考研数学模拟试题数学一附答案.doc
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2018年考研数学模拟试题（数学一）
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.
（A）（B）（C）（D）
2.设则是的（）.
（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点
3.若函数与在内可导，且，则必有（）.
（A）（B）
（C）（D）
4.已知级数和分别收敛于，则级数（）
（A）不一定收敛（B）必收敛，和为
（C）必收敛，和为（D）必收敛，和为
5.设矩阵与相似，则（）.
（A）3（B）4（C）5（D）6
6.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（）.
（A）（B）
（C）（D）
7.设随机变量服从上的均匀分布，则与（）.
（A）不相关（B）相关（C）独立（D）相关且不独立
8.设是取自正态总体一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.
（A）（B）（C）（D）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
9.设函数具有连续偏导数，且，，则.
10.微分方程的通解为.
11.设，则.
12.设为锥面外侧，则.
13.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为.
14.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则.
三、解答题（本题共9小题，满分94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分9分）设，而是由方程所确定的隐函数，其中具有连续偏导数，而具有连续导数，求.
16.（本题满分10分）
设在上连续，且.
⑴求；⑵设，求级数的和.
17.（本题满分10分）设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数），求球体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量.
18.（本题满分11分）设函数在上连续，在内可导，且，证明：
存在，使得.
19.（本题满分10分）
（数学一）证明：
在右半平面上，曲线积分与路径无关，并求一个二元函数，使得.
20.（本题满分11分）
设二维随机向量联合概率密度为
求⑴条件概率密度；⑵概率密度.
21.（本题满分11分）
设是取自总体一个简单随机样本，的概率密度为
，
⑴求未知参数的矩估计量；
⑵求未知参数的最大似然估计量.
22.（11分）已知两个向量组与.
⑴为何值时，两个向量组等价？
⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.
23.（11分）已知二维向量不是二阶方阵的特征向量.
⑴证明线性无关；
⑵若，求的全部特征值，并判断能否与对角矩阵相似.
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
1.设在内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.
（A）（B）（C）（D）
解选择B.由题设知，为偶函数，故为奇函数.
2.设则是的（）.
（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点
解选择B.，，故是的跳跃间断点.
3.若函数与在内可导，且，则必有（）.
（A）（B）
（C）（D）
解选择C.由函数与在内可导知，与在内连续，，，而，故.
5.已知级数和分别收敛于，则级数（）
（A）不一定收敛（B）必收敛，和为
（C）必收敛，和为（D）必收敛，和为
解选择D.由级数收敛知，，
设，的前项和分别为，则，
，
故，，
所以，级数收敛，和为.
5.设矩阵与相似，则（）.
（A）3（B）4（C）5（D）6
解选择A.矩阵与相似，则与相似，
故.
6.设3阶方阵的特征值是，它们所对应的特征向量依次为，令，则（）.
（A）（B）
（C）（D）
解因为分别为的对应特征值的特征向量，故.
7.设随机变量服从上的均匀分布，则与（）.
（A）不相关（B）相关（C）独立（D）相关且不独立
解选择A.经计算得，，.
8.设是取自正态总体一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.
（A）（B）（C）（D）
解选择D.由一个正态总体的抽样分布知A，B，C都正确，，但是它们不独立，不能推出.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
9.设函数具有连续偏导数，且，，则.
解答案为.方程两边对求导，得
，
令，得，故.
10.微分方程的通解为.
解答案为.
.
11.设，则.
解答案为.
12.设为锥面外侧，则.
解答案为.关于面反向对称，关于为偶函数，故.
13.设为阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为.
解答案为，为任意常数.由题设知，，，且，故的列向量是的基础解系.
14.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则.解答案为.
.
三、解答题（本题共9小题，满分94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分9分）设，而是由方程所确定的隐函数，其中具有连续偏导数，而具有连续导数，求.
解取全微分，，
故.
16.（本题满分10分）
设在上连续，且.
⑴求；⑵设，求级数的和.
解⑴令，则，
故，即，
上式两边对求导，得，
即.
⑵，级数，
.
17.（本题满分10分）设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数），求球体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量.
解由题设知，球体上任一点的密度，
球体的质量
.
转动惯量
.
18.（本题满分11分）设函数在上连续，在内可导，且，证明：
存在，使得.
证令，则，
由积分中值定理知，存在，使得
，即，
由罗尔定理知，存在，使得，即，即.
19.（本题满分10分）
（数学一）证明：
在右半平面上，曲线积分与路径无关，并求一个二元函数，使得.
证，
，
，
在右半平面上，，故曲线积分与路径无关.
解所求函数，
取积分路径为到，再到的折线段，则
.
20.（本题满分11分）
设二维随机向量联合概率密度为
求⑴条件概率密度；⑵概率密度.
解画出联合概率密度的非零区域.
⑴关于的边缘密度
条件概率密度
⑵的取值范围为
当时，，
当时，
21.（本题满分11分）
设是取自总体一个简单随机样本，的概率密度为
，
⑴求未知参数的矩估计量；
⑵求未知参数的最大似然估计量.
解⑴，令，
所以的矩估计为.
⑵似然函数，
，解得，，
所以的最大似然估计为.
22.（11分）已知两个向量组与.
⑴为何值时，两个向量组等价？
⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.
解⑴对矩阵作初等行变换，得
，
当时，，，可由线性表示，且，，可由线性表示，即两个向量组等价.
⑵两个向量组等价时，
，
故，.
23.（11分）已知二维向量不是二阶方阵的特征向量.
⑴证明线性无关；
⑵若，求的全部特征值，并判断能否与对角矩阵相似.
⑴证设，则，否则，是的特征向量，与题设矛盾，将代入，得，又，故，所以线性无关；
⑵解
或者，
，又，故有一个特征值为，从而有一个特征值为，同理，有一个特征值为，从而有一个特征值为，故的特征值为和.
由于二阶方阵有两个不同的特征值，故能与对角矩阵相似.
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