数学竞赛轴对称知识点.docx

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数学竞赛轴对称知识点

《轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形》

轴对称图形

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．毛

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

轴对称

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质

如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

轴对称变换的性质

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

关于坐标轴对称

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）

关于原点对称

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）

关于坐标轴夹角平分线对称

点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）

关于平行于坐标轴的直线对称

点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；

点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；

等腰三角形

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的：

（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

等边三角形的判定方法

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

角平分线的性质：

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

角平分线的判定：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

三角形的角平分线的性质：

三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

添加辅助线口诀

几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.

线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；

公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.

角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；

角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。

练习试题

考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识

⑴轴对称图形：

如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。

⑵轴对称：

对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。

两个图形中的对应点叫做__________

1.下列几何图形中，

线段

角

直角三角形

半圆，其中一定是轴对称图形的有【】

A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个

2．图中，轴对称图形的个数是【】

A．4个B．3个C．2个D．1个

3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴

考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样

（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于______的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．

考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形

4．如图，Rt△ABC，∠C＝90°,∠B＝30°,BC＝8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP＋DP的最小值是

5．已知等边△ABC，E在BC的延长线上，CF平分∠DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若AP＝PQ，求证∠APQ是多少度

考点四、线段垂直平分线的性质

⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________

⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等

归类回忆角平分线的性质

⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________

⑵角平分线上的点到______________________________相等

6．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。

7．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：

AD垂直平分BC

8．如图,DE是

ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则

EBC的周长为【】

A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米

9．如图，∠BAC＝30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD＝30,则AM＝

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB于G，交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论：

①∠CED＝∠CDE；②

︰

︰

；③∠ADF＝2∠ECD；

④

；⑤CE＝DF.其中正确结论的序号是【】

A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤

考点五、等腰三角形的特征和识别

⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）

⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”）

特别的：

（1）等腰三角形是___________图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.

⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”）

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

11．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，D在BC上，过D作DE∥AB交AC于E，DF∥AC

交AB于F，则四边形AFDE的周长为______。

12．如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，EF过D且EF∥BC，若AB＝7，BC＝8，AC＝6，则△AEF周长为【】

A.15B.14C.13D.18

13．如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB＝BC＝CD＝ED＝EF,∠A＝20o,则∠FEB＝________度．

14．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_______

15．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝20°，则∠BAC等于°

16．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于

17．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝度.

18．如图：

在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。

试说明DE＝DF。

19．如图,E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：

△ABC是等腰三角形.

20．已知：

如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G．试判断△EFC的形状，并说明你的理由．

21．如图，△ABC中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F.

（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；

（2）选择

（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由.

考点六、等边三角形的特征和识别

⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________

⑵三个角相等的三角形是__________三角形

⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形

特别的：

等边三角形的中线、高线、角平分线__________________________________

22．下列推理中，错误的是【】

A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形

D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形

23．如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。

求证：

M是BE的中点。

24．已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE＝CF，BE、AF

交于点D，则∠BDF＝_________度

25．如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边△ABC的高为AD，求证：

PE＋PF＋PG＝AD

26．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是【】

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形

27．如图B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝_____，∠ECD＝_____．

28．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：

AD＝BE;②PQ∥AE;③AP＝BQ;④DE＝DP;⑤∠AOB＝60°;⑥CO平分∠AOE.其中不正确的有【】个

A．0B．1C．2D．3

考点七、30°所对的直角边是斜边的一半

29．如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于【】

A．1mB．2mC．3mD．4m

30．△ADC中，∠A＝15°，∠D＝90°，B在AC的垂直平分线上，AB＝34，则CD＝【】

A.15B.17C.16D.以上全不对

31．一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO＝BO＝40cm，C0＝D0＝30cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？

甲

32．如图，AB＝AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC＝120o，BC＝6，则DE＋DF＝

33．在

中，

，

的垂直平分线交

于点

，交

于点

．如果

，求

的长

34．如图，已知：

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于E，

交BC于F.求证：

CF＝2BF.