北师大版八年级数学下册 同步练习直角三角形.docx

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北师大版八年级数学下册同步练习直角三角形

《直角三角形》同步练习

1．下列说法中不正确的是（　　）

A．平行四边形是中心对称图形

B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等

C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等

D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等

2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（　　）

A．140°B．160°C．170°D．150°

3．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（　　）

A．44°B．34°C．54°D．64°

4．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（　　）

A．30°B．60°C．90°D．120°

5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　）

A．∠BAC=∠BADB．AC=AD或BC=BDC．AC=AD且BC=BDD．以上都不正确

6．下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　）

A．一条边对应相等B．两条直角边对应相等

C．一个锐角对应相等D．两个锐角对应相等

7．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）

A．HLB．AASC．SSSD．ASA

8．如图所示，AB⊥BD，AC⊥CD，∠D=35°，则∠A的度数为（　　）

A．65°B．35°C．55°D．45°

9．在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（　　）

A．15°B．30°C．60°D．90°

10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　）

A．100度B．120度C．135度D．140度

11．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：

①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（　　）

A．SSSB．AASC．SASD．HL

13．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（　　）

A．90°B．100°C．110°D．120°

14．已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有（　　）

A．4对B．3对C．2对D．1对

15．下列说法错误的是（　　）

A．直角三角板的两个锐角互余

B．经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行

C．如果两个角互补，那么，这两个角一定都是直角

D．平行于同一条直线的两条直线平行

16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件：

　　　　　　（答案不唯一），使△ADB≌△CEB。

17．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　　　　　　。

18．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：

①AC∥DE；②∠A=∠3；③∠B=∠1；④∠B与∠2互余；⑤∠A=∠2．其中正确的有　　　　　　（填写所有正确的序号）。

19．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的大小为　　　　　　度。

20．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=　　　　　　。

21．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF。

求证：

Rt△ABF≌Rt△DCE。

22．已知：

AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：

△ABC≌△ADC吗？

说明理由。

23．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2。

求证：

△ADE≌△BEC。

24．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B。

求证：

CD⊥AB。

25．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE=OF。

（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB=AC；

（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB=OC，试说明AB与AC的关系；

（3）当点O在△ABC外部时，且OB=OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无须说明理由）

答案与解析

1．答案：

D

解析：

解答：

A．平行四边形是中心对称图形，说法正确；

B．斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等，说法正确；

C．两个锐角分别相等的两直角三角形全等，说法错误；

D．一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等，说法正确；

故选：

C。

分析：

根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据AAS定理可得B正确；根据全等三角形的判定定理可得要证明两个三角形全等，必须有边对应相等可得C正确；根据HL定理可得D正确。

2．答案：

B

解析：

解答：

∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，

∴∠COA=90°﹣20°=70°，

∴∠BOC=90°+70°=160°。

故选：

B。

分析：

利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案。

3．答案：

A

解析：

解答：

∵∠C=90°，∠B=46°，

∴∠A=90°﹣46°=44°。

故选A。

分析：

根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解。

4．答案：

C

解析：

解答：

由题意得，剩下的三角形是直角三角形，

所以，∠1+∠2=90°。

故选：

C。

分析：

根据直角三角形两锐角互余解答。

5．答案：

B

解析：

解答：

从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边。

依据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，

还需补充一对直角边相等，

即AC=AD或BC=BD，

故选：

B。

分析：

根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可。

6．答案：

B

解析：

解答：

两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；

而D构成了AAA，不能判定全等；

B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等。

故选：

B。

分析：

判定两个直角三角形全等的方法有：

SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答。

7．答案：

A

解析：

解答：

∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，

又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO。

故选A。

分析：

利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案。

8．答案：

B

解析：

解答：

∵AB⊥BD，AC⊥CD，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，

又∵∠AEB=∠CED，

∴∠A=∠D=35°。

故选B。

分析：

先由AB⊥BD，AC⊥CD可得∠B=∠C=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°，由对顶角相等有∠AEB=∠CED，然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°。

9．答案：

B

解析：

解答：

设较小的锐角是x°，则另一个锐角是2x°，

由题意得，x+2x=90，

解得x=30，

即此三角形中最小的角是30°。

故选：

B。

分析：

设较小的锐角是x，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可。

10．答案：

C

解析：

解答：

如图，∵∠C=90°，

∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°，

∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，

∴∠OAB+∠OBA=

×90°=45°，

∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°。

故选：

C。

分析：

作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=45°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解。

11．答案：

B

解析：

解答：

①∵BE⊥AC，AD⊥BC

∴∠AEH=∠ADB=90°

∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE

∴∠HBD=∠EAH

∵DH=DC

∴△BDH≌△ADC（AAS）

∴BD=AD，BH=AC

②：

∵BC=AC

∴∠BAC=∠ABC

∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD

∴∠ABC=45°

∴∠BAC=45°

∴∠ACB=90°

∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°

∴结论②为错误结论。

③：

由①证明知，△BDH≌△ADC

∴BH=AC

解④：

∵CE=CD

∵∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°

∴△BEC≌△ADC

由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC

∴结论④为错误结论

综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B。

故选：

B。

分析：

可以采用排除法对各个选项进行验证，从而得出最后的答案。

12．答案：

C

解析：

解答：

两边及夹角对应相等的两个三角形全等，这为“边角边”定理，简写成“SAS”。

故选：

C。

分析：

根据三角形全等的判定定理，两条直角边对应相等，还有一个直角，则利用了SAS。

13．答案：

C

解析：

解答：

如图，∵在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，

∴∠A=70°。

∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°。

故选：

C。

分析：

由三角形内角和定理求得∠A=70°；由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°；然后根据四边形内角和是360度进行求解。

14．答案：

C

解析：

解答：

相等的锐角有：

∠B=∠CAD，∠C=∠BAD共2对。

故选：

C。

分析：

根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可。

15．答案：

C

解析：

解答：

A．直角三角形中的两个锐角互余，所以直角三角板的两个锐角互余，故本选项说法正确；

B．根据平行公理可知：

过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条，故本选项说法正确；

C．如果两个角互补，那么，这两个角和一定是180°，但是它们不一定都是直角，故本选项说法错误；

D．根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行．故本选项说法正确；

故选：

C。

分析：

①根据直角三角形的性质判断；

②过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条；

③根据补角的定义进行判断；

④根据平行线的性质进行判断。

16．答案：

AB=BC

解析：

解答：

AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，∠B=∠B

∴△ADB≌△CEB（AAS）。

答案：

AB=BC。

分析：

要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB。

17．答案：

AC=DE

解析：

解答：

AC=DE，

理由是：

∵AB⊥DC，

∴∠ABC=∠DBE=90°，

在Rt△ABC和Rt△DBE中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）。

故答案为：

AC=DE。

分析：

先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可。

18．答案：

①②③

解析：

解答：

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴△ACD与△ACB都为直角三角形，

∴∠A+∠1=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠1=∠B，选项③正确；

∵∠1=∠2，

∴AC∥DE，选项①正确；

∴∠A=∠3，选项②正确；

∵∠1=∠B，∠1=∠2，

∴∠2=∠B，即∠2与∠B不互余，选项④错误；

∠2不一定等于∠A，选项⑤错误；

则正确的选项有①②③，

故答案为：

①②③。

分析：

由同角的余角相等得到∠1=∠B，由已知内错角相等得到AC与DE平行，由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3，再利用等量代换得到∠2与∠B相等，∠2不一定等于∠A。

19．答案：

60

解析：

解答：

∵三角形是直角三角形，一个锐角等于30°，

∴另一个锐角为90°﹣30°=60°，

故答案为：

60。

分析：

根据直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角的度数即可。

20．答案：

45°或135°

解析：

解答：

有2种情况，如图

（1），

（2），

∵∠BHD=∠AHE，又∠AEH=∠ADC=90°，

∴∠DAC+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，

∴∠AHE=∠C，

∴∠C=∠BHD，

∵BH=AC，∠HBD=∠DAC，∠C=∠BHD，

∴△HBD≌△CAD，

∴AD=BD。

如图

（1）时∠ABC=45°；

如图

（2）时∠ABC=135°。

∵AD=BD，AD⊥BD，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠ABC=180°﹣45°=135°，

故答案为：

45°或135°。

分析：

根据高的可能位置，有2种情况，如图

（1），

（2），通过证明△HBD≌△CAD得AD=BD后求解。

21．答案：

证明：

∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABF与△DCE都为直角三角形，

在Rt△ABF和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）。

解析：

分析：

由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明。

22．答案：

解：

△ABC≌△ADC．理由如下：

∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°。

在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（AAS）。

解析：

分析：

根据全等三角形的判定定理AAS进行证明。

23．答案：

证明：

∵∠1=∠2，

∴DE=CE。

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴∠B=90°。

∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD=BE。

∴△ADE≌△BEC。

解析：

分析：

此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论。

24．答案：

证明：

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠ACD=∠B，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠ADC=90°，

∴CD⊥AB。

解析：

分析：

25．

（1）答案：

证明：

∵OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；

∴∠B=∠C，

∴AB=AC。

（2）答案：

AB=AC。

证明：

同

（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；

∴∠OBE=∠OCF；

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB；

∴∠ABC=∠ACB；

∴AB=AC。

（3）答案：

解：

当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB=AC成立，如图①；

当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立，如图②．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）

解析：

分析：

（1）证△BOE≌△COF，可得∠B=∠C，通过等角对等边，得出AB=AC；

（2）与

（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE=∠OCF，OB=OC；则∠OBC=∠OCB，可证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AB=AC；

（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB=AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）。