完整word版二次函数新定义问题.docx

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完整word版二次函数新定义问题

专题训练（四）　与二次函数相关的新定义问题

►　类型之一　应用型：

阅读——理解——建模——应用

图4－ZT－1

1．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.

2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是________．

3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．

（1）直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．

（2）二次函数y＝2（x＋2）2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a（x－h）2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．

（3）平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．

图4－ZT－2

►　类型之二　探究型：

阅读——理解——尝试——探究

4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．

（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：

请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：

y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；

（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：

已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．

5．2017·衢州定义：

如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（点P与A，B两点不重合），若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的勾股点．

（1）直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；

（2）如图②，已知抛物线C：

y＝ax2＋bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，

）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

（3）在

（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q（异于点P）的坐标．

图4－ZT－3

6．2017·嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：

抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是（0，－2）和（1，－1）．

（1）若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．

（2）已知抛物线y＝x2－3x＋3如图4－ZT－4所示，若它的一个生成点是（m，m＋3）．

①求m的值．

②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得（不重合），且同时满足以下两个条件：

一是这两个抛物线具有相同的生成线；

二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.

求p与q的值．

图4－ZT－4

7．2017·随州在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线y＝－

x2－

x＋2

与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C.

（1）填空：

该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A的坐标为________，点B的坐标为________．

（2）如图4－ZT－5，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．

图4－ZT－5

►　类型之三　概括型：

阅读——理解——概括——拓展

8．2017·郴州设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：

max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：

（1）max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；

（2）若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；

（3）求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图4－ZT－6所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．

图4－ZT－6

详解详析

1．（1，0）　[解析]解x2－2x－3＝0得x1＝－1，x2＝3，所以抛物线与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），所以AB＝4，所以点M的坐标为（1，0）．

2．8　[解析]∵二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，

∴－

＝0，∴b＝0，

∴函数表达式为y＝x2－4，

令y＝0，则x2－4＝0，

解得x1＝－2，x2＝2，

∴A（－2，0），B（2，0），

∴AB＝2－（－2）＝4.

令x＝0，则y＝－4，

∴点P的坐标为（0，－4），

∴△ABP的面积＝

×4×4＝8.

3．解：

（1）顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称．（答案不唯一）

（2）y＝2（x－2）2＋1　y＝a（x＋h）2＋k

（3）（答案不唯一）如图，由BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，得OA＝8，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（－3，4）．设左侧抛物线的函数表达式为y＝a（x＋3）2＋4，将点A的坐标代入，得

9a＋4＝8，

解得a＝

，

故y＝

（x＋3）2＋4，其“关于y轴对称二次函数”的表达式为y＝

（x－3）2＋4.

根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，

“关于y轴对称二次函数”的表达式为y＝－

（x＋3）2－4和y＝－

（x－3）2－4.

4．解：

（1）答案不唯一，合理即可．

（2）因为抛物线的函数表达式可化为y＝－（x2－2bx＋b2）＋b2＋c＋1＝－（x－b）2＋b2＋c＋1，所以此定点抛物线的顶点坐标为（b，b2＋c＋1）．因为抛物线过定点M（1，1），将其代入函数表达式可得－1＋2b＋c＋1＝1，解得c＝1－2b，则顶点纵坐标b2＋c＋1＝b2＋1－2b＋1＝（b－1）2＋1，所以当b＝1时，b2＋c＋1的值最小为1，此时c＝1－2b＝1－2×1＝－1.故抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x.

5．解：

（1）抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标为（0，1）．

（2）抛物线y＝ax2＋bx过原点，即点A（0，0）．

如图，过点P作PG⊥x轴于点G.

∵点P的坐标为（1，

），

∴AG＝1，PG＝

，PA＝

＝

＝2，

∴∠PAG＝60°，

∴AB＝2PA＝4，

∴点B的坐标为（4，0）．

设抛物线C的函数表达式为y＝ax（x－4），

将P（1，

）代入得a＝－

，

∴y＝－

x（x－4）＝－

x2＋

x.

（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为

，

则有－

x2＋

x＝

，

解得x1＝3，x2＝1，

∴点Q的坐标为（3，

）；

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－

，

则有－

x2＋

x＝－

，

解得x1＝2＋

，x2＝2－

，

∴点Q的坐标为（2＋

，－

）或（2－

，－

）．

综上，满足条件的点Q有3个，其坐标为（3，

）或（2＋

，－

）或（2－

，－

）．

6．解：

（1）∵抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，

∴m＝－3，－n＝－2，

∴n＝2.

（2）①∵抛物线y＝x2－3x＋3的一个生成点是（m，m＋3），

∴m＋3＝m2－3m＋3，

整理，得m2－4m＝0，

解得m＝0或4.

②∵抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得（不重合），且这两个抛物线具有相同的生成线，

∴q＝3.

∵抛物线y＝x2－3x＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为（0，3），（4，7），

∴AB2＝（4－0）2＋（7－3）2＝32.

∵抛物线y＝x2＋px＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为（0，3），（1－p，4－p），

∴CD2＝（1－p－0）2＋（4－p－3）2＝2（1－p）2.

∵AB＝CD，∴2（1－p）2＝32，

∴p＝5或－3.

∵抛物线y＝x2＋px＋3与抛物线y＝x2－3x＋3不重合，

∴p＝－3不合题意，应舍去，∴p＝5.

7．解：

（1）y＝－

x＋

　（－2，2

）　（1，0）

（2）∵抛物线与x轴负半轴交于点C，∴C（－3，0）．过点A作AG⊥y轴，垂足为G.

当点N在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”．

设N（0，n），∵A（－2，2

），C（－3，0），∴AC＝

，∴AN＝AC＝

.

在Rt△AGN中，AG2＋GN2＝AN2，AG＝2，GN＝|n－2

|，

∴4＋（n－2

）2＝13，

解得n＝2

－3或n＝2

＋3.

设M（m，0），

当n＝2

－3时，在Rt△MNO中，（2

－3）2＋m2＝（m＋3）2，解得m＝2－2

；

当n＝2

＋3时，在Rt△MNO中，（2

＋3）2＋m2＝（m＋3）2，解得m＝2＋2

.

∵－3＜m≤1，∴m＝2＋2

不合题意，舍去．

∴m＝2－2

，此时n＝2

－3，

∴N（0，2

－3）；

当点M在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”，

此时点M与点O重合，在Rt△AGM中，AG＝2，GM＝2

，

∴

＝

，∴∠AMG＝30°，

∴∠AMC＝∠AMN＝∠NMB＝60°.

过点N作NP⊥x轴于点P，在Rt△NMP中，MN＝CM＝3，

∴NP＝

，OP＝

，∴N

.

综上所述，点N的坐标为（0，2

－3）或

.

（3）E1

，F1

；

E2

，F2

.

8．解：

（1）5　3

（2）由题意可得3x＋1≤－x＋1，解得x≤0.

（3）由题意得

解得

∴交点坐标为（－2，4）和（3，－1）．

所作的函数y＝－x＋2的图象如图所示．

由图象可知：

当x＝3时，max{－x＋2，x2－2x－4}有最小值－1.