数学0701研究生培养方案.docx
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数学0701研究生培养方案
数学（0701）研究生培养方案
一、培养目标
本学科培养德、智、体全面发展，在基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论等领域具有坚实的专业理论基础、独立从事科学研究能力或较强实际工作能力的高层次一流数学人才。
学位获得者有能力承担高等院校、科研机构的教学、科研工作，或企事业单位的研发和管理工作。
二、研究方向
1、基础数学
（1）代数
（2）图论
（3）拓扑学
（4）常微分方程
（5）偏微分方程
（6）泛函分析
（7）调和分析与逼近论
（8）复分析
（9）数理逻辑与数学基础
（10）数论
（11）微分几何学
2、计算数学
（1）线性与非线性规划
（2）应用数值代数及并行计算
（3）偏微分方程数值解法
（4）应用软件
（5）管理和决策的数值方法
3、概率论与数理统计
（1）估计与检验的方法与理论及随机规划
（2）时间序列分析
（3）排队论
4、应用数学
（1）反应及扩散系统的理论及数值方法
（2）动力系统：
微分动力系统、哈密顿动力系统
（3）常微分方程
（4）偏微分方程
（5）流体力学中的数学理论
5、运筹学与控制论
（1）大系统优化问题的理论、方法和应用
（2）人工神经网络在优化问题中的应用
（3）多目标决策
（4）模糊数学方法在决策分析中的应用
（5）智能算法
（6）最优化控制问题的数值方法
三、招生对象
1、硕士研究生:
应届本科毕业生、已获学士学位或具有同等学历的在职人员，参加全国硕士生统一考试合格，并经复试合格者；或获得推荐免试的保研生，并经复试合格者。
2、博士研究生:
应届硕士毕业生、已获硕士学位或具有同等学力的在职人员，经我系博士生招生“申请-考核”制考核合格者；或硕士中期考核优良，经数学系推荐研究生院批准提前攻博的硕-博连读生；或获得推荐免试保研的直博生，并经复试合格者。
四、学习年限
1、硕士研究生:
三年
2、提前攻博生:
五年
3、博士研究生:
基本学制三年
五、课程设置
（一）硕士阶段
1、本学科准予毕业并获得硕士学位需修满32学分，非本学科及同等学力入学者为36学分。
2、A类课程即公共基础课7学分，包括：
中国特色社会主义理论与实践研究（2学分，必修）；自然辩证法概论、马克思主义与社会科学方法论、马克思主义原著选读（以上三门任选一门，1学分）；硕士生英语（4学分，必修）。
3、B类课程即公共学位课程8学分,包括：
现代分析、基础代数。
4、C类课程即专业学位课程9-12学分；其中，基础数学、应用数学专业要在以下课程中选三门：
代数拓扑、微分拓扑、流形与几何、偏微分方程、同调代数、紧黎曼曲面、动力系统、代数几何、代数数论、交换代数、数学的思想方法；计算数学、运筹与控制、概率论与数理统计专业要在以下课程中任选三门：
概率论、多元迭代分析、数值代数、随机过程、偏微分方程、偏微分方程数值方法、数理统计基础、数学的思想方法。
5、D类课程即选修课程4-7学分，其中跨二级学科选修课程至少一门。
课程类型
课程名称
编号
授课教师或团队
学分
课程类别
课程简介
（300字左右）
B
现代分析
0701B01
钟承奎
4
转型期课程
本课程是硕士研究生分析学的基础课程，内容主要包括抽象测度与抽象积分，局部紧拓扑空间上的Borel测度与Riesz表示定理，Lp空间，复测度与Riesz表示定理，对称重排，Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，Fourier变换，以及Sobolev空间等。
通过该课程的学习，使学生对现代分析的思想和方法有了基本的了解与掌握，为进一步学习泛函分析，偏微分方程以及调和分析奠定了基础，对其他方向的研究生，如计算数学，应用数学方向上的研究生也会有很大的帮助。
基础代数
0701B02
黄兆泳
4
转型期课程
本课程是大学本科阶段《抽象代数》的延伸，目的是为了使学生了解和掌握范畴理论的一些基本概念和方法以及一些重要模类的基本性质。
范畴理论是代数学中的一个重要分支，其中的许多概念和方法有助于我们对数学整体的理解。
对范畴理论的研究，导致了大量新观点和新问题的提出，它们不仅在范畴理论本身是重要的，同时还在不同的具体范畴中提出了新的研究课题。
这一点对于模范畴更为典型，而后者又反过来促进了范畴理论的发展。
本课程主要介绍一些重要模类，如：
Artin模，Noether模，投射模，内射模和平坦模等的定义和基本性质，介绍正向极限与反向极限的定义和性质；讲述一般范畴和函子以及加法范畴与Abel范畴这两个重要且基本的范畴的概念和基本性质。
C
流形与几何
070101C03
梅加强
4
转型期课程
本课程的目的是介绍微分流形和现代几何学的基础概念，为从事现代数学和现代理论物理学研究者提供现代几何的入门知识和方法。
先修课程为点集拓扑、泛函分析等。
本课主要介绍微分流形上的微积分以及流形的几何性质和拓扑性质，主要内容包括：
微分流形的定义，子流形，单位分解，切空间和切向量场，Frobenius可积性定理及其应用，向量丛和张量丛，微分形式，带有边界的流形，Stokes积分公式，黎曼几何的基本概念，活动标架法，Lie群和齐性空间基础，主丛及其联络，DeRham上同调，Gauss-Bonnet-Chern公式，Chern-Weil理论。
通过本课程学习，使学生初步掌握微分流形的基本概念和现代几何学研究的基本技巧，从几何、拓扑和整体分析这三个方面了解现代几何研究的基本手法，为深入学习黎曼几何或几何分析等打下扎实基础。
代数拓扑
070101C01
于立
4
专业核心课程
代数拓扑是一门利用代数的工具来研究空间的拓扑性质（即在连续变形下的保持不变的性质）的学科。
本课程的目的是通过介绍代数拓扑学的基本理论和典型例子，让学生初步掌握这门学科的基本思想和方法，并提高学生的空间想象能力和数形结合的能力。
另外，这门课能让学生从一些新的角度重新审视以往学过的一些数学知识，有助于提高学生的数学成熟性。
具体来说，这门课的理论内容主要分为三个部分：
基本群、复叠空间和同调论。
利用这些理论我们将给出一些著名的拓扑学定理的证明，如Brouwer不动点定理、Ulam-Borsuk定理、毛球定理等。
微分拓扑
070101C02
于立、谭亮
4
专业核心课程
本课程的目的是通过对微分流形上一些典型的几何对象和拓扑学对象的介绍，让学生初步掌握用分析学的方法解决流形上的拓扑学的问题。
在理论介绍的同时培养学生独立思考和发现问题的能力。
这门课将为学生以后学习微分几何等其它学科打下基础。
本课程要求学生已经具备微积分和点集拓扑的基本知识。
同调代数
070101C04
丁南庆
4
专业核心课程
本课程主要介绍同调代数中的基础知识和基本概念，讲授内容包括：
范畴与函子，自然变换，范畴的等价，同态函子与张量积函子，模的直积与直和，正向极限与反向极限，推出与拉回，投射模，内射模，平坦模，诺特环，半单环，vonNeumann正则环，同调函子，导出函子，同态函子的导出函子Ext,张量积函子的导出函子Tor,模的投射、内射与平坦维数，环的左（右）整体维数与弱整体维数。
最后，简单介绍相对同调代数中的一些基本概念和主要结果。
紧黎曼曲面
070101C05
梅加强
3
专业核心课程
本课程的目的是介绍黎曼曲面上的几何、拓扑和分析基础，为复流形、复几何与代数几何的学习提供基础和预备知识。
通过本课程的学习可使学生掌握复分析、复几何和拓扑学的基本手法，感受现代数学之美。
本课程主要内容包括：
黎曼曲面的定义，调和函数和梯度估计，Harnack原理，Riemann映照定理，Perron方法，单值化定理，因子和线丛，Hodge定理，Riemann-Roch定理及其应用，Abel-Jacobi定理，层和层的上同调，线丛的Hermite几何，上同调的对偶定理和消没定理，线丛的Chern类。
通过本课程学习，使学生初步掌握黎曼曲面的基本概念和一维复流形上的几何分析基本技巧，了解几何概念，分析和拓扑方法的综合运用，为今后的深入学习复微分几何或复代数几何打下扎实基础。
代数几何
070101C07
郭学军、纪庆忠
4
专业核心课程
本课程主要讲授代数几何的基本理论和基本方法，包括两部分内容：
第一部分是概型的基本概念和性质；第二部分是概型的上同调。
该课程旨在培养学生抽象思维和逻辑推理能力以及初步的科研能力，通过本课程的学习，要求学生掌握概型的一般性质，基变换、正规概型、约化概型、分离射，本证设，模层，除子，射映态射，平谈太射和光滑太射，凝聚层；层的上同调，仿射和投射概型的上同调，Cech上同调，Serre对偶定理，Kahler微分、曲线的除子理论。
多元迭代分析
070102C02
黄震宇
4
专业核心课程
多元迭代分析是研究生数学系计算数学和优化运筹专业的一门专业基础课。
这门课程对于学生加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，有着重要作用。
本课程以多元微积分为基础，主要内容为多元迭代分析的理论和应用。
本课程的教学目的是：
一、使学生对迭代思想与方法有较深刻的认识，学习科学的思想方法，以利于计算数学理论和算法的培养与形成。
二、使学生掌握多元迭代分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与算法构造的能力。
三、使学生对计算数学中相关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些内容的内在联系。
本课程要求学生已修过大学本科学习中的计算方法，高等代数和数值分析等课程。
数值代数
070102C03
王征宇
4
专业核心课程
数值线性代数（简称数值代数）是研究线性代数问题的数值算法的一门学科。
这里的线性代数问题包含，例如，线性方程组的求解，矩阵特征问题等等。
我们知道，求解一个数学问题的实际途径是计算它的数值解，对问题离散化（有限化）、线性化就会产生线性代数问题。
求解线性代数问题，实际的方法就是对其研发运行于数字计算机上的算法，这正是数值代数的研究内容。
数值代数是工程计算的非常重要的基础组成部分，需要我们深入学习掌握。
数值代数课程从数值的角度分析线性代数问题、介绍数值算法、阐明算法思想、分析算法性状与实施细节。
偏微分方程数值方法
070102C04
武海军
4
专业核心课程
本课程以椭圆方程为例，介绍偏微分方程的多种数值离散方法及其基本理论与程序实现。
内容包括：
椭圆型方程的有限差分法；有限元方法及其收敛性理论；有限元多重网格法；内罚（连续和间断）有限元方法；界面问题的非匹配界面罚有限元方法。
概率论
070103C01
王立洪、宋玉林
4
专业核心课程
概率论是研究随机现象的一门数学分支。
《高等概率论》是现代概率论的数学基础，其主要目的是使用公理化手段把概率论纳入严格的数学体系。
与本科阶段学习的直观性强的概率论相比，高等概率论具有内容抽象、应用广泛、推理严谨、结论明确等特征。
本课程主要包含三部分内容：
（1）测度论--介绍一般可测空间中的测度与积分；
（2）现代概率论基础--介绍独立性、条件期望、正则条件概率及鞅等基本概念及性质；（3）极限理论—介绍测度的各种收敛性、大数定律及中心极限定理。
通过本课程的学习，一方面学会利用测度论的观点和方法分析概率论中的一些重要问题；另一方面掌握条件期望、鞅、独立增量过程等基本概念和重要结果，为概率论理论的后续学习打下基础。
随机过程
070103C02
戴万阳
4
专业核心课程
本课程的教学目的是使学生掌握随机过程的基本理论与方法，希望学生在修本课程之前能掌握一定概率论与测度论的基本知识。
本课程主要介绍随机过程的基本理论与方法，包括一般随机过程的定义,存在定理，流域与停时，鞅过程的定义、性质、分解与极限定理等，离散与连续时间马氏过程、强马氏性等，布朗运动的定义、性质与存在定理，扩散过程的基本概念，泛函大数定律与泛函中心极限定理。
数理统计基础
070103C03
王立洪
4
专业核心课程
本课程是统计学专业高年级本科及硕士生的选修课程。
本课程的目的是通过学习统计学的基本理论基础，使学生掌握统计学专业所必需的基础理论、基本统计思想和统计方法，为统计理论研究和统计方法的创新打下坚实的基础，培养学生进行科学研究的能力。
本课程主要讲授参数和非参数估计理论、假设检验基本理论，Bayes统计推断和前沿热点统计理论及方法等。
先修课程为概率论和应用数理统计。
偏微分方程
070104C03
杨孝平、陈学长等
4
专业核心课程
本课程目的是让学生掌握线性偏微分方程理论的基本知识和基本方法，特别是与可压缩流体动力学，变分法和弹性学，热力学等基本物理现象的本质联系。
使对数学分析，矩阵理论，常微分方程，复变函数，实变函数，泛函分析等学科有着更为深刻的理解和掌握，并在学习知识的同时，发现数学与物理学，力学等应用学科的紧密联系。
本课程要求学生已修过常微分方程，复变函数等课程。
动力系统
070104C04
程崇庆、尤建功等
4
专业核心课程
动力系统是研究时空演化的一个数学分支。
本课程将首先回顾大学课程里已学过的各种空间和映射，包括：
拓扑空间，微分流形，测度空间，微分同胚，保测变换；并简介Lie群和Lie代数；然后介绍动力系统的基本概念和研究目标以及重要的Poincare回归定理，Birkhoff遍历定理，Liapunov指数，双曲理论等内容。
本课程将强调概念和结论的直观性解释和典型例子，并强调学生的适当参与。
本课程还将穿插介绍一些目前活跃的课题和没解决的问题，培养学生发现问题的能力，同时使得学生对已学过的数学知识之间的有机联系有更深刻的理解。
数学的思想方法
0701C01
梅加强等
2
方法实践类课程
本课程属于科学方法类课程，目的是展现数学研究的思想方法，激发学生的数学兴趣。
该课将以问题为导向，12周内介绍6到9个数学问题，每个问题占用3到6个学时。
我们将介绍各个问题的由来，研究动机，历史状况，是怎样解决的，等等。
在此过程中让学生体会数学研究的思想和方法。
本课主要面向数学系高年级本科生和硕士研究生，以及对数学感兴趣的其他学生。
要求学生具有微积分和线性代数等大学数学的基础知识。
D
代数学II
0701D01
黄兆泳
3
专业核心课程
范畴理论是代数学中的一个重要分支，其中的许多概念和方法有助于我们对数学整体的理解。
对范畴理论的研究，导致了大量新观点和新问题的提出，它们不仅在范畴理论本身是重要的，同时还在不同的具体范畴中提出了新的研究课题。
这一点对于模范畴更为典型，而后者又反过来促进了范畴理论的发展。
本课程是本科专业课《代数学》的延伸，目的是为了使学生了解和掌握代数表示论的一些基本概念和方法以及有限维代数的表示箭图的意义和画法。
要求学生有《近世代数》和《代数学》的知识基础。
交换代数
0701D02
郭学军
4
专业核心课程
本课程的目的是让学生了解环模等现代数学的基本概念，在学习交换代数经典的诺特环和戴德金整环理论的同时，掌握模论和局部化的方法。
同时本课程也要求学生掌握范畴和函子，主要是Hom函子，张量积函子和局部化函子。
为学生学习表示论，同调代数，代数几何等后续课程打下基础。
基础数论
0701D03
孙智伟
3
专业核心课程
数论是历史悠久又充满活力的重要数学分支。
本课程目的在于让学生学习了解数论的基础知识及其应用，为进一步学习相关课程（如代数数论、代数几何）或开发数论在组合与密码中应用打好扎实的基础。
要求学生熟练掌握初等数论（包括素数与唯一分解、同余式理论、数论函数与Mobius反演、有限域与原根等）的基本理论与方法，并了解解析数论与代数数论的初步知识（包括算术函数的均值估计、代数整数与代数数域等），以及数论在密码中的应用（如RSA密码公钥体制）。
代数数论
0701D04
秦厚荣等
3
专业核心课程
本课程的开课目的是让学生掌握代数数论的基础知识，主要是代数数论的经典结果。
同时为其它的代数课程提供一些背景知识。
主讲的内容有代数整数环中的素理想分解，理想类群和单位群，zeta函数和L-函数理论，局部域理论等等。
预期学生能掌握代数数论的基本概念、几个基本的定理，对古典代数数论有较好的把握，同时对现代数论也有一定的了解。
在课程群中处于核心地位，为其它课程（例如交换代数，同调代数）提供背景和大量的实例，有助学生更好的学习和理解代数类的相关课程。
本课程可以让学生真正体会到抽象代数，包括伽罗华理论的巨大威力，理解数学的美妙与意义。
组合数学
0701D06
孙智伟
3
专业核心课程
组合数学与图论是离散数学的主要组成部分，也有广泛的应用。
鉴于学生已在离散数学课程中学过图论基本知识，本课程侧重于学生尚未系统学习的组合数学。
要求学生熟练掌握组合计数的基本原理与方法（包括容斥原理、反演公式、母函数方法、求解线性递归序列）以及重要的Ramsey理论（包括图论形式的Szemeredi正则化引理），并了解相异代表系、正交拉丁方、有限射影平面等概念及相关的基本定理，以及现在活跃的加法组合理论。
本课程培养同学们处理与研究组合问题的能力，旨在提高同学们相关的理论分析技能并为将来应用组合数学解决实际问题打好基础。
复分析
0701D07
张高飞、杨飞
3
专业核心课程
《复分析》主要讲授单复变中的解析函数理论，这是《复变函数》这门必修课的内容的进一步深化。
复分析在其它学科，比如偏微分方程、代数几何、解析数论、代数拓扑、微分几何等领域都有着重要的应用。
这门课程的内容主要包括以下几个方面：
一、正规族理论和Riemann映射定理。
主要内容包括正规族的定义和应用、Riemann映射定理、Riemann映射的边界对应、模函数及其应用。
二、单叶函数的几何理论。
主要内容包括Koebe偏差定理、面积原理、Bieberbach定理、Koebe偏差定理的证明、Caratheodory核收敛定理和多连通区域上的共形映射。
三、Schwarz引理及其应用。
主要内容为Poincare度量与Schwarz引理、超双曲度量、广义Schwarz引理、Picard小定理、Ahlfors定理和Schottky定理。
四、极值长度与共形模。
主要内容包括极值长度的定义、比较原理、合成原理、对称原理、共形模的定义、模的极值问题。
五、拟共形映射。
主要内容为拟共形映射的几何定义、形式偏导数、拟共形映射的分析定义、拟共形映射的存在性定理、K拟共形映射的紧性、广义导数、拟共形映射的分析性质、拟圆周与拟共形反射和拟圆周的有界折转刻画等。
相信通过《复分析》这门学科的学习，学生会对这一古老而又生机勃勃的学科有着更深刻和前沿的认识。
导出范畴
0701D08
黄兆泳
3
专业核心课程
范畴理论是代数学中的一个重要分支，其中的许多概念和方法有助于我们对数学整体的理解。
对范畴理论的研究，导致了大量新观点和新问题的提出，它们不仅在范畴理论本身是重要的，同时还在不同的具体范畴中提出了新的研究课题。
这一点对于模范畴更为典型，而后者又反过来促进了范畴理论的发展。
本课程主要讲述一般范畴和函子的概念和基本性质，并介绍两类重要的范畴：
加法范畴和Abel范畴。
本课程是大学本科专业选修课《代数学》的延伸，目的是为了使学生了解和掌握范畴理论的一些基本概念和方法。
这将对提高学生的数学素养和拓广视野是非常有益的。
随机微分方程
0701D13
戴万阳
3
专业核心课程
本课程的教学目的是使学生掌握随机微分方程的基本理论与方法及应用。
希望学生掌握概率论与测度论、随机过程的基本理论与方法,布朗运动，常微分方程与
偏微分方程的基本理论和方法等。
本课程主要介绍随机微分方程的基本理论与方法及应用，包括Ito积分，Ito公式与鞅表示定理，随机微分方程及其强解与弱解的定义，解的存在与唯一性定理，解的马氏性与强马氏性，Ito扩散过程的生成元与特征算子，Dynkin与Feyman-Kac公式，弱解与鞅问题，随机时间转换与Girsanov定理，随机微分方程在（或与）边值问题、最优停时与最优控制、滤波与金融数学中的应用（或交叉）。
有限元方法
0701D15
武海军
3
方法实践类课程
本课程介绍有限元方法的基本理论与基本方法，并通过数值实验初步掌握计算过程。
本课程包括：
椭圆型方程的有限元方法及其收敛性理论、后验误差分析、和自适应算法；抛物问题有限元方法；Maxwell方程有限元方法；多尺度有限元方法。
有限维代数的表示理论
0701D17
杨东
2
交叉前沿类课程
Gabriel在上世纪七十年代定义了箭图（quiver）并研究了某些特定箭图的表示，这可以看做是有限维代数表示理论的开端。
在有限维代数表示理论发展的过程中先后与代数几何（导出等价、例外序列）、量子群（Ringel--Hall代数）、李代数及代数群的表示理论（拟遗传代数、双中心性质）等建立了紧密的联系。
箭图的表示理论一直是有限维代数表示理论中最重要的一个分支，并在新世纪通过丛代数与组合、代数几何、数学物理等建立了新的联系。
本课程计划以箭图的表示理论为主线讲授有限维代数的表示理论。
主要内容包括：
箭图表示的定义及Krull--Schmidt性质、表示型的分类、Gabriel定理、Auslander--Reiten箭图、有限维代数的箭图实现。
现代数学系列讲座
0701D20
国内外专家
3
交叉前沿类课程
本课程的目的是向高年级本科生、研究生介绍现代数学的前沿研究领域和研究进展，我们将邀请国内外专家以学术报告、讲座的形式授课，内容包括现代分析学、代数学、数论、现代几何学、拓扑学等基础数学各领域中的前沿课题，以及动力系统、数学物理等交叉领域中的前沿课题，或计算数学、应用数学、概率统计、运筹与控制领域中的前沿课题。
数理逻辑基础
070101D12
喻良
4
专业核心课程
本课程主要讲授哥德尔完全性和不完备性定理的证明。
通过证明向学生介绍初步的证明论，递归论，模型论以及集合论知识，并且初步运用他们解决一些问题。
三角范畴与微分分次范畴
070101D15
杨东
4
交叉前沿类课程
三角范畴以及最重要的三角范畴：
导出范畴由Grothendieck和Verdier于上世纪六十年代引入，在代数拓扑、代数几何、数学物理、表示论等数学分支中起着越来越重要的作用。
本课程计划以Keller对导出范畴的Morita定理的证明为主线引入三角范畴、微分分次范畴、三角范畴的微分分次强化、微分分次代数的导出范畴、标准函子和标准等价以及Koszul对偶。
课程的最后部分将介绍最近几年微分分次代数在导出范畴研究中的一些应用，主要关于丛理论（clustertheory）、半倾斜理论（siltingtheory）和t-结构（t-structure）。
变分法
070104D16
崔小军
3
交叉前沿类课程
变分学是数学的一个重要分支，其在自然科学和社会科学中都有着广泛的应用。
本课程将从以下几个部分对变分原理进行阐述。
1.背景和历史发展过程：
我们将阐述现代变分学的诞生，发展和完善过程。
2.临界点理论：
我们将对Morse的临界点理论给以基本但完整的介绍。
3.变分原理和Euler-Lagrange方程：
这是变分法的根基。
4.Riemann几何中的测地线及其变分。
5.经典力学中的变分原理，Aubry-Mather理论简介。
6相对论力学中的变分原理。
7.随机力学中的变分原理。
8.博弈论及变分原理在社会科学中的应用。
我们不过分深入其中任何一个论题，但会阐述清楚变分思想在各个分支中的应用。
几何分析
070101D18
徐兴旺、陈学长
4
交叉前沿类课程
在介绍微分几何及黎曼几何一些必备基础知识之后，我们通过几何
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