴？
作出这些对称轴．
作法：
1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．
2．作出线段AA′的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
[师]现在同学们自己画一个轴对称图形，再按照上
述方法，作出这个轴对称图形的对称轴．
（投影仪演示学生作图）
[生甲]
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P35练习1、2、3
1．画出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的一样吗？
答案：
略
2．如图，角是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴是什么？
答案：
角是轴对称图形．
角的对称轴是角的平分线所在直线．
3．如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？
画出它们的对称轴．
答案：
与A成轴对称的是图形D（或B）．
（二）阅读课本P34～P35，小结．Ⅳ．课时小结
本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：
找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，?
作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．
Ⅴ．课后作业
课本P36习题─5、10、11、12题．
备课资料
参考例题
[例1]如下图，已知直线L和两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA=PB．分析：
PA=PB，则P点在线段AB的垂直平分线上，P点又在直线L上，故
P?
点为线段AB的垂直平分线与直线L的交点．
解：
作出线段AB的垂直平分线L′，L′与直线L的交点即为P，使PA=PB．
[例2]画出下图甲中的各图的对称轴．
分析：
根据对称图形的性质可知：
这几个图形的对称轴分别有3条、2条、
1条、?
3条．
解：
如下图乙所示
方法总结：
当对称轴的条数超过1条时，各对称轴往往交于一点．
[例3]如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村
供水，?
要符合条件：
（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？
（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？
分析：
（1）到A、B两点距离相等，?
可联想到“线段垂直平分线上的点到两边距离相等”．
（2）要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．解：
（1）如图
（1），取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于
P，则P到A、B的距离相等．
（2）如图
（2），画出点A关于河岸EF的对称点A′，连A′B交EF于P，则P到A、B?
的距离和最短．
方法总结：
?
“垂线段最短”“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个重要方法．
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