考研数学二试题及答案.docx
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考研数学二试题及答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:
1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
1、设cosx1xsin（x），（x），当x0时，（x）（）
2
（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小
（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小
【答案】（C）
【考点】同阶无穷小
【难易度】★★
【详解】cosx1xsin（x），
1
2
cosx1x
2
1
2
xsin（x）x，即
2
1
sin（x）x
2
当x0时，（x）0，sin（x）（x）
1
（x）x，即（x）与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.
2
2、已知yf（x）由方程cos（xy）lnyx1确定，则
（A）2（B）1（C）-1（D）-2
【答案】（A）
2
limn[f（）1]
n
n
（）
【考点】导数的概念；隐函数的导数
【难易度】★★
【详解】当x0时，y1.
2
f（n）1fxfxf
2
（2）1
（2）（0）
limn[f（）1]limlim2lim2f（0）
12
nnnx0xx0x
n
方程cos（xy）lnyx1两边同时对x求导，得
1
sin（xy）（yxy）y10
y
将x0，y1代入计算，得y（0）f（0）1
1
所以，
2
limn[f（）1]2
n
n
，选（A）.
3、设
sinx[0,）
f（x），
2[,2]
x
F（x）f（t）dt，则（）
0
（A）x为F（x）的跳跃间断点（B）x为F（x）的可去间断点
（C）F（x）在x处连续不可导（D）F（x）在x处可导
【答案】（C）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念
【难易度】★★
【详解】F（0）sintdt2sintdtsintdt2，F（0）2，
00
2
F（0）F（0），F（x）在x处连续.
F
x
f（t）dtf（t）dt
00
（）lim0
x
x
，
F
x
f（t）dtf（t）dt
00
（）lim2
x
x
，
F（）F（），故F（x）在x处不可导.选（C）.
4、设函数
f（x）
1
1
（x1）
1
1
xlnx
1xe
xe
，若反常积分
1
f（x）dx收敛，则（）
（A）2（B）2（C）20（D）02
【答案】（D）
【考点】无穷限的反常积分
【难易度】★★★
【详解】
e
f（x）dxf（x）dxf（x）dx
11e
由
1
f（x）dx收敛可知，
e
1
f（x）dx与f（x）dx均收敛.
e
1
ee
f（x）dxdx
1
11
（x1）
，x1是瑕点，因为
e
1
1
（x1）
1
收敛，所以112
dx
2
11
f（x）dxdx（lnx）
1
eexx
ln
e
，要使其收敛，则0
所以，02，选D.
y
5、设（）
zfxy
x
，其中函数f可微，则
xzz
yxy
（）
（A）2yf（xy）（B）2yf（xy）（C）
【答案】（A）
2
x
f（xy）
（D）
2
x
f（xy）
【考点】多元函数的偏导数
【难易度】★★
【详解】
2
zyy
2f（xy）f（xy）
xxx
，
z1
yx
f（xy）yf（xy）
2
xzzxyy1
[f（xy）f（xy）][f（xy）yf（xy）]
2
yxyyxxx
11
f（xy）yf（xy）f（xy）yf（xy）2yf（xy）
xx
，故选（A）.
6、设
D是圆域
k
22
D（x,y）xy1位于第k象限的部分，记
I（yx）dxdy（k1,2,3,4），则（）
k
D
k
（A）
I10（B）I20（C）I30（D）I40
【答案】（B）
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算
【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，I1I30.
Iyxdxdy（yx0），
2（）0
Iyxdxdy（yx0）
4（）0
D
2
D
4
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
3
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】（B）
【考点】等价向量组
【难易度】★★
【详解】将矩阵A、C按列分块，
A（,,n），C（1,,n）
1
bb
111n
由于ABC，故
（,,）（,,）
1n1n
bb
n1nn
即
1b111bn1n,,nb1n1bnnn
即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.
由于B可逆，故
1
ACB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.
1a1200
8、矩阵aba0b0相似的充分必要条件是（）
与
1a1000
（A）a0,b2
（B）a0,b为任意常数
（C）a2,b0
（D）a2,b为任意常数
【答案】（B）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件
【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
2001a1
由
00
b的特征值为2，b，0可知，矩阵
Aaba
的特征值也是2，b，0.
0001a1
1a11a1
因此，
22
2EAa2ba02ba2a4a0
a
0
1a102a0
4
101
将a0代入可知，矩阵Ab的特征值为2，b，0.
00
101
此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.
二、填空题：
9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题．纸．．指定位置上.
9、
1
ln（1x）
lim
（2）x
x0
x
.
1
【答案】
2
e
【考点】两个重要极限
【难易度】★★
【详解】
1
1ln（1x）1ln（1x）1ln（1x）1ln（1x）
ln（1x）ln（1x）1
（1）
（1）lim
（1）
xxxxxxxx
lim
（2）lim[1
（1）]limee
x0
x0x0x0
xx
其中，
1
1
1ln（1x）xln（1x）1xx1
lim
（1）limlimlim
2
xxx2x2
（1）2
0000
xxxxxx
1
故原式=e
2
10、设函数
x
t
f（x）1edt，则yf（x）的反函数
1
xfy在y0处的导数1（）
1（）
dx
dy
y0
.
1
【答案】
1
1e
【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数
【难易度】★★
【详解】由题意可知，f
（1）0
5
dydx1dxdx1
x
f（x）1e
dxdyexdydye
11
y0x1
1
.
11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为rcos3（），则L所围平面图形的面积
66
是.
【答案】
12
【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积
【难易度】★★
【详解】面积
11cos61sin6
6
22
666
Sr（）dcos3dd（）
20022612
60
12、曲线
xarctant,
yln1t
2
上对应于t1点处的法线方程为.
【答案】ln20
yx
4
【考点】由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★★
11
22
dydy/dt1t
dxdx/dt
1
1
22
（1t）2t
1
2
t
t
，故
dy
dx
t1
【详解】由题意可知，1
曲线对应于t1点处的法线斜率为
1
k1.
1
当t1时，
x，yln2.
4
法线方程为ln2（）
yx，即yxln20.
44
13、已知
3x2x
yexe，
1
x2x
yexe，
2
2x
yxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3
3
个解，则该方程满足条件
y，
00
x
y01的解为y.
x
【答案】
3xx2x
yeexe
6
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】
3xxx
yyee，y2y3e是对应齐次微分方程的解.
12
由分析知，
*2x
yxe是非齐次微分方程的特解.
故原方程的通解为
3xxx2x
yC1（ee）C2exe，C1,C2为任意常数.
由
y00，
x
y可得C11，C20.
01
x
通解为
3xx2x
yeexe.
14、设A（a）是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
ij
aA0（i,j1,2,3），则A.
ijij
【答案】-1
【考点】伴随矩阵
【难易度】★★★
【详解】
*T*T
aA0AaAAAAAAAE
ijijijij
等式两边取行列式得
23
AAA0或A1
T
当A0时，00
AAA（与已知矛盾）
所以A1.
三、解答题：
15～23小题,共94分.请将解答写在答题．纸．．指定位置上.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n和a的值.
【考点】等价无穷小；洛必达法则
【难易度】★★★
【详解】
cos6xcos4xcos2x1
1
1cosxcos2xcos3x4
limlim
nn
axax
x0x0
3cos6xcos4xcos2x6sin6x4sin4x2sin2x
limlim
nn1
x04axx04anx
7
lim
x0
36cos6x16cos4x4cos2x
n
4an（n1）x
2
故n20，即n2时，上式极限存在.
当n2时，由题意得
1cosxcos2xcos3x36cos6x16cos4x4cos2x36164
limlim1
n
x0axx0aa
88
a7
n2,a7
16、（本题满分10分）
1
设D是由曲线
yx3，直线xa（a0）及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y
轴旋转一周所得旋转体的体积，若V10V，求a的值.
yx
【考点】旋转体的体积
【难易度】★★
【详解】根据题意，
a
155
a33
2
333
V（x）dxxa
x
055
0
a
177
66a
V2xxdxxa.
333
y
0
0
77
因V10V，故
yx
75
63
33
a10aa77.
75
17、（本题满分10分）
设平面区域D由直线x3y，y3x，xy8围成，求
2
xdxdy
D
【考点】利用直角坐标计算二重积分
【难易度】★★
【详解】根据题意
y3xx2
xy8y6
，
16
yxx
3
y2
xy8
故
D
23x68x
222
xdxdydxxdydxxdy
xx
02
33
26
28132416
434
x（xx）128
33333
02
8
18、（本题满分10分）
设奇函数f（x）在[1,1]上具有二阶导数，且f
（1）1，证明：
（Ⅰ）存在（0,1），使得f（）1；
（Ⅱ）存在（1,1），使得f（）f（）1.
【考点】罗尔定理
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由于f（x）在[1,1]上为奇函数，故f（0）0
令F（x）f（x）x，则F（x）在[0,1]上连续，在（0,1）上可导，且F
（1）f
（1）1，0
F（0）f（0）00.由罗尔定理，存在（0,1），使得F（）0，即f（）1.
xxxx（Ⅱ）考虑f（x）f（x）1e（f（x）f（x））e（ef（x））e
xx
[ef（x）e]0
xx
令g（x）ef（x）e，由于f（x）是奇函数，所以f（x）是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，
f（）f（）1，g（）g（）0.由罗尔定理可知，存在（1,1），使得g（）0，
即f（）f（）1.
19、（本题满分10分）
求曲线
331（0,0）
xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
【考点】拉格朗日乘数法
【难易度】★★★
【详解】设M（x,y）为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为
22
dxy
构造拉格朗日函数
22（331）
Fxyxxyy
由
2
F2x（3xy）0
x
2
F2y（3yx）0
y
33
Fxxyy
10
得
x
y
1
1
9
点（1,1）到原点的距离为
22
d112，然后考虑边界点，即（1,0），（0,1），它们到原点的
距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为2，最短距离为1.
20、（本题满分11分）
设函数
f（x）lnx
1
x
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设数列
x满足
n
1
lnxn1，证明limxn存在，并求此极限.
xn
n1
【考点】函数的极值；单调有界准则
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由题意，
f（x）lnx
1
x
，x0
f（x）
11x1
22
xxx
令f（x）0，得唯一驻点x1
当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0.
所以x1是f（x）的极小值点，即最小值点，最小值为f
（1）1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
lnxn1
x
n
，又由已知
1
lnxn1
，可知
x
n1
11
xx
nn
1
，即xn1xn
故数列
x单调递增.
n
又由
1
lnxn1
，故lnxn10xne，所以数列xn有上界.
x
n1
所以lim
n
x存在，设为A.
n
在
1
lnxn1
两边取极限得
x
n1
1
lnA1
A
在
1
lnxn1
两边取极限得
x
n
1
lnA1
A
10
所以
1
lnA1A1即limxn1.
A
n
21、（本题满分11分）
设曲线L的方程为121ln
（1）
yxxxe满足
42
（Ⅰ）求L的弧长；
（Ⅱ）设D是由曲线L，直线x1，xe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.
【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得
111111eeee
2222
S1（y）dx1（x）dx1（x）dx（x）dx
1111
22x22x22x
e
2
e11111e
2
（x）dx（xlnx）
122x424
1
（Ⅱ）由形心的计算公式，得
x
D
D
1111
e
xdxdy1dxxlnxxdyxx2xdx
2
（ln）
42
1
42
00
1111
2e
dxdy1dxxlnxdyx2xdx
（ln）
42
42
1
00
11111
422
e（ee）
1616422
42
3（e2e3）
1114（37）
e
3
e
12122
.
22、（本题满分11分）
设
1a
A，
10
B
01
1b
，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵
C.
【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件
【难易度】★★★
【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设
C
xx
12
xx
34
.由ACCAB可得
11
xax
23
0
1axxxx0101
1212
10xxxx1b1b
3434
整理后可得方程组
axaax
124
xxx
134
1
1
①
xaxb
23
由于矩阵C存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：
01a001011110111
a10a101a0001a00
10111
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