23基础等腰三角形性质及判定基础课程讲义例题练习含答案.docx

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23基础等腰三角形性质及判定基础课程讲义例题练习含答案

等腰三角形性质及判定（基础）

【学习目标】

1.掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．

2.掌握等腰三角形的判定定理．

3.熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：

等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝

.

【高清课堂：

389301等腰三角形的性质及判定，知识要点】

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

【高清课堂：

389301等腰三角形的性质及判定：

例1】

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

【答案与解析】

解：

∵AB＝AC

　∴∠B＝∠C

　　∵AB＝BD

　∴∠2＝∠3

　　∵∠2＝∠1＋∠C

　　∴∠2＝∠1＋∠B

　　∵∠2＋∠3＋∠B＝180°

　　∴∠B＝180°－2∠2

　　∴∠2＝∠1＋180°－2∠2

　　∴3∠2＝∠1＋180°

　　∵∠1＝30°

　　∴∠2＝70°

【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.

【高清课堂：

389301等腰三角形的性质及判定：

例1练习】

举一反三：

【变式】已知：

如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

【答案】

解：

∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

∴设∠ECD＝∠EDC＝

，∠BCD＝∠BDC＝

，

则∠AED＝∠ADE＝2

，∠A＝∠B＝180°－4

在△ABC中，根据三角形内角和得，

＋

＋180°－4

＋180°－4

＝180°①

又∵A、D、B在同一直线上，∴2

＋

＋

＝180°②

由①，②解得

＝36°

∴∠B＝180°－4

＝180°－144°＝36°.

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.

【答案与解析】

解：

（1）当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：

两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，

又由等腰三角形的性质可知：

两底角相等，

故每个底角的度数

；

（2）当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，

则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．

∴其余各角为70°，70°或40°，100°．

【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.

3.（春•安岳县期末）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组

．

（1）求a、b的值．

（2）求这个等腰三角形的周长．

【答案与解析】

解：

（1）

，

②×2﹣①得5b=15，解得b=3，

把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；

（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：

5×2+3=13；

若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：

3×2+5=11．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．

举一反三：

【变式】（•裕华区模拟）若x，y满足|x﹣3|+

=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（　　）

　A．12B．14C．15D．12或15

【答案】C.

解：

根据题意得，x﹣3=0，y﹣6=0，

解得x=3，y=6，

①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，

∵3+3=6，

∴不能组成三角形，

②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，

能组成三角形，周长=3+6+6=15，

所以，三角形的周长为15．

故选C．

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

【高清课堂：

389301等腰三角形的性质及判定：

例8】

4、已知：

如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF

并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．

求证：

（1）△ABD≌△CFD；

（2）BE⊥AC．

【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.

【答案与解析】

证明：

（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°.

∵

，

∴

∴AD＝CD

∵

，

∴△ABD≌△CFD

（2）∵△ABD≌△CFD

∴BD＝FD.

∵∠FDB＝90°，

∴

.

∵

，

∴

.

∴BE⊥AC．

【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．

举一反三：

【变式】（•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．

【答案与解析】

解：

作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，

∵∠1=∠2，AD⊥BC，

∴EH=ED（角平分线的性质）

∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，

∴四边形EFGD是矩形，

∴ED=FG，

∴EH=FG，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

又∵∠AHE=∠FGC=90°，

∴△AEH≌△CFG（AAS）

∴AE=CF．

【总结升华】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．

【巩固练习】

一.选择题

1.已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为（）

A．16B．17C．16或17D．10或12

2.若一个三角形的三个外角度数比为2：

3：

3，则这个三角形是（）

　　A.等腰三角形　　　B.等边三角形

　　C.直角三角形　　　D.等腰直角三角形

3.将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　A.4个　　　B.3个　　　C.2个　　　D.1个

4.（秋·醴陵市校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD.其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5.如图，D是AB边上的中点，将

沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若

，则

度数是（）

A．60°B．70°C．80°D．不确定

6.（•沂源县校级模拟）有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）

　A．1B．2C．3D．4

二.填空题

7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．

8.等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．

9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8

，则AB＝_________

．

10.等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是.

11.（春•闵行区期末）如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于　　．

12.（春•锦州月考）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于　　．

三.解答题

13．已知：

如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14.（春•黄冈校级期末）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．

15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：

BQ＋AQ＝AB＋BP．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】注意分类讨论.

2.【答案】D；

【解析】三个外角度数分别为360°×

＝90°，360°×

＝135°，135°，所以三角形为等腰直角三角形.

3.【答案】B；

4.【答案】C；

【解析】①②③正确.

5.【答案】C；

【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，

＝180°－50°－50°＝80°.

6.【答案】C；

【解析】解：

由题意可得，

3cm作腰，6cm作底或12cm作底，则三边分别为3cm，3cm，6cm，不能构成三角形，3cm，3cm，12cm，不能构成三角形；

6cm作腰，3cm作底或12cm作底，则三边分别为6cm，6cm，3cm，能构成三角形，6cm，6cm，12cm，不能构成三角形；

12cm作腰，3cm或6cm作底，则三边分别为12cm，12cm，3cm，能构成三角形，12cm，12cm，6cm，能构成三角形，

故最多能组成3个等腰三角形，

故选：

C．

二.填空题

7.【答案】20；

【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.

8.【答案】80°；

【解析】设顶角为

，则底角为

－30°，所以

＋

－30°＋

－30°＝180°，

＝80°.

9.【答案】8；

【解析】DE＝DC，AC＝BC＝BE，△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AC＋AE＝AB＝8.

10.【答案】70°或40o；　

【解析】这个角可能是底角，也可能是顶角.

11.【答案】10；

【解析】△BOE和△OCF为等腰三角形，BE=EO，OF=FC，∴△OEF的周长等于BC.

12.【答案】3

；

【解析】解：

∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，

∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，

∵DE∥BC，

∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，

∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，

∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，

∴DE=DI﹣EI=3cm．

三.解答题

13.【解析】

证明：

ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，

∵AB＝AC，AE＝AD．

∴设∠B＝∠C＝

，则∠EAD＝2

，

∴∠ADE＝

即∠BDH＝90°－

∴∠B＋∠BDH＝

＋90°－

＝90°，

∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.

14.【解析】

解：

设三角形的腰AB=AC=x

若AB+AD=24cm，

则：

x+

x=24

∴x=16

三角形的周长为24+30=54cm

所以三边长分别为16，16，22；

若AB+AD=30cm，

则：

x+

x=30

∴x=20

∵三角形的周长为24+30=54cm

∴三边长分别为20，20，14；

因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14．

15.【解析】

证明：

延长AB至E，使BE＝BP，连接EP

∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，

∴∠ABC＝80°（

∴∠E＝∠BPE＝

＝40°

∵AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，

∴∠QBC＝40°，∠BAP＝∠CAP

∴BQ＝QC（等角对等边）

在△AEP与△ACP中，

∴△AEP≌△ACP（AAS）

∴AE＝AC

∴AB＋BE＝AQ＋QC，即AB＋BP＝AQ＋BQ.