一元二次方程的知识点总结.docx
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一元二次方程的知识点总结
亠元二次方程知识点的总结
知识结构梳理
「
（1）含有个未知数。
1
（2）未知数的最咼次数是
1、概念1（3）是方程。
I（4）一元二次方程的一般形式是。
法，适用于能化为xm）2nn0的
元。
二次方程
知识点归类
建立一元二次方程模型
知识点一一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这
样的方程叫做一元二次方程。
注意：
一元二次方程必须同时满足以下三点：
①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例下列关于x的方程，哪些是一元二次方程
2—
⑴3;
（2）x26x0；（3）Jxx5;（4）x20;（5）2x（x3）2x21
x5
知识点二一元二次方程的一般形式
元二次方程的一般形式为ax2bxc0（a,b,c是已知数，a0）。
其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：
（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
2
（3）形如axbx
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
c0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次
方程。
并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
2
x38;（3）3x4x3x2
例1将下列方程化为一般形式,
27
（1）5x2-x；
（2）
2
知识点三一元二次方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：
当x2
叫一
x23x20所以x2是x23x20方程的解。
一元二次方程的解也
元二次方程的根。
知识点四建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：
审题、设未知数、列方程。
注意：
（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；
（2）设未知数要带单位;
建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例如图
（1）,有一个面积为150怦的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m）,另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少鸡场
（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。
）
因式分解法、直接开平方法
知识点一因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0，即若Pq=0时，贝Up=0
或q=0o
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0;
（2）将方程左边
分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。
（4）解这两
」元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：
（1）要将方程右边化为0;
（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：
提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例用因式分解法解下列方程：
的方法叫做直接开平方法。
用直接开平方法解下列一元二次方程
2
bk0k0的方程，既可用因式分解法分解,
方法解。
例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
知识点四用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式（方程右边为0时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。
如：
0.01t22t0，将原方程变形为t0.01t20，由此可得出
t0或0.0t20,即卩t10,t2200
注意：
在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
b0，即X1a,X2b。
配方法
知识点一配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法
或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：
用配方法解一元二次方程x2Pxq0，当对方程的左边配方时，一
定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例用配方法解下列方程：
（1）x26x50；
27
（2）x2-x20
2
知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数;
（2）把原方程变为xm2n的形式。
（3）若n0，用直接开平方法求出x的值，若nvO,原方程无解。
例解下列方程：
x24x30
知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时，用配方法解一元二
次方程的步骤：
（1）先把二次项的系数化为1:
方程的左、右两边同时除以二项的系数；
（2）移项：
在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为xm2n的形式；
（3）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例用配方法解下列方程：
公式法
知识点一一元二次方程的求根公式
例用公式法解下列方程
知识点二选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是
一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式；
公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：
一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
例用适当的方法解下列一元二次方程：
222
（1）2x392x3;
（2）x8x60;（3）x2（x1）0
元二次方程ax2bxc0a0根的判别式△=b24ac
运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况:
（1）
△=b2
4ac>0
方程有两个不相等的实数根;
（2）
△=b2
4ac=0
方程有两个相等的实数根；
（3）
△=b2
4ac<0
方程没有实数根；
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：
①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b24ac的值；④根据b24ac的符号判
定方程根的情况。
例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况:
（3）方程没有实数根b24ac<0
注意：
逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次
项系数不为0这一条件。
例m为何值时，方程2m1X24mx2m30的根满足下列情况:
X1X2
b
a
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系:
（2）XiX22。
知识点六根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。
例当X取什么值时，代数式X2X60与代数式3X2的值相等
•元二次方程的应用
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，
（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。
关键点：
找出题中的等量关系。
知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题
a，增长率X
增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：
（1）若基数为
若基数为a，
为，则一次增长后的值为a1X，两次增长后的值为a1X2；
（2）降低率X为，则一次降低后的值为a1X，两次降低后的值为a1
例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长
率为x，列出关于x的方程为
知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题
与市场经济有关的冋题：
如：
营销冋题、水电冋题、水利冋题等。
与利润相关的常用关系式有：
（1）每件利润=销售价-成本价；
（2）利润率=（销售价一进货价）十进货价X100%；（3）销售额二售价X销售量
例某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价元，其销量减少10件。
（1）要使每天获得700元，请你帮忙确定售价。
（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多并求出最大利润。
第二章一元二次方程（补充）
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2bxc0（a、b、c为常数，aM0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
※把ax2bxc0（a、b、c为常数，a^0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
※解一元二次方程的方法：
①配方法<即将其变为（Xm）20的形式>
b
a
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根X1、X2的对称式的值，特别注意以下公式:
①X12
2
X2
（X1
X2）22X1X2
②11X1X2
③
X1X2X1X2
X2）2
（X1
X2）2
4x1x2
④
|X1
X21
>/（x1x2）24x1x2
⑤
（Xi
（|Xi||X2|）2（XiX2）22X1X22|XiX2|
⑥X；X；（X1X2）33x1x2（x1X2）⑦其他能用X1X2或X1X2表达的
代数式。
（3）已知方程的两根X1、X2,可以构造一元二次方程：
X2（XiX2）XX1X20
（4）已知两数X1、X2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程X2（Xix2）xX1X20的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：
①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为X；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为：
问题分象方程求解解答
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