5．（文）（2014·邯郸一模）下列命题错误的是（ ）
A．对于命题p：
“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：
“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
C．若p∧q是假命题，则p、q均为假命题
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
[答案] C
[解析] p∧q是假命题时，p与q至少有一个为假命题，∴C错．
[点评] 此类题目解答时，只要能选出符合题意的答案即可，因此若能快速找出答案可不必逐个判断．
[方法点拨] 1.判定命题真假的方法：
（1）一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．
（2）四种命题真假的判断依据：
一个命题和它的逆否命题同真假．
（3）形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．
（4）判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题（存在性命题）真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．
2．注意含逻辑联结词的命题的否定．
3．设函数y＝f（x）（x∈A）的最大值为M，最小值为m，若∀x∈A，a≤f（x）恒成立，则a≤m；若∀x∈A，a≥f（x）恒成立，则a≥M；若∃x0∈A，使a≤f（x0）成立，则a≤M；若∃x0∈A，使a≥f（x0）成立，则a≥m.
（理）（2015·安徽理，5）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[答案] D
[解析] 考查直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用．
选项A中，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；选项B中，m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；选项C中，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α∩β＝l时，在α平面中平行于交线l的直线；选项D中，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确．所以选D.
6．（文）已知a、b、c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
A．4B．2
C．1D．0
[答案] B
[分析] 解答本题要特别注意c2≥0，因此当c2＝0时，ac2>bc2是不成立的．
[解析] a>b时，ac2>bc2不一定成立；ac2>bc2时，一定有a>b，即原命题为假，逆命题为真，故逆否命题为假，否命题为真，故选B.
[点评] 原命题与其逆否命题同真同假，原命题与其逆（或否）命题无真假关系，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．
[方法点拨] 1.要严格区分命题的否定与否命题．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论．
常见命题的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有
一个
至多有
一个
∀x∈A使
p（x）真
∃x0∈m，
p（x0）成立
否定
形式
不是
不都是
≤
一个也
没有
至少有
两个
∃x0∈A
使p（x0）假
∀x∈M，p（x）不成立
原语句
p或q
p且q
否定形式
¬p且¬q
¬p或¬q
2.要注意掌握不同类型命题的否定形式，
（1）简单命题“若A则B”的否定．
（2）含逻辑联结词的复合命题的否定．
（3）含量词的命题的否定．
3．解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论．
（理）有下列四个命题：
（1）若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；
（3）“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
（4）“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为（ ）
A．
（1）
（2）B．
（2）（3）
C．（4）D．
（1）
（2）（3）
[答案] D
[解析]
（1）的逆命题：
“若x、y互为倒数，则xy＝1”是真命题；
（2）的否命题：
“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；（3）的逆否命题：
“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题（4）是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A⊆B是错误的，故选D.
7．（文）（2014·新课标Ⅱ文，3）函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：
f′（x0）＝0；q：
x＝x0是f（x）的极值点，则（ ）
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
[答案] C
[解析] ∵x＝x0是f（x）的极值点，∴f′（x）＝0，即q⇒p，而由f′（x0）＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/q，故选C.
（理）已知：
p：
|x－3|≤2，q：
（x－m＋1）·（x－m－1）≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．[2,4]
B．（－∞，4）∪（2，＋∞）
C．[1,5]
D．（－∞，0）∪（6，＋∞）
[答案] A
[解析] 由|x－3|≤2得，1≤x≤5；
由（x－m＋1）·（x－m－1）≤0得，m－1≤x≤m＋1.
∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∴
∴2≤m≤4.
[方法点拨] 1.要善于举出反例：
如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
2．要注意转化：
如果p是q的充分不必要条件，那么¬p是¬q的必要不充分条件．同理，如果p是q的必要不充分条件，那么¬p是¬q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么¬p是¬q的充要条件．
3．命题p与q的真假都与m的取值范围有关，使命题p成立的m的取值范围是A，使命题q成立的m的取值范围是B，则“p⇒q”⇔“A⊆B”．
8．（2015·安徽理，3）设p：
1＜x＜2，q：
2x＞1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 考查指数运算与充要条件的概念．
由q：
2x>20，解得x>0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A.
9．（文）（2015·青岛市质检）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
[答案] C
[解析] 当m∥α，n⊥β，m⊥n时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A，B错误；如图所示，由m∥n，得m，n确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l，因为m∥α，所以m∥l，l∥n，又n⊥β，所以l⊥β，又l⊂α，所以α⊥β，故选项C正确，D错误，故选C.
（理）（2015·潍坊市模拟）已知命题p：
∀x>0，x＋
≥4；命题q：
∃x0∈（0，＋∞），2x0＝
.则下列判断正确的是（ ）
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p∧（¬q）是真命题
D．（¬p）∧q是真命题
[答案] C
[解析] 因为当x>0时，x＋
≥2
＝4，当且仅当x＝2时等号成立，所以p是真命题，当x>0时，2x>1，所以q是假命题，所以p∧（¬q）是真命题，（¬p）∧q是假命题．
10．（文）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{（x，y）|logxy∈N}的元素个数是（ ）
A．3B．4
C．8D．9
[答案] B
[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{（1,2），（1,4），（1,6），（1,8），（2,2），（2,4），（2,6），（2,8），（3,2），（3,4），（3,6），（3,8），（4,2），（4,4），（4,6），（4,8）}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.
（理）设S是实数集R的非空子集，如果∀a、b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是（ ）
A．存在有限集S，S是一个“和谐集”
B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”
C．若S1≠S2，且S1、S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅
D．对任意两个“和谐集”S1、S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R
[答案] D
[分析] 利用“和谐集”的定义一一判断即可．
[解析] 对于A，如S＝{0}，显然该集合满足：
0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正确；对于B，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝（k1＋k2）a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝（k1－k2）·a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1、S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C正确；对于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝
k，k∈Z}≠R，易知集合S1、S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D不正确．
[方法点拨] 求解集合中的新定义问题，主要抓两点：
一是紧扣新定义将所叙述问题等价转化为已知数学问题，二是用好集合的概念、关系与性质．
11．（文）（2015·陕西理，6）“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 充分性：
sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝（cosα＋sinα）（cosα－sinα）＝0，所以充分性成立；必要性：
cos2α＝0⇒（cosα＋sinα）（cosα－sinα）＝0⇒sinα＝±cosα，必要性不成立；所以是充分不必要条件．故本题正确答案为A.
（理）（2015·四川理，8）设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若3a>3b>3，则a>b>1，从而有loga3b>1，比如a＝
，b＝3，从而3a>3b>3不成立．故选B.
12．（文）设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.
（理）已知条件p：
|x＋1|>2，条件q：
x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1
C．a≥－1D．a≤－3
[答案] A
[解析] 条件p：
x>1或x<－3，所以¬p：
－3≤x≤1；
条件q：
x>a，所以¬q：
x≤a，
由于¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1，故选A.
13．（文）（2014·重庆理，6）已知命题
p：
对任意x∈R，总有2x>0；
q：
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，
则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧qB．（¬p）∧（¬q）
C．（¬p）∧qD．p∧（¬q）
[答案] D
[解析] 命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．
（理）已知命题p：
“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1”；命题q：
在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充分条件，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p且qB．p或¬q
C．¬p且¬qD．p或q
[答案] D
[解析] p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．
14．（2014·陕西理，8）原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
[答案] B
[解析] 若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.
∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．
其逆命题为：
若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，
若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．
∴逆命题为假，否命题也为假．
15．（文）设a、b、c是非零向量，已知命题p：
若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨qB．p∧q
C．（¬p）∧（¬q）D．p∨（¬q）
[答案] A
[解析] 取a＝c＝（1,0），b＝（0,1）知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；
∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，
∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．
∴p∨q为真命题．
（理）已知命题p：
“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0,1）B．（0,2）
C．（2,3）D．（2,4）
[答案] A
[解析] 由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝4a2－4a<0，∴016．（文）在R上定义运算⊗：
x⊗y＝
，若关于x的不等式（x－a）⊗（x＋1－a）>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1
C．－2≤a≤1D．1≤a≤2
[答案] C
[解析] 因为（x－a）⊗（x＋1－a）>0，所以
>0，即a（理）下列命题正确的个数是（ ）
①“在三角形ABC中，若sinA>sinB，则A>B”的逆命题是真命题；②命题p：
x≠2或y≠3，命题q：
x＋y≠5则p是q的必要不充分条件；③“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x3－x2＋1>0”；④若随机变量x～B（n，p），则D（X）＝np.⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．
A．1B．2
C．3D．4
[答案] C
[解析] 在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB（其中R为△ABC外接圆半径）．∴①为真命题；∵x＝2且y＝3时，x＋y＝5成立，x＋y＝5时，x＝2且y＝3不成立，∴“x＋y＝5”是“x＝2且y＝3”的必要不充分条件，从而“x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；
∵全称命题的否定是特称命题，
∴③为假命题；
由二项分布的方差知④为假命题．
⑤显然为真命题，故选C.
二、填空题
17．（文）设p：
关于x的不等式ax>1的解集为{x|x<0}，q：
函数y＝lg（ax2－x＋a）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则a的取值范围是________．
[答案] （0，
]∪[1，＋∞）
[解析] p真时，00对x∈R恒成立，则
即a>
.若p∨q为真，p∧q为假，则p、q应一真一假：
①当p真q假时，
⇒0；②当p假q真时，
⇒a≥1.
综上，a∈（0，
]∪[1，＋∞）．
（理）（2015·青岛市质检）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．
已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．
[答案] ②④
[分析] 按集合τ的定义逐条验证．
[解析] ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的一个拓扑；④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.
18．（文）（2015·郑州第二次质量检测）下列说法：
①“∃x∈R,2x>3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”；
②函数y＝sin（2x＋
）sin（
－2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x＝x0处有极值，则f′（x0）＝0”的否命题是真命题；
④f（x）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，x>0时的解析式是f（x）＝2x，则x<0时的解析式为f（x）＝－2－x.
其中正确的说法是________．
[答案] ①④
[解析] ①对，特称（存在性）命题的否定为全称命题；②错，因为化简已知函数得y＝sin（2x＋
）sin（
－2x）＝sin（2x＋
）·sin[
－（2x＋
）]＝sin（2x＋
）cos（2x＋
）＝
sin（4x＋
），故其周期应为
＝
；③错，因为原命题的逆命题“若f′（x0）＝0，则函数f（x）在x＝x0处有极值”为假命题，由逆命题、否命题同真假知否命题为假命题；④对，设x<0，则－x>0，故有f（－x）＝2－x＝－f（x），解得f（x）＝－2－x.综上可知只有命题①④正确．
[易错分析] 命题③真假的判断容易出错，导函数值为0的点不一定是极值点，这一点可以通过特例进行判断，如f（x）＝x3等函数．
（理）（2015·山东临沂二模）给出下列四个结论：
①“若am2②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件；
③函数y＝loga（x＋1）＋1（a>0且a≠0）的图象必过点（0,1）；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（－2≤ξ≤0）＝0.4，则P（ξ>2）＝0.2.
其中正确结论的序号是________（填上所有正确结论的序号）．
[答案] ②③
[解析] ①错，因为逆命题为“若a，y＝
时，x2＋y2＝
>4却不满足x≥2或y≥2，根据充分条件和必要条件的定义判断可知②正确（也可以转化为其等价的逆否命题来判断）；当x＝0时，y＝loga1＋1＝1，所以恒过定点（0,1）（也可由y＝logax的图象恒过定点（1,0），将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过（0,1）点），所以③正确；根据正态分布的对称性可知P（－2≤ξ≤0）＝P（0≤ξ≤2），P（ξ>2）＝P（ξ<－2），所以P（ξ>2）＝
＝
＝0.1，所以④错误，综上正确的结论有②③.
[易错分析] 填空题中此类开放题型出错率较高，必须正确判断每一个命题的真假.
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