河北中考数学分层刷题训练11数学第9讲 平面直角坐标系与函数的认识.docx
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河北中考数学分层刷题训练11数学第9讲平面直角坐标系与函数的认识
第三章 函 数
第9讲 平面直角坐标系与函数的认识
1.（2019，河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：
km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为20km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.
第1题图
【解析】
（1）由A，B两点的纵坐标相同可知AB∥x轴，∴AB＝12－（－8）＝20（km）.
（2）如答图，过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D.由
（1）可知CE＝1－（－17）＝18（km），AE＝12km.设CD＝xkm，∴AD＝CD＝xkm，DE＝（18－x）km.在Rt△ADE中，由勾股定理可知x2＝（18－x）2＋122.解得x＝13.∴CD＝13km.
第1题答图
2.（2013，河北）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为ts，y＝S△EPF，则y关于t的函数图象大致是（A）
第2题图
AB
CD
【解析】在Rt△ADE中，AD＝
＝13.在Rt△CFB中，BC＝
＝13.①当点P在AD上运动时，如答图①，过点P作PM⊥AB于点M，则PM＝AP·sinA＝
t，此时y＝
EF·PM＝
t，为一次函数．②当点P在DC上运动时，y＝
EF·DE＝30.③当点P在BC上运动时，如答图②，过点P作PN⊥AB于点N，则PN＝BP·sinB＝
（AD＋CD＋BC－t）＝
，则y＝
EF·PN＝
，为一次函数．综上可得选项A的图象符合．
第2题答图
3.（2011，河北）如图，在矩形中截取两个相同的圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y关于x的函数图象大致是（A）
第3题图
AB
CD
【解析】由题意，得y－
＝
x，即y＝
x.
4.（2010，河北）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s关于t的函数图象大致是（C）
AB
CD
【解析】航行过程分三段，且第二段停留，此时s值不变，即图象与x轴平行．故选项D错误．无论速度快慢，路程都随时间的增大而增大，所以第一、三段图象都应是向上的趋势．故选项A错误．从甲地到乙地顺水航行，从乙地返回到甲地逆水航行，所以第一段图象比第三段倾斜程度更陡一些．故选项B错误，选项C正确．
平面直角坐标系与点的坐标特征
例1在平面直角坐标系中，将点A（－1，－2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（B）
A.（－3，－2）B.（2，2）C.（－2，2）D.（2，－2）
【解析】点A（－1，－2）向右平移3个单位长度得到点B（2，－2），点B关于x轴的对称点B′的坐标为（2，2）.
针对训练1（2019，邢台模拟）经过点M（4，－2）与点N（x，y）的直线平行于x轴，且点N到y轴的距离等于5，则点N的坐标是（B）
A.（5，2）或（－5，－2）B.（5，－2）或（－5，－2）
C.（5，－2）或（－5，2）D.（5，－2）或（－2，－2）
【解析】∵经过点M（4，－2）与点N（x，y）的直线平行于x轴，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y＝－2.∵点N到y轴的距离为5，∴|x|＝5.∴x＝±5.∴点N的坐标为（－5，－2）或（5，－2）.
函数图象的判断与分析
例2（2019，唐山路南区三模）甲、乙两车间同时开始加工一批服装，从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件），甲车间加工的时间为x（h），y与x之间的函数图象如图所示，则下列结论错误的是（D）
例2题图
A.甲车间每小时加工服装80件B.这批服装的总件数为1140件
C.乙车间每小时加工服装60件D.乙车间维修设备用了4h
【解析】由图象可知，甲车间每小时加工服装720÷9＝80（件）．故选项A正确．由图象知服装总件数为720＋420＝1140（件）．故选项B正确．乙车间每小时加工服装120÷2＝60（件）．故选项C正确．乙车间复工后加工时间为（420－120）÷60＝5（h），故乙车间维修设备时间为9－5－2＝2（h）．故选项D错误.
针对训练2（2019，北京模拟）如图①所示的为某立交桥示意图（道路宽度忽略不计），A－F－G－J为高架，以O为圆心的圆盘B－C－D－E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB＝CH＝DI＝EJ，AF＝GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧（立交桥的上下高度差忽略不计），点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，甲、乙、丙、丁四辆车均以10m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出．若各车到圆心O的距离y（m）与从A口进入立交桥后的时间x（s）的对应关系如图②所示，则下列说法错误的是（B）
训练2题图
A.甲车在立交桥上共行驶10s
B.从I口出立交桥的车比从H口出立交桥的车多行驶30m
C.丙、丁两车均从J口出立交桥
D.从J口出立交桥的两辆车在立交桥行驶的路程相差60m
【解析】由图象可得，甲车在立交桥上共行驶7＋3＝10（s）．故选项A正确．从I口出立交桥的车比从H口出立交桥的车多行驶10×（7－3）＝40（m）．故选项B错误．甲车从H口出立交桥，乙车从I口出立交桥，丙、丁两车均从J口出立交桥．故选项C正确．从J口出立交桥的两辆车为丙、丁，而丙车行驶的路程是（3×2＋4×3）×10＝180（m），丁车行驶的路程是（17＋7）×10＝240（m）．所以从J口出立交桥的两辆车在立交桥行驶的路程相差60m．故选项D正确.
函数自变量的取值范围
例3（2019，内江）在函数y＝
＋
中，自变量x的取值范围是（D）
A.x＜4B.x≥4C.x＞4D.x≤4且x≠－3
【解析】由题意，得x＋3≠0，且4－x≥0.解得x≤4且x≠－3.
针对训练3（2019，哈尔滨）在函数y＝
中，自变量x的取值范围是（x≠
）.
【解析】由题意，得2x－3≠0.解得x≠
.
一、选择题
1.（2019，东莞模拟）在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（C）
A.3B.4C.5D.±5
【解析】如答图所示．∵点P的坐标是（3，4），∴OA＝3，AP＝OB＝4.∴OP＝
＝5，即点P到原点的距离是5.
第1题答图
2.（2019，上海模拟）在平面直角坐标系中，若点A（－m，n）在第四象限，则点B（1－n，m）在（D）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】∵点A（－m，n）在第四象限，∴－m＞0，n＜0.∴m＜0，1－n＞0.∴点B（1－n，m）在第四象限．
3.若点A（a＋1，a－2）在第二、四象限的角平分线上，则点B（－a，1－a）在（B）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】∵点A（a＋1，a－2）在第二、四象限的角平分线上，∴a＋1＝－（a－2）．解得a＝
.∴－a＝－
，1－a＝1－
＝
.∴点B（－a，1－a）在第二象限．
4.课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小军对小华说，如果我的位置用（0，－2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（A）
第4题图
A.（－2，－3）B.（－3，－2）C.（－3，－4）D.（－4，－3）
【解析】由小军和小刚的坐标可建立如答图所示的平面直角坐标系，则小华的位置可表示为（－2，－3）．
第4题答图
5.已知点P（m－2，6－2m）在坐标轴上，则点P的坐标为（C）
A.（2，0）B.（0，3）C.（0，2）或（1，0）D.（2，0）或（0，3）
【解析】∵点P（m－2，6－2m）在坐标轴上，∴m－2＝0或6－2m＝0.解得m＝2或m＝3.∴点P的坐标为（0，2）或（1，0）．
6.若点M（3，－2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则点N的坐标为（D）
A.（4，－2）B.（3，－1）C.（3，－1）或（3，－3）D.（4，－2）或（2，－2）
【解析】∵点M（3，－2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，MN＝1，∴y＝－2，|x－3|＝1.∴x＝2或4.∴点N的坐标为（2，－2）或（4，－2）．
7.（2019，包头）在函数y＝
－
中，自变量x的取值范围是（D）
A.x＞－1B.x≥－1C.x＞－1且x≠2D.x≥－1且x≠2
【解析】根据题意，得
解得x≥－1且x≠2.
8.（2019，重庆B）根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入x的值是7，则输出y的值是－2；若输入x的值是－8，则输出y的值是（C）
第8题图
A.5B.10C.19D.21
【解析】当x＝7时，可得
＝－2.解得b＝3.当x＝－8时，y＝－2×（－8）＋3＝19.
9.（2019，邯郸模拟）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法不正确的是（B）
A.x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数
B.弹簧不挂重物时的长度为0cm
C.所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm
D.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
【解析】A.y随x的增加而增加，x是自变量，y是x的函数，故选项A正确．B.弹簧不挂重物时的长度为10cm，故选项B错误．C.所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，故选项C正确．D.由题意，得y＝10＋0.5x.当x＝7时，y＝13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故选项D正确．
二、填空题
10.在平面直角坐标系中，点（－7，2m＋1）在第三象限，则m的取值范围是（m＜－
）.
【解析】∵点在第三象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即2m＋1＜0.解得m＜－
.
11.已知平面直角坐标系内不同的两点A（3a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，则a的值为1或－3.
【解析】∵点A（3a＋2，4）和点B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，∴|2a＋2|＝4.解得a1＝1，a2＝－3.
三、解答题
12.如图，在正方形网格中，点A的坐标是（1，1），点B的坐标是（2，0）．
（1）依题意，在图中建立平面直角坐标系；
（2）图中点C的坐标是（－1，－2），点C关于x轴对称的点C′的坐标是（－1，2）；
（3）若点D的坐标为（3，－1），在图中标出点D的位置；
（4）将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B′的坐标是
（－1，1），△AB′C的面积为3.
第12题图 第12题答图
解：
（1）如答图所示．
（2）（－1，－2） （－1，2）
（3）如答图所示，点D即为所求．
（4）（－1，1） 3
13.小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为4000m，小玲步行的速度为100m/min；
（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人相遇的时间．
第13题图
解：
（1）4000 100
（2）由题意，知小东从离家4000m处以300m/min的速度回家．
∴小东离家的路程y关于x的函数解析式为y＝4000－300x.
自变量x的取值范围为0≤x≤
.
（3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前．
∴4000－300x＝200x.
解得x＝8.
∴两人相遇的时间为第8min.
14.（2019，石家庄43中模拟）已知O为原点，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x＋y＝8，设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）求x的取值范围；
（3）当S＝12时，求点P的坐标；
（4）画出函数S的图象．
解：
（1）∵点A和点P的坐标分别是（8，0），（x，y），∴S＝
×8y＝4y.
∵x＋y＝8，∴y＝8－x.
∴S＝4（8－x）＝32－4x.
∴S关于x的函数解析式为S＝－4x＋32.
（2）由
（1），得S＝－4x＋32＞0.
解得x＜8.
∵点P在第一象限，∴x＞0.
∴x的取值范围为0＜x＜8.
（3）∵S＝12，∴－4x＋32＝12.解得x＝5.
∵x＋y＝8，
∴y＝8－5＝3.∴点P的坐标为（5，3）．
（4）所画图象如答图．
第14题答图
1.（2019，娄底）如图，在单位长度为1m的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2m，圆心角为120°的AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从点A（A为坐标原点）出发，以每秒
m的速度沿曲线向右运动，则在第2019s时点P的纵坐标为（B）
第1题图
A.－2B.－1C.0D.1
【解析】点P从点A沿曲线运动到点B用时
÷
＝2（s）．如答图，作CD⊥AB于点D，与AB相交于点E，则AE＝BE.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝
∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，AE的长为
＝
.∴CD＝
AC＝
×2＝1.∴DE＝CE－CD＝2－1＝1.∴第1s时点P运动到点E，纵坐标为1；第2s时点P运动到点B，纵坐标为0；第3s时点P运动到点F，纵坐标为－1；第4s时点P运动到点G，纵坐标为0；第5s时点P运动到点H，纵坐标为1……∴点P的纵坐标以1，0，－1，0四个数为一个周期依次循环．∵2019÷4＝504……3，∴第2019s时点P的纵坐标为－1.
第1题答图
2.（2019，郴州）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数解析式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝
的图象与性质．
列表：
x
…
－3
－
－2
－
－1
－
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：
在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
第2题图
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（－5，y1），B
，C
，D（x2，6）在函数图象上，则y1＜y2，
x1＜x2；（填“＞”“＜”或“＝”）
②当函数值y＝2时，求自变量x的值；
③在直线x＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3＋x4的值；
④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
解：
（1）如答图所示．
第2题答图
（2）①＜ ＜
②当y＝2时，2＝－
，∴x＝－1.
当y＝2时，2＝|x－1|，∴x＝3或x＝－1（舍去）．
综上所述，当函数值y＝2时，自变量x的值为3或－1.
③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）是在直线x＝－1右侧的两个不同的点，且y3＝y4，
∴点P与点Q关于直线x＝1对称．
∴x3＋x4＝2.
④由图象可知，0＜a＜2.
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