最新圆压轴题集.docx
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最新圆压轴题集
圆压轴题集
已知
是⊙0的直径，
切⊙0于
，
，
延长线与
的延长线交于
、
，求
的度数。
（10分）
（07柳州）如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE。
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长。
（12分）
（山东省德州市）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：
BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC＝120°时，求∠EFG的度数．
（贵州省安顺市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动（不与B、C重合），过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．
（1）求证：
∠ADB＝∠E．
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？
请说明理由．
（3）当AB＝5，BC＝6时，求⊙O的半径．
如图5.1-16，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E.
（1）求∠AEC的度数；
（2）求证：
四边形OBEC是菱形.（12分）
（08孝感）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D。
（1）求证：
AT平分
；
（2）AD=2，
，求⊙O的半径。
（14分）
（09山东潍坊）如图5.2-13所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC.，
（1）
求证：
BD=DC=DI;
（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积。
（14分）
（09广东）
（1）如图5.2-15①，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G.求证：
阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的1/3；
（2）如图5.2-15②，若∠DOE保持120°角度不变，求证：
当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1/3.（16分）
（广西玉林市、防城港市）如图，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45°，过C的直线与⊙O、MN分别交于A、D两点，过C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：
CE是是⊙O的切线；
（2）∠D＝30°，BD＝2＋
，求⊙O的半径r．
涉及综合
（四川省广安市）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于点D、E，交AB于点H，交AC于点F．P是ED延长线上一点，且PC＝PF．
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？
（3）在
（2）的条件下，若OH＝1，AH＝2，求弦AC的长．
四川省遂宁市）如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E两点，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：
BC是⊙P的切线；
（2）若CD＝2，CB＝
，求EF的长；
（3）设k＝PE:
CE，是否存在实数k，使△PBD是等边三角形？
若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
（贵州省遵义市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E．
（1）当AC＝2时，求⊙O的半径；
（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．
（江苏省苏州市）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：
OE∥AB；
（2）求证：
EH＝
AB；
（3）若
＝
，求
的值．
湖北省荆门市）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:
CA＝4:
3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：
AC·CD＝PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？
并求这个最大面积S．
（安徽省芜湖市）（本小题满分12分）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧
上一点，过M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．
（1）求证：
PM＝PN；
（2）若BD＝4，PA＝
AO，过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
（四川省成都市2009）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：
AE＝BF；
（3）若OG·DE＝3（2－
），求⊙O的面积．
（广西崇左市）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥BC，BE交⊙O于点A，F是AD的中点，BF的延长线与CE相交于点G，AG的延长线与BC的延长线相交于点H．
（1）求证：
CG＝EG；
（2）求证：
AH是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径长为
，且CG＝FG，求BD和FG的长．
（2010广州市）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧
上的任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若
＝
，求△ABC的周长．
（广东省珠海市）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？
并证明；
（2）若cos∠PCB＝
，求PA的长．
（湖南省永州市）探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离．
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD，此为托勒密定理．
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的
上任意一点．求证：
PB＋PC＝PA．
②根据
（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：
如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：
在
上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D．
易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋_____________；
第三步：
请你根据
（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段________的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
（深圳市）如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－
x－
与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:
PH＝3:
2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
（广东省清远市）在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在
上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM．
（1）如图1，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数；
（2）如图2、图3，当点P运动到与O点不重合时，求证：
FM·OB＝DF·MC．
（广西桂林市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：
AF平分∠BAC；
（2）证明：
BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
（广西柳州市）如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：
MN⊥BC．
（2）若cos∠C＝
，DF＝3，求⊙O的半径．
（广西钦州市）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，过D作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：
EF是⊙O的切线；
（2）若AE＝6，BF＝4
①求⊙O的半径；
②求证：
△ABC是等边三角形．
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