6.解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向问题”.例如:
原问题是“若矩形的边长为3和4,则其周长为14”,它的一个“逆向问题”是:
“若矩形的周长为14,一边长为3,求另一边长”,也可以是“若矩形的周长为14,求其面积的最大值”等等.
已知函数f(x)=
(1)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(2)请对
(1)提出两个“逆向问题”,并作解答.
第18讲 生活中的优化问题举例
A 应知应会
一、解答题
1.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件.
(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);
(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大?
并求出L的最大值.
2.如图所示是一个帐篷,它下部分的形状是一个正六棱柱,上部分的形状是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.设PO1=x.
(1)当x=2m,PA1=4m时,求搭建的帐篷的表面积;
(2)在PA1的长为定值lm的条件下,已知当且仅当x=2
m时,帐篷的容积V最大,求l的值.
(第2题)
B 巩固提升
一、解答题
1.(2019·徐州期中)如图所示是一个半径为2km,圆心角为
的扇形游览区的平面示意图,点C是半径OB上一点,点D是圆弧
上一点,且CD∥OA.现在线段OC、线段CD及圆弧
三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是:
线段OC处每千米为2a元,线段CD及圆弧
处每千米均为a元.设∠AOD=x弧度,广告位出租的总收入为y元.
(1)求y关于x的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)试问x为何值时,广告位出租的总收入最大?
并求出其最大值.
(第1题)
2.(2019·盐城期中)某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据以往的经验知道,该厂生产这种仪器次品率P与日产量x(件)之间近似满足关系:
P=
(注:
次品率P=
,如P=0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品).已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元,但每生产一件次品将亏损
元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器每天的盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数;
(2)当日产量x为多少时,可获得最大利润?
微难点4 构造函数研究不等关系
一、选择题
1.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,-3] B.
C.[-6,-2] D.[-4,-3]
2.(2019·上饶一模)已知函数f(x)=lnx+a的导数为f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(0,1)C.(1,
) D.(1,
)
3.已知函数f(x)=
,g(x)=log2x+m,若对x1∈[1,2],x2∈[1,4],使得f(x1)≥g(x2),则m的取值范围是( )
A.
B.(-∞,2]C.
D.(-∞,0]
二、填空题
4.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意的x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,当x∈(0,
+∞)时,f′(x)<x.若f(4-m)-f(m)≥8-4m,则实数m的取值范围为________.
5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f′(x),若f′(x)<f(x),且f(x+1)=
f(3-x),f(2019)=2,则不等式f(x)<2ex-1的解集为________.
6.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为________.
三、解答题
7.已知函数f(x)=(x2-3x+3)ex,若不等式
+7x-2>k(xlnx-1)(k为正整数)对任意正实数x恒成立,求k的最大值.(参考数据:
ln7≈1.95,ln8≈2.08)
8.已知函数f(x)=lnx-ax3,g(x)=
.
(1)若直线y=x与y=g(x)的图象相切,求实数a的值;
(2)若存在x0∈[1,e],使得f(x0)>(1-3a)x0+1成立,求实数a的取值范围.
微难点5 利用导数研究函数的零点
一、解答题
1.已知函数f(x)=2ex+ax.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)在(0,+∞)上的零点个数.
2.(2019·抚州调研)已知函数f(x)=
x3-
x2-ax-2的图象过点A
.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-2m+3有3个零点,求m的取值范围.
3.已知函数f(x)=lnx,g(x)=
.
(1)求函数F(x)=f(x)-x+2在x∈[4,+∞)上的最大值;
(2)若函数H(x)=2f(x)-ln[g(x)]在区间
上有零点,求实数a的取值范围.
4.已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在
上无零点,求a的最小值.