考研数学一试题及答案解析doc.docx

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2017考研数学一答案及解析

一、选择题：

1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1

cos

x

（1）若函数f（x）

ax

x0在x

0连续，则（

）。

b,x0

A.

1

ab

2

B.

1

ab

2

C.ab0

D.ab2

【答案】A

【解析】

由连续的定义可得

lim

x0-

f（x）

lim

x0+

f（x）

f（0）

，而

1

cosx

1（x）2

1

1

lim+f（x）

lim+

lim+

2

，lim

-f（x）

b，因此可得b

，故选

x0

x

0

ax

x0

ax

2a

x0

2a

择A。

（2）设函数f（x）可导，且f（x）f'（x）0

，则（

）。

A.

f

（1）

f（

1）

B.

f

（1）

f（

1）

C.|

f

（1）|

|f（

1）

D.|f

（1）||f（

1）

【答案】C

【解析】令F（x）

f2（x），则有F'（x）

2f（x）f'（x），故F（x）单调递增，则F

（1）

F

（1），

即[f

（1）]2

[f（

1）]2，即|f

（1）||f（

1），故选择C。

（3）函数f（x,y,z）x2yz2在点（1,2,0）

r

处沿向量n（1,2,0）的方向导数为（

）。

A.12

B.6

C.4

D.2

【答案】D

【解析】gradf

{2xy,x2,2z}，因此代入（1,2,0）

可得gradf|（1,2,0）

{4,1,0}

，则有

f

grad

u

{4,1,0}{1,2,2}2。

u

|u|

333

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方

10（单位：

m）处，图中，实线表示甲的速

度曲线v

v1（t）（单位：

m/s），虚线表示乙的速度曲线

vv2（t），三块阴影部分面积的数

值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为

t0（单位：

s），则（

）。

A.t0

10

B.15

t020

C.t0

25

D.t0

25

【答案】C

【解析】从0到t0

t0

t0

时刻，甲乙的位移分别为

v1（t）dt与

v2（t）dt，由定积分的几何意义

0

0

25

v1（t）dt201010，因此可知t0

可知，

（v2（t）

25。

0

（5）设为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（）。

A.

E

T

不可逆

B.

E

T不可逆

C.E

2

T不可逆

D.E

2

T不可逆

【答案】A

【解析】因为

T的特征值为

0（n-1

重）和1，所以E

T的特征值为

1（n-1重）和0，

故E

T不可逆。

2

0

0

2

1

0

1

0

0

（6）已知矩阵A

0

2

1

B

0

2

0

C

0

2

0

，则（

）。

0

0

1

0

0

1

0

0

2

A.A与C相似，B与C相似

B.A与

C相似，B与

C不相似

C.A与

C不相似，

B与

C相似

D.A与C不相似，

B与

C不相似

【答案】

B

【解析】

A和

B的特征值为

2,2,1，但是

A有三个线性无关的特征向量，而

B只有两个，所

依A可对角化，

B不可，因此选择

B。

（7）设A，B为随机事件，若0

P（A）1,0P（B）1，且P（A|B）

P（A|B）的充分必

要条件是（

）。

A.

P（B|A）

P（B|A）

B.

P（B|A）

P（B|A）

C.

P（B|A）

P（B|A）

D.

P（B|A）

P（B|A）

【答案】A

【解析】

由P（A|B）

P（A|B）得P（AB）

P（AB）

P（A）

P（AB），即P（AB）

P（A）P（B），因

P（B）

P（B）

1

P（B）

此选择A。

（8）设X1,X2,LXn（n

2）来自总体N（

1）

1

n

的简单随机样本，记X

Xi，则下列

ni1

结论中不正确的是（）。

n

）2服从

2分布

A.

（Xi

i

1

n

X1）2服从

2分布

B.2（Xn

i1

n

2分布

C.

（Xi

X）服从

i

1

D.n（X）2服从2分布

【答案】B

~N（0,1）

n

）2~

2（n），Xn

【解析】Xi

，故

（Xi

X1~N（0,2），因此

i

1

Xn

X1

Xn

X1

2

2

1

n

~N（0,1）

）

~

（1），故B错误，由S

2

2

可得，

2

，故（

2

n

1i

（XiX）

1

1）S2

n

X）2

2（n

~N（0,1），则有

n（X

）~N（0,1），因

（n

（Xi

~

1），X

i

1

n

此n（X）2

~

2

（1）。

二、填空题：

9~14小题，每小题

4分，共

24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）已知函数f（x）

1

，则f（3）（0）=_________。

1

x2

【答案】0

【解析】f（x）

1

1

1

x2

x4

x6

L

（

x2）n

（1）nx2n

，因此

x2

n0

n

0

f'''（x）

（1）n2n（2n1）（2n2）x2n3，代入可得f（3）（0）0。

n0

（10）微分方程y''2y'3y0的通解为y=_________。

【答案】ex（c1cos

2x

c2sin

2x）

【解析】由y''

2y'

3y

0

，所以

2

2

30，因此

2i1，因此通解为：

x

（c1cos

2x

c2sin

2x）。

e

（11）若曲线积分

xdy

aydy在区域D

{（x,y）|x2

y2

1}内与路径无关，则

a

L

x2

y2

1

=_________。

【答案】－1

【解析】设P（x,y）

x

Q（x,y）

ay

，因此可得：

x2

y2

1

y2

1

x2

P

2xy

2,

Q

2axy

2，根据

P

Q

，因此可得a

1。

y

（x

2

y

2

x

（x

2

y

2

y

x

1）

1）

（12）幂级数

n1（

1）n

1nxn1在区间（

1,1）内的和函数S（x）=_________。

【答案】

1

（1

x）2

【解析】

n1（

1）n

1nxn1

[

n1（

1）n1xn]'

（

x

）'

（1

12。

1

x

x）

1

0

1

（13）设矩阵A

1

1

2

，

1,

2,

3为线性无关的

3维向量，则向量组A1,A2,A

3

0

1

1

的秩为_________。

【答案】2

【解析】因为（A1,A2,A3）

A（

1,

2,3），而

1

0

1

1

0

1

1

0

1

A

1

1

2

0

1

1

0

1

1，因此r（A）

2，所以向量组A1,A2,A

3

0

1

1

0

1

1

0

0

0

的秩2。

（14）设随机变量

X的分布函数为F（x）

0.5

（x）

0.5

（x

4），其中

（x）为标准正态

2

分布函数，则EX=_________。

【答案】2

【解析】

1

x2

1

（x4）2

f（x）F'（x）

e

0.5

2

0.5

2

e

2

2

2

x2

（x4）2

0.51e2

0.5

1

2

e222

2

2

因此可得EX

2。

1

2

三、解答题：

15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。

解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）

设函数f（u,v）具有2阶连续偏导数，

y

f（ex,cosx），求dy|x

0,d2

2y|x0。

dx

dx

【答案】

dy

'

d2

y

''

'

'

dx

|x0

f1（1,1），dx

2

|x0

f11（1,1）

f1（1,1）

f2（1,1）

【解析】因为y

f（ex,cosx），所以dy

f1'ex

f2'sinx，因此dy|x0f1

'（1,1）

dx

dx

d2y

''

x

''

x

'

x

''

x

''

'

dx2

（f11e

f12sinx）e

f1e

（f21e

f22sinx）sinxf2cosx

因此得：

d2y|x

0

f11''（1,1）

f1'（1,1）

f2'（1,1）

dx2

（16）（本题满分10分）

求lim

n

k2ln（1

k）

n

k1

n

n

1

【答案】

【解析】由定积分的定义可知，

n

k2ln（1

1

lim

k）xln（1x）dx，然后计算定积分，

n

n

n

0

k1

1

1

1

2

1）

x21

1

1

2

1）

1

dx

xln（1x）dx

2

ln（1x）d（x

2

ln（1

x）|0

（x

1

0

0

0

x

1

1

1

2

（x1）dx

4

0

（17）（本题满分

10分）

已知函数y（x）由方程x3

y3

3x

3y

20确定，求y（x）的极值。

【答案】极大值为

y

（1）

1，极小值为y（

1）

0。

【解析】对x3

y3

3x

3y

2

0关于x求导得：

3x2

3y2y'

3

3y'

0，

令y'

0得3x2

3，因此x

1，当x

1时，y

1，当x

1时，y

0。

对3x2

3y2y'

3

3y'

0关于x再次求导得：

6x

6y（y'）2

3y2y''

3y''

0，将y'0

代入可得6x（3y2

3）y''0

当x

1时，y

1时，代入可得

y''

1，当x

1

时，y

0

时，代入可得

y''2，因此

有函数的极大值为

y

（1）

1，极小值为y（

1）

0。

（18）（本题满分10分）

设函数f（x）在区间

[0,1]上具有

2阶导数，且

f

（1）0，lim

f（x）

0，证明：

x

x0

（Ⅰ）方程

f（x）

0在区间（0,1）

内至少存在一个实根；

（Ⅱ）方程

f（x）f

'（x）

（f'（x））2

0在区间

（0,1）

内至少存在两个不同实根。

【答案】

（Ⅰ）证：

因为

limf（x）

0，由极限的局部保号性知，存在

c

（0,

），使得f（c）

0，

x

0

x

而f

（1）0，由零点存在定理可知，存在

（c,1），使得f（

）

0。

（Ⅱ）构造函数

F（x）

f（x）f

'（x），因此F（0）

f（0）f'（0）

0,F（

）f（

）f

'（）

0，

因为limf（x）

0

，所以

f'（0）

0，由拉格朗日中值定理知，存在

（0,1），使得

x0

x

f

（1）

f（0）

f'（

）

0，所以f'（0）f'（）

0，因此根据零点定理可知存在

1

（0,

），

1

0

使得

f'

（1）

0

，所以F（

1）

f

（1）f'

（1）

0，所以原方程至少有两个不同实根。

【解析】略

（19）（本题满分

10分）

设薄片型物体S

时圆锥面z

x2

y2被柱面z2

2x割下的有限部分，其上任一点的弧度

为u（x,y,z）9

x2

y2

z2，记圆锥与柱面的交线为

C，

（Ⅰ）求C在xOy平面上的投影曲线的方程；

（Ⅱ）求S的质量M。

（x

1）2

y2

1

【答案】（Ⅰ）

0

；（Ⅱ）64。

z

【解析】（Ⅰ）C的方程为

z

x2

y2

，投影到xOy平面上为

（x

1）2

y2

1

z2

2x

z

0

（Ⅱ）M

u（x,y,z）dS

9x2

y2

z2dS，dS

1（

z）2

（

z）2

2dxdy

x

y

因此有M

92

x2

y2

2dxdy

182

d

2cos

r2dr

144

2cos3

d

64。

2

0

3

2

（20）（本题满分

11分）

三阶行列式A（

1,

2,

3）有3个不同的特征值，且

3

1

22，

（Ⅰ）证明r（A）

2

；

（Ⅱ）如果

1

2

3，