第3章条件极值问题的变分法16K.docx
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第3章条件极值问题的变分法16K
第3章条件极值问题的变分法
§3.1函数的条件极值问题，拉格朗日乘子
解（3-1）式，可以求出相应的解X1,y1，将x1与y1代入函数F（x,y）则可获得函数的绝对极小（极大）值。
如果我们给定一约束条件®（x,y），则表示F（x,y）在给定的约束条件半（x,y）的情形下,
求F（x,y）的极值。
显然，这种带有约束条件下求极值，相当于把所求范围缩小了，如果存在
有极值的话，那么，这个极值不是绝对极小（或极大）值，而是相对值，它总大于（或等于）无条件时的极小值，或总小于（或等于）无条件时的极大值。
对这类条件极值问题，一般多利用所谓的拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法可以如此理解，F（X,y）的极值条件可以写成
（3-2）
cFcF
dF=——dx+——dy=0
cx点y
约束条件可以写成
①（X,y）=0（3-3）
（3-4）
因此（3-2）式中的dx,dy不是独立的，而是由（3-3）式的微分关系式
——dx+——dy=0cxdy
连系着的。
假定cA/创h0，解（3-4）式，得
cx
—cQ
而（3-2）式可化为
（3-11）
（3-12）
①1（X1,X2,…，Xn）=0
①2（X1,X2,…，Xn）=0
①k（X1,X2，…，Xn）=0"
下求函数
F（X1,X2,,Xn）
的极值，其中kvn。
同样可用拉格朗日乘子法，设拉格朗日乘子为几:
，鼻2,入，并用
k厂=F（X1,X2,X3，…Xn）+送Xi①i（X1,X2，…Xn）
y
这是求解n+k个变量的n+k个方程。
（3-15）式还可以通过以下方法求得。
（3-12）式的变分极值要求
（3-16）
n■■■匚dF=2—dXi=0
y（3-17）
因为有（3-11）式的k个约束条件，所以这些xj中只有n-k个是独立的。
从（3-11）式的k个约束条件可以求得下列微分条件
送—dx^0（i=1,2，…,k）
j壬OXj
将（3-17）式乘以Zi，与（3-16）式相加，得
，匸曲i,cF'曲i
（3-18）
dF+2扎正dXj=2[+2Zi]dXj=0
cxjjw点Xjycxj
§3.2泛函在约束条件①i（x,y1，y2,…，yn）=0（i=1,2，…，k）下的极值问题
泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。
【定理】泛函
口=Jf（x,y1,Y2/■,yn；y1；y2,…，yn）dx
x1
在约束条件
①i（x,y1,y2,…，yn）=0（i=1,2,…，k;kcn）（3-23）
下的变分极值问题所确定的函数y2,y3,…，yn（x），必满足由泛函
X2kX2
口*=J[F+送儿①i]dx=〔F*dx
的变分极值问题所确定的欧拉方程
C匚沖X冲
J-丁D=0（j=1,2,…，n）今jdxcyj
Ai（x）（i=1,2，…,k）为k个拉格朗日乘子。
我们把yj和Ai（x）都看作是泛函n*的变量，
◎j=0同样也可以看作是泛函口审的欧拉方程。
（3-25）式也可以写成
kdrF
+2入。
）」-一（「）=0（j=1,2，…，n）
cyjycyjdx勺j
现在让我们证明这个定理。
首先求泛函（3-22）式的变分，它经过分部积分（用端点给
定不变的条件）可以写成
畀上J；2（—■生）Mdx
j壬为Ojdxcyj
注意到这里的M不是独立的，它是由约束条件（3-23）连系着的。
设ki（x）（i=1,2,…，k）为特定函数，于是有
X2
□i=JA^i（x,Y1,Y2,,Yn）d^-0（i二1,2,,k）
X1
变分得
X2
其中
所以
cF
畀iPEx）佥勿j]dx
2X1^Yj
（i=12…,k）
（3-22）
（3-24）
（3-25）
（3-26）
（3-27）
（3-28）
（3-29）
k
n*=n+£ni,得极值条件
i=1
dcF
--（=）]物dx=0
列jy列、dx列j
因为入i（x）是i=1,2，…，k个任意特定函数，假定这k个函数由下列k个线性方程决定的,
2c^>icFdcF
送人i（x）：
—-丁（二^）=0
y口Yi吋jdxcYj
（j=1,2,…，k）
这里只要求行列式
把（3-27）式和（3-29）式相加，记
八「：
[空+£入（x）空
2X1列jn^Yj
（3-30）
（3-31）
石、
d^2
曲2
刃2
HO
（3-32）
cyk
就可以从（
中，剩下的变分项只有关系到
nyFFk
Jx[—C入（X）
j土+1%y
3-31）式中求得待定的拉格朗日乘子的解。
根据（3-31）式，变分方程（3-30）式
可kW创心，…，8yn等n-k项了。
即
<5AidcF
.、丿—二）Mjdx=0
今jycyjdxcyj
这n-k项8yj（j=k+1,k+2,…，n）都是独立任意的。
运用变分法预备定理后，得
丄餐、，、cAid,点F、C——吃入（x—-（「）=0今jy今jdxcyj
（j=k+1,k+2,…,n）（3-34）
将（3-31）、（3-34）两式加在一起，便证明了（3-26）式是正确的，即证明了上述定理。
下面讨论对于约束条件①i（x,y1,y2,…,Yn,y；,y2"■,yn）=0的泛函极值问题。
对于泛函
X2
n=fF（x,y1,y2,…，yn,y1：
y2,…，yn）dx
x1
在约束条件
①i=（x,y1,y2,…，yn,Y；,Y；,…，Y；）=0（i=12…，k;k下的变分极值问题所确定的函数y^y；,…，yn（x）必须满足由泛函
*X2」壬x；
=!
x[F+£Ai（x）①i]dx=JxF*dx
xiiixi
的变分极值问题确定的欧拉方程
厂£（至）=0（」=1,2，…,n）
dxTj
（3-33）
（3-35）
（3-37）
（3-38）
或
JF
Wj
k
-z
ii
cOjdcFJkcOj
入i（x）———[「乜"x）V]=0（j=1,2,…，n）（3-39）列jdx的Vcy.j
式的变分中，我们把yj（j=1,2,…，n）和ki（i=1,2,…,k）都看作是n*的变量,
在（3-37）
所以①j=0也同样可以看作是泛函n*的欧拉方程。
§3.3泛函在积分约束条件jSi（x,yi,y2,…，yn,y；,y2,…，yn）dx=%
x1
（i=12…,k）下的极值问题
【定理】泛函
x2n=fF（x,y1,y2,…,yn,y；,y2,yn）dx
'x1
在约束条件
x2J①i（x,y1,y2,…，yn；y：
y2,…，yn）dx—oti=0x1
（i=1,2，…,k）,ai为常数
下的变分极值所确定的函数y1,y2/■,yn（x）必须满足泛函
（3-40）
（3-41）
X2
JxiFdx+w入（Jxi①idx"i）=
k
+送入①i]dx-送入tti
i土y
X2
f[F
■Xi
的变分极值问题所确定的欧拉方程
茹*dcF*c
一--TV=0cyjdxcyj
在（3-42）式的变分中，我们把
（j=1,2,…,n）
（3-42）
（3-43）
yj（j二1,2,…,n）和kj（i=1,2,…,k）（kcn）都看作泛函的
变量，但人在这里是待定常量。
（3-43）
——+Z九i
所以（3-40）式同样可以看作是泛函
口的欧拉方程。
式也可以写成詡idcF
-一k黃＞
勿JiTPiyta0（Tzr）
（3-44）
现在可以引进新的未知函数，把约束条件
x2工
f①idxij
的极值问题，化为窗=0型的条件极值问题，弓I进符号
x
（3-45）
Zi（x）=J①i（x,y1,y2,…，yn,y1：
y2,…，yn）dx（i=1,2L,k）
x1
因此有zi（x10,乙（X2）=ai，对x求导数，得
Zi'（x）二①心,y1,yr'yn,y1,y^'yn）（i=1,2,…,k）（3-46）
因此，约束条件（3-40）式可以由（3-46）式来代替。
于是，我们的极值问题变为泛函（3-41）
式在约束条件（3-46）式下的变分极值问题，根据§3.2节的定理，这种极值问题可以化为求
泛函
Xkx
（3-47）
□=『{F+送扎i（x）[①i-z：
（x）]}dx=Jx2F**dx
x1x1
izt
FZ・・・・■・・・・、
（x,yi,y2,,yn,yi,y2,‘yJ中
的无条件极值问题，其中
F**
k
（3-48）
送扎i（x）[①i（x,y1,y2,…，yn,y；,y2,…，y；）-乙&）]
i#
把y1,y2,…，yn,y；”；,…，y：
乙:
土,…^：
—）%…，）％当作独立函数，（3-47）式在变分后给出欧拉方程
=0（j/,2,…，n）刃jdx期
—（i=12…，k）
dxczi
①i-z：
（x）=0（i=1,2,…,k）
（3-49）
（3-50）
（3-51）
把（3-48）式代入（3-49）及（3-50）式中，可以把它们进一步简化为cFkidcFk
—几i（x）—［二吃Zi（x）—］=0（j=1,2，…，n）（3-52）刃jii科jdxcVji£cVj
d
—Xl（x）=0（l=1,2，…，k）
dx
①i-Zi'（x）=0（i=1,2,…,k）
由（3-53）式证明了打都是常数，（3-52）式为
里十£hi西晋［生十£hi孚］=0（j=1,2，…,n）
今jy6jdxcyjyCVj
（3-53）
（3-51）
（3-54）
而（3-51）式就是约束条件（3-46）式，（3-54）式共有n个方程，也就是泛函审X2kk
n=f（F+2几i①Jdx-SZ/Xi
的欧拉方程，其中F=F（x,y1,y2,…,v’y；，y；’…‘yj，①i=ei（x,y1,y2,…,yn,y1,，y；,…，yj，几i为拉格朗日乘子，且几i都是常数。
显然，（3-55）式就是（3-42）式，由此,定理得到证明。
还应当指出，欧拉方程组的通解中有n个积分常数c1,c2/',cn和k个拉格朗日乘子
扎1，為，…，kk，这2n+k个常数由约束方程（3-40）式及边界条件
yj（x1）=yjyj（x2）=yj（j=1,2，…，n）
来确定。
【例3-1】在周长已知的情况下，求所围面积为最大的曲线。
本题的约束条件为周长L为已知，即
L=讣聲（¥）2ds=M+ySs
现在要求在满足（3-57）条件下，求泛函（即所围面积）
1S,’
P=JJsdxdy=2【0（xyJyx）ds
为极值，这里X=x（s）,y=y（s）。
该问题相当于求无条件泛函
s.1
R”珥［pxyJyx）f（xJW2）2］ds-乩
的极值。
记F”为
（3-55）
（3-56）
（3-57）
（3-58）
（3-59）
则有
.丄
F—2（xyTx'）+Mx2+f2）2
cF
，击1,
y,——=-x刃2
Zx，
y+
cF
（3-60）
如果s为弧长，则X*2+y*2=1，则（3-60）式中的后两式可以写为
芮*1
，一y+以，
ex2
尹1+…
，一yfycy2
（3-61）
代入欧拉方程，可得
八冰”=0,
X，+ky“=0
（3-62）
积分一次，得
y-兀x，=G,
X+=c2
（3-63）
1）
1
消去y,得
2wI
人X+x
（3-64）
（XSy'2）2
X2+y于
敬2
-q=0
它的解为
_s
X=Asin—+Bcos—+c2
zz
将（3-65）式代入（3-63）式的第一式，可得
（3-65）
ss
y=Acos—-Bsin—+g
（3-66）
根据封闭围线条件，x（L）=x（0）,y（L）=y（0），有
Asin丄+B（cosL-1）=0
Z
A（cosL-1）-Bsin丄=0
（3-67）
（3-67）
式中，A、B不等于零的解的条件是上面方程系数行列式等于零，即
.L
sin—
A
cos—T
A
LJcos—-1
A
.L
-sin—
A
（cosL-1）
A
（3-69）
cosL=1
A
其解为
从（3-67）第二式，得
（cos——1）
B=Lim——*—A=—Limh冗sin—
A
于是（3-65）、（3-66）式可以写成
s
X=Asin2n冗一+C2
L
s
y=Acos2n冗一+C1
L
消去s,得一族圆
（X-C2）2+（y-G）2"2
A为圆的半径，且有L=2jiA，圆心坐标为
.L
sin—
A
COS—+1
z
（3-71）
（3-72）
（C2,Ci），故知最大面积应该是一个圆。
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