时间管理第章应用时间序列分析.docx

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时间管理第章应用时间序列分析

（时间管理）第章应用时间序列分析

AppliedEconometricTimeSeries

应用时间序列分析

王雪标

东北财经大学数学和数量经济学院

第壹章引言

对某些随机变量来说，于任壹时刻均能够对其进行观测，且得到壹系列数据。

这时称为连续随机过程，记。

然而，于经济学中，大多数数据均是经过等时间长度做观测而得到的。

如，每小时，每天，每周，每月，每季度，每年。

这时称为离散时间序列，记。

壹个时间序列是按照时间参数而排列的数值序列。

如，每日某种股票的收盘价、每月失业人数，每年GDP，…，等等。

对壹个随机过程进行观测而得到的时间序列可称做为这个随机过程的壹个实现。

时间序列分析的基本目的是利用随机过程的观测序列（实现），对这个随机过程的基本特征、性质做推断。

于分析中的第壹步通常是形成壹个统计量，分析数据的统计特征，根据统计特征，利用数据构造模型，这个模型和随机过程的生成机制有类似的性质。

因而，时间序列经济学家的主要任务是利用经济数据，建立相对简单的模型，也能够建立壹系列分析方法，将序列分解为趋势性部分、周期性部分和不规则性部分，对经济现象进行解释、假设检验和预测。

趋势性方程：

季节性方程：

无规则性方程：

，为期随机扰动项。

这三个方程是典型的差分方程。

壹般来说，差分方程是指壹个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。

趋势和季节项是时间的函数，不规则项是它本身滞后项和随机扰动的函数。

时间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程，估计单个序列或向量（包含许多关联的序列）的壹些性质。

最简单的时间序列是白噪声（whitenoise）

白噪声是最基本的时间序列，满足下面条件：

1）处所有信息

2）

3）处所有信息

前俩个条件说明，不存于序列关联（serialcorrelation），第三个条件说明是条件同方差（conditionalhomoskedasticity）。

阶自回归过程

于经济系统中通常有大量的时间序列有下面形式：

处值=处值的期望+误差项

如果将处值的期望取为期值的固定比例，误差项取为白噪声序列。

这时就是1阶自回归。

如果将处值的期望取为过去值的加权平均，这时就是高阶自回归。

阶自回归过程（也叫线性差分方程）

或

定义滞后算子B如下：

,

上述阶自回归过程可写成

其中

这个自回归过程的壹般解是

这里是齐次方程的解，是特解。

这里的滞后算子表示为：

，

方程称为的特征方程。

对于壹阶齐次方程

解为，是依赖于初值的常量。

对于二阶齐次方程

则，可能的解的形式为

代回方程得，如果是方程的根，则确实是方程的解。

可利用初值的条件，确定。

对于壹般的p阶方程

有解

这里是方程的根（假设没有重根）。

如果是复根，则有共轭对应，形为，对于充分大的，解的形式将由所控制，。

如果，解是平稳的。

如果，解是（发散的）爆炸性的。

解是平稳的充分必要条件是：

的根于单位园之外，把它称为平稳性条件。

本课程将介绍壹维和多维时间序列的建模方法，包括预测方法；介绍如何估计时间序列的不规则部分；当数据显示波动和相对平滑时，方差如何估计；趋势的估计（趋势是确定性的仍是随机性的）；多维向量差分方程的特征性质；多维模型中趋势的估计。

虽然时间序列分析的主要内容是预测，由于大量经济变量的动态变化特征，使我们能够利用时间序列（随机差分方程）来分析验证有关经济理论。

见下面三个例子：

1．随机游动假说：

随机游动模型解释了股票每天价格的变化应该是不关联的、有零均值。

如果已知于t天买壹份股票，于下壹天卖掉能够得到预期的利润的话，那么大量投机就会驱使现价上涨。

同样，如果壹份股票预期要贬值，没人会想持有这个股票。

这个模型认为：

股票价格应当满足随机差分方程

或

这里于t天壹份股票的价格，有零均值、不关联的随机扰动项。

当下考虑更壹般的随机差分方程

检验随机游动假设就是检验限制条件，拒绝这个限制等价于拒绝随机游动假说。

2导出（reduced）型方程和结构方程：

将壹个差分方程组分解成几个单方程模型是有用的。

为了说明这个重要问题，考虑Samuelson（1939）的经典模型：

（1.1）

（1.2）

（1.3）

这里和表示于t期实际GDP、消费和投资。

于这个Keynesian模型中，和是内生变量。

前壹期GDP和前壹期消费被称为前定的或滞后的内生变量。

称为消费和投资的零均值扰动项，是要估计的参数。

第壹个方程说明：

总产出（GDP）等于消费和投资之和。

第二个方程说明：

消费等于前壹期的GDP的比例加上随机扰动项。

第三个方程是加速原理：

投资和消费变化成比例，消费的增长促使了新的投资。

误差项代表了这个方程不能解释的消费和投资部分。

方程（1.1）是结构方程（内生变量和其它内生变量当期之间的关系），内生变量依赖于其它内生变量、的现期值。

导出型方程是将壹个内生变量表示成它的滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的现值和滞后值及扰动项的方程。

按此说法，消费函数（1.2）是导出型：

现期消费只依赖于滞后收入和随机扰动项的现期值。

投资方程（1.3）不是导出型，因为它依赖于现期消费。

为了得到投资的导出型方程，将（1.2）代人投资方程中，得

注意，这是投资的导出型方程，但不是唯壹的。

能够将（1.2）滞后壹期获得，利用这个表达式，导出型投资方程可写成

（1.4）

同样，对于GDP的导出型方程可通过将（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得

（1.5）

方程（1.5）是导出型方程（壹维情况）；可表示成本身的滞后项和扰动项的函数。

壹维模型对于预测是非常有用的，因为，你能够用现值和过去值进行预测。

利用壹维时间序列的技术能够估计（1.5）。

壹旦你获得了和的估计，利用到的观测值，能够预测序列的所有将来值（

本课程也考虑多维模型（所有变量被认为是联合内生的），也讨论由导出模型推出结构型模型的限制条件（可识别条件）。

3、误差修正：

远期和现期交易价格

某种商品或金融产品于现期市场中或将来的某壹时刻能被买和卖，例如，假设于现期（t期）市场某种外汇的价格是美元，远期价格是美元。

到t+1期，投机者付美元。

因为现期汇率能够的价格卖，投机者能挣的利润是

无偏的远期利率（UFR）假说认为：

投机行为的预期利润为零。

远期、现期汇率有下面关系：

（1.6）

这里有零均值。

于（1.6）中，t期的远期汇率是t+1期现期汇率的无偏估计。

因此，假如你收集到了这俩种数据，且估计了回归方程

如果能断定，且（）=0，则UFR假设成立。

当=0时，远期和现期市场被说成是长期均衡。

只要偏离时，于下壹期将会有壹些必要的调整，以恢复均衡。

考虑调整过程：

（1.7）

（1.8）

这里，均值均为零。

这俩个方程说明了联立调整机制，这个动态模型被称为误差修正模型。

因为，变量和前壹期偏离长期均衡的偏差有关。

如果现期汇率等于远期汇率，现期汇率和远期汇率预期不变。

如果现期汇率和远期汇率之间有正偏差，，则现期汇率将下降，远期汇率将上升。

4．蛛网模型

1．确定性蛛网模型：

这里t期小麦的需求，t期小麦的供给，t期小麦的市场价格，农民对t期小麦的预期价格。

参数保证均衡价格为正），蛛网模型的关键是农民使用上期价格作为市场价格的预期

可得壹阶常系数差分方程

初始条件

条件

收敛性

类型

收敛

不收敛

发散

阻尼振荡

交错振荡

发散振荡

这个稳定条件的经济解释是：

供给曲线的斜率（，需求曲线斜率的绝对值。

如果供给曲线比需求曲线更陡峭，即时，系统是稳定的。

2．带有随机供给冲击的蛛网模型

下面用具有随机供给冲击的蛛网模型来说明农产品价格的波动性。

如小麦价格由下面供需决定：

这里t期小麦的需求

t期小麦的供给

t期小麦的市场价格

农民对t期小麦的预期价格

零均值的供给冲击。

参数保证均衡价格为正）

假设消费者可按市场价任意购买小麦。

于种植期，农民不知道小麦于收割时的价格，他们的供给依赖于预期价格，和实际小麦市场不同，这里不允许有囤积。

蛛网模型的关键是农民使用上期价格作为市场价格的预期

点E代表价格和小麦数量达到长期均衡。

于这个随机模型中的均衡概念不同于传统的蛛网模型。

如果这个系统是稳定的，价格会趋于E点。

随机均衡是指供给冲击会使系统经常偏离E点。

长期均衡价格是容易解出的。

如果令均为0，，且令供给=需求，则可得长期均衡价格为

均衡供给量、需求量为

为了分析这个系统的动态性质，我们假设农民于t期生产小麦数量s。

可是，有壹个负的供给冲击，使实际生产量为，点1，为了简单，假设这供给冲击的后续值均为零。

（。

于t+1期时，。

他们生产，点2。

但，当价格降到时，消费者愿意买，点3。

重复这个过程，壹直到达点E。

价格

但这个均衡不壹定对所有供给、需求曲线均能达到。

为了求出稳定条件，

或

这是壹阶线性差分方程。

为了得到壹般解：

如果我们知道于某个初始期的价格，则我们可确定A。

因为壹般解对每期均成立，所以

因而可求出A，可得

（1.9）

由此可见出，将振荡于长期均衡价格上下。

如果收敛到零。

如果将发散。

这个稳定条件的经济解释是：

供给曲线的斜率（，需求曲线斜率的绝对值。

如果供给曲线比需求曲线更陡峭，即时，系统是稳定的。

3．供给冲击效应

供给冲击对小麦价格的当期影响效应是的偏导数：

（1.10）

这个方程被称为影响乘数，它反映了于t期改变壹个单位对的影响。

供给每下降壹个单位，价格上升1/单位。

能够求出供给冲击对以后各期的影响效应。

由（1.9）可知

类似地，

这些乘数的时间路径被称为脉冲反应函数，脉冲反应函数于时间序列分析中有重要应用，它显示了壹个变量被壹个随机冲击影响的整个时间路径。

这里显示了小麦市场供给冲击的效应。

也可分析货币供给或产出冲击对实际GDP的影响路径。