完整word版八年级下期数学培优思维训练特殊平行四边形文档格式.docx

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AE及AF三等分∠BAC.

3.如图，E，F，分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，M为BC的延长线上一点，CH平分∠DCM交AD延长线于H，FG⊥AF交CH于G.求证：

（1）ΔABF≌ΔDAE，AF⊥DE；

（2）ΔAEF≌ΔFCG；

（3）四边形EFGD是平行四边形.

4.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、△ACE、△BCF.

（1）求证：

四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：

（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是正方形；

④当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

5.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H.求证：

AH＝AD.

6.若以直角三角形ABC的边AB为边，在△ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA至点G使AG=BC.求证：

BG=CD.

7.如图1，正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，交∠CBE的平分线于点N． 

（1）DM与MN相等吗？

试说明理由． 

（2）若将条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，如图2，则DM与MN相等吗？

为什么？

8.如图，菱形ABCD的边长是2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且AE+CF=2.

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由.

9.正方形ABCD中，∠MAN=45°

，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（图1），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？

写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想；

（3）运用在

（1）解答中所积累的经验，完成下题：

如图4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°

，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°

，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

10.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F. 

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上 

（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究

（1）中的结论是否成立？

若成立，写出证明过程；

若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断

（1）中的结论是否成立？

若成立，直接写出结论；

若不成立，请写出相应的结论.

11.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．

（1）如图1，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当点P在线段OC上时，

（1）中的猜想还成立吗？

请说明理由；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断

（1）中的猜想是否成立？

若成立，请直接写出结论；

若不成立，请说明理由．

12.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°

得到BN，连接EN、AM、CM．

△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为

时，求正方形的边长．

13.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；

如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：

四边形EFGH的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°

＜α＜90°

），

①试用含α的代数式表示∠HAE；

②求证：

HE=HG；

③四边形EFGH是什么四边形？

并说明理由．

（四）思维训练：

1.在△ABC中，∠C=90°

，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：

DE=DF.

2.如图，矩形ABCD，延长CB到点E，使CE=CA，点F是AE的中点.求证：

BF⊥DF.

3.如图，在△AEC中，以∠AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AH的中点是M．求证：

△FMH是等腰直角三角形．

4.

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°

，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°

，将△ABM绕点A逆时针旋转90°

至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3

，求AG，MN的长．

5.在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°

．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________；

（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？

并对你的猜想结果给予证明；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________；

位置关系为_________．

6.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．

（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．

①求证：

DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断

（1）中的结论①、②是否分别成立？

若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

7.已知正方形ABCD．

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：

BE=GH；

（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？

请写出你的结论；

（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？

其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．

8.操作示例：

对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．

实践与探究：

（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；

（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？

请简要说明你的理由．

9.如图，操作：

把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．

探究：

线段MD、MF的关系，并加以证明．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

注意：

选取①完成证明得10分；

选取②完成证明得7分；

选取③完成证明得5分．

①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；

②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°

（如图），其他条件不变；

③在②的条件下，且CF=2AD．

附加题：

将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：

10.操作：

将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：

设A、P两点间的距离为x．

（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？

试证明你观察得到的结论（如图1）；

（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；

（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？

如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；

如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．