大学数学公式总结大全doc.docx
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大学数学公式总结大全doc
导数公式：
（tgx）
sec2x
（arcsinx）
1
1
x2
（ctgx）
csc2x
（arccosx）
1
（secx）
secxtgx
1
x2
（cscx）
cscxctgx
（arctgx）
1
（ax）
axlna
1x2
1
（arcctgx）
1
（logax）
1
x2
xlna
tgxdx
ctgxdx
secxdx
cscxdx
dx
22
ax
x2a2
dx
22
ax
a2x2
lncosx
C
lnsinx
C
lnsecx
tgx
C
lncscx
ctgxC
1arctgxC
a
a
1lnx
a
C
2a
x
a
1lna
x
C
2a
a
x
x
C
arcsin
a
dx
sec2xdx
tgxC
cos2x
dx
csc2xdx
ctgx
C
sin2x
secxtgxdx
secx
C
cscx
ctgxdx
cscx
C
axdx
ax
C
lna
shxdx
chx
C
chxdx
shx
C
dx
ln（x
x2
a2）
C
x2
a2
2
sinn
2
cosn
n
1In2
In
xdx
xdx
0
0
n
x2
a2dx
x
x2
a2
a2
ln（x
x2
a2）
C
2
2
x2
a2dx
x
x2
a2
a2
lnx
x2
a2
C
2
2
a
2
x
2
dx
x
a
2
x
2
a2
arcsin
x
2
2
C
a
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
一些初等函数：
两个重要极限：
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
sin
cos
tg
ctg
角A
-α
-
cos
α-tgα-
sin
α
ctg
α
90°-α
cos
αsin
αctg
αtg
α
90°+α
cos
α-
-
-tg
α
sin
αctg
α
180°-α
sin
α-
-tg
α-
cos
α
ctg
α
180°+α
-
-
tgαctg
α
sin
αcos
α
270°-α
-
-
ctg
αtg
α
cos
αsin
α
270°+α
-
sin
α-
-tg
α
cos
α
ctg
α
360°-α
-
cos
α-tg
α-
sinαctgα
360°+αsinαcosαtgαctgα
sin（
）
sin
cos
cos
sinsin
sin
2sin
cos
cos（
）
cos
cos
sin
sin
2
2
tg（
）
tg
tg
sin
sin
2cos
sin
1tg
tg
2
2
cos
cos
2cos
cos
ctg
ctg
1
ctg（
）
2
2
ctg
ctg
cos
cos
2sin
sin
2
2
·和差角公式：
·和差化积公式：
·倍角公式：
·半角公式：
·正弦定理：
a
b
c
2R
·余弦定理：
c2
a2
b2
2abcosC
sinA
sinB
sinC
·反三角函数性质：
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz
）公式：
中值定理与导数应用：
曲率：
定积分的近似计算：
定积分应用相关公式：
空间解析几何和向量代数：
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用：
x
（t）
z0）处的切线方程：
xx0
yy0
z
z0
空间曲线y
（t）在点M（x0
y0
z
（t）
（t0）
（t0）
（t0）
在点M处的法平面方程：
（t0）（xx0）（t0）（yy0）
（t0）（z
z0）
0
若空间曲线方程为：
F（x,y,z）
0
则切向量T
Fy
Fz
Fx
Fx
{
Fz
G（x,y,z）
0
Gy
GzGz
GxGx
曲面F（x,y,z）0上一点M（x0,y0,z0），则：
1、过此点的法向量：
n
{Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}
2、过此点的切平面方程
：
Fx（x0,y0,z0）（x
x0）
Fy（x0,y0,z0）（yy0）
3、过此点的法线方程：
xx0
y
y0
z
z0
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）
Fz（x0,y0,z0）
Fy
}
Gy
Fz（x0,y0,z0）（zz0）0
方向导数与梯度：
多元函数的极值及其求法：
重积分及其应用：
柱面坐标和球面坐标：
曲线积分：
曲面积分：
高斯公式：
（P
Q
R）dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
（PcosQcos
Rcos
）ds
x
y
z
高斯公式的物理意义
——通量与散度：
散度：
div
P
Q
R即：
单位体积内所产生
的流体质量，若
div0,
则为消失
...
x
y
z
通量：
Ands
Ands
（Pcos
，
QcosRcos）ds
因此，高斯公式又可写
成：
divAdv
Ands
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
常数项级数：
级数审敛法：
绝对收敛与条件收敛：
幂级数：
函数展开成幂级数：
一些函数展开成幂级数：
欧拉公式：
三角级数：
傅立叶级数：
周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
微分方程的相关概念：
阳光怡茗工作室
一阶线性微分方程：
全微分方程：
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
（*）式的通解
两个不相等实根
（
p2
q
0）
4
两个相等实根（p
2
4q
0）
一对共轭复根
（
p
2
q
0）
4
二阶常系数非齐次线性微分方程
概率公式部分
1．随机事件及其概率
AAA
吸收律：
AAA
A（AB）AA（AB）A
反演律：
ABABABAB
2．概率的定义及其计算
若ABP（BA）P（B）P（A）
对任意两个事件A,B,有P（BA）P（B）P（AB）
加法公式：
对任意两个事件A,B,有
3．条件概率
乘法公式
全概率公式
Bayes公式
4．随机变量及其分布分布函数计算
5．离散型随机变量
（1）0–1分布
（2）二项分布B（n,p）
若P（A）=p
*Possion定理
limCnkpnk（1
pn）nk
k
有
e
n
k!
k
0,1,2,
（3）Poisson分布
P（）
6．连续型随机变量阳光怡茗工作室
（1）均匀分布U（a,b）
（2）指数分布E（）
（3）正态分布N（,2）
*N（0,1）—标准正态分布
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量（X,Y）的分布函数
边缘分布函数与边缘密度函数
8.连续型二维随机变量
（1）区域G上的均匀分布，U（G）
（2）二维正态分布
9.二维随机变量的条件分布
10.随机变量的数字特征数学期望
阳光怡茗工作室
随机变量函数的数学期望
X的k阶原点矩
X的k阶绝对原点矩
X的k阶中心矩
X的方差
X,Y的k+l阶混合原点矩
X,Y的k+l阶混合中心矩
X,Y的二阶混合原点矩
X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差
X,Y的相关系数
X的方差
D（X）=E（（X-E（X））2）
协方差
相关系数
线性代数部分
梳理：
条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。
沟通：
突出各部分内容间的联系。
充实提高：
围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷
的方法。
阳光怡茗工作室
大家要有这样的思想准备：
发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不
知道的。
但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。
基本运算
①ABBA
②ABCABC
③cABcAcBcdAcAdA
④cdAcdA
⑤cA0c0或A0。
T
。
cAcAT
转置值不变ATA
逆值变A
11
A
A1,2,3，3阶矩阵
有关乘法的基本运算
线性性质A1A2BA1BA2B，
结合律ABCABC
ABkAkBk不一定成立！
AEA，EAA
AkEkA，kEAkA
与数的乘法的不同之处
ABkAkBk不一定成立！
无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如
无消去律（矩阵和矩阵相乘）
当AB
0时
A0或B
0
由A
0
和AB
0
B
0
由A
0
时AB
AC
B
C（无左消去律）
特别的设A可逆，则A有消去律。
左消去律：
ABACBC。
右消去律：
BACABC。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
①AB0B0
②ABACBC
可逆矩阵的性质
i）当A可逆时，
T
也可逆，且
T1
A
1
T
A
A
。
Ak也可逆，且Ak1A1k。
数c0，cA也可逆，cA11A1。
c
ii）A，B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆，且AB1B1A1。
推论：
设A，B是两个n阶矩阵，则ABEBAE
命题：
初等矩阵都可逆，且
命题：
准对角矩阵
A11
0
00
A111
000
A
0A22
00
可逆
每个Aii都可逆，记A
1
0A221
00
0
0
0
0
0
0
0
00Akk
0
00Akk1
伴随矩阵的基本性质：
阳光怡茗工作室
当A可逆时，
AA*
E
得A
1A*，
（求逆矩阵的伴随矩阵法）
A
A
且得：
A*1
A
A1
A1*
A1A
1
1
A
A
A
伴随矩阵的其他性质
①A*
n1
A*
AA1
A,
②AT
*
A*
T,
③cA*
cn1A*,
④AB*
B*A*,
⑤Ak
*
A*
k，
n
2
A*
a
b
⑥A**AA。
n2时，A**A
c
d
关于矩阵右上肩记号
：
T，k，
1，*
i）任何两个的次序可交换，
如AT*A*T，
A*1A1*等
ii）ABTBTAT,AB1B1A1，
但ABkBkAk不一定成立！
线性表示
1,2,
s
x11
x22
xss
有解
1,2,
sx
有解x
x1,,xs
T
Ax
有解，即
可用A的列向量组表示
AB
C
r1,r2,,rs，A
1,2,
n，
则r1,r2,
rs
1,
2,
n。
1,
2,,
t
1,
2,
s，
则存在矩阵C，使得
1,
2,
t
1,
2,
sC
线性表示关系有传递性
当
1,
2,
t
1,
2,
s
r1,r2,,rp，
则1,
2,
t
r1,r2,
rp。
等价关系：
如果
1,
2,
s
与
1,
2,,
t互相可表示
1,2,,s
1,2,
t
记作1,
2,
s
1,
2,
t。
线性相关阳光怡茗工作室
s1，单个向量，x0相关0
s2，1,2相关对应分量成比例1,2相关a1:
b1a2:
b2an:
bn
①向量个数s=维数n，则1,,n线性相（无）关1n0
A1,2,,n，Ax0有非零解A0
如果sn，则1,2,,s一定相关
Ax0的方程个数n未知数个数s
②如果1,2,,s无关，则它的每一个部分组都无关
③如果1,2,,s无关，而1,2,,s,相关，则1,2,,s
证明：
设c1,,cs,c不全为0，使得c11cssc0
则其中c
0，否则c1,
cs不全为0，c11
css0，与条件1,
s无关矛
盾。
于是
c1
cs
1
s。
c
c
④当1,,s时，表示方式唯一1s无关
（表示方式不唯一1s相关）
⑤若1,,t1,,s，并且ts，则1,,t一定线性相关。
证明：
记A1,,s，B1,,t，
则存在st矩阵C，使得BAC。
Cx0有s个方程，t个未知数，st，有非零解，C0。
则BAC0，即也是Bx0的非零解，从而1,,t线性相关。
各性质的逆否形式
①如果1,2,,s无关，则sn。
②如果1,2,,s有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果1s无关，而1,,s，则1,,s无关。
⑤如果1t1s，1t无关，则ts。
推论：
若两个无关向量组1s与1t等价，则st。
极大无关组
一个线性无关部分组
I
，若#
I
等于秩
1,
2,
4,
6
I
，I
就一定是极大无关组
①1,2,
s无关
1,2,
s
s
②
1,
2,
s
1,
2,
s,
1,
s
另一种说法：
取
1,2,
s的一个极大无关组
I
I
也是
1,
2,
s,
的极大无关组
I,
相关。
证明：
1,
s
I
I
相关。
③可用
1,
s唯一表示
1,
s,
1,
s
s
④1,
t
1,
s
1,
s,
1,
t
1,,
s
⑤1,
s
1,
t
1,
s
1
s,
1
t
1,,t
矩阵的秩的简单性质
A行满秩：
rAm
A列满秩：
rAn
n阶矩阵A满秩：
rAn
A满秩A的行（列）向量组线性无关
A可逆
Ax0只有零解，Ax唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩
①rATrA
②c
0时，rcA
rA
③r
A
B
rA
rB
④rAB
minrA,rB
⑤A可逆时，rAB
rB
弱化条件：
如果A列满秩，则ABB
证：
下面证
ABx
0
与Bx
0
同解。
是ABx
0的解
AB
0
B
0
是Bx
0的解
B可逆时，rAB
r
A
⑥若AB
0，则rA
rB
n（A的列数，B的行数）
⑦A列满秩时rAB
r
B
B行满秩时rAB
r
A
⑧rAB
n
rA
rB
解的性质
1．Ax0的解的性质。
阳光怡茗工作室
如果1,2,,e是一组解，则它们的任意线性组合c11c22cee一定也
是解。
2．Ax
0
①如果1,
2,
e是Ax
的一组解，则
c1
1
c2
2
cee也是Ax
的解
c1c2
ce
1
c1
1
c2
2
cee是Ax
0的解c1
c2
ce
0
特别的：
当
1,2是Ax
的两个解时，1
2是Ax
0的解
②如果
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