第二章点直线平面之间的位置关系课后提升练习及解析.docx

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第二章点直线平面之间的位置关系课后提升练习及解析

第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升练习及解析

第二章　点、直线、平面之间的位置关系

2．1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2．1.1　平面

1．下列符号语言表述正确的是（　　）

A．A∈lB．A⊂αC．A⊂lD．l∈α

2．若一直线a在平面α内，则图示正确的是（　　）

3．（2013年安徽）在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面平行

B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

4．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间上述关系的集合表示是（　　）

A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂α

C．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α

5．如图K211，用符号语言可表达为（　　）

图K211

A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A

B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A

C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n

D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n

6．过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

7．E，F，G，H是三棱锥ABCD棱AB，AD，CD，CB上的点，延长EF，HG交于点P，则点P（　　）

A．一定在直线AC上B．一定在直线BD上

C．只在平面BCD内D．只在平面ABD内

8．下列推理错误的是（　　）

A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α

B．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB

C．若l∈α，A∈l，则A⊂α

D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合

9．如图K212，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的序号是________．

图K212

①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1四点共面；

③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面．

10．如图K213，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是AA′，AB上一点，且EF∥CD′，求证：

平面EFCD′，平面AC与平面AD′两两相交的交线ED′，FC，AD交于一点．

图K213

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

1．下面结论正确的是（　　）

A．空间四边形的四个内角和等于180°

B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内

C．空间四边形的两条对角线可以相交

D．空间四边形的两条对角线不相交

2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．平行或异面D．相交或异面

3．直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（　　）

A．异面B．平行

C．垂直D．相交

4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（　　）

A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD异面直线，则AD与BC是异面直线

C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC

D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

5．如图K214，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中与EF平行的有（　　）

图K214

A．一条B．两条

C．三条D．四条

6．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，而α∩β＝c，则直线c（　　）

A．一定与a，b中的两条相交

B．至少与a，b中的一条相交

C．至多与a，b中的一条相交

D．至少与a，b中的一条平行

7．AB，CD是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，A，C在平面α内，B，D在平面β内，若M，N分别为AB，CD的中点，则有（　　）

A．MN＝

B．MN>

C．MN<

D．MN≤

8．如图K215是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题正确的序号有________．

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角；

④DM与BN垂直．

图K215　　图K216

9．如图K216，过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．

10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．

（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；

（2）求直线AB1和EF所成的角的大小．

2.1.3　空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1．若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则直线m与直线n的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．以上皆有可能

2．长方体中ABCDA1B1C1D1，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（　　）

A．3条B．4条

C．5条D．6条

3．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是（　　）

A．b与α内一条直线不相交

B．b与α内两条直线不相交

C．b与α内无数条直线不相交

D．b与α内任意一条直线不相交

4．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（　　）

A．三个平面共线

B．有两个平面平行且都与第三个平面相交

C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交

D．三个平面两两相交

5．对于直线m，n和平面α，下列说法中正确的是（　　）

A．如果m⊂α，n

α，m，n异面，那么n∥α

B．如果m⊂α，n

α，m，n异面，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

6．已知直线a⊂平面α，直线b与a没有公共点，则（　　）

A．b⊂αB．b

α

C．b∥αD．以上都有可能

7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．重合D．平行或相交

8．下列四个命题：

①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内所有直线都没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确命题的序号是__________．

9．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．

10．图K218是一个正方体（如图K217）的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．

（1）求MN和PQ所成角的大小；

（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．

图K217　　图K218

2.2　直线、平面平行的判定及其性质

2．2.1　直线与平面、平面与平面平行的判定

1．若直线与平面没有交点，则这条直线与这个平面内的（　　）

A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．任意一条直线都不相交

D．三条直线不相交

2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

A．b∥αB．b与α相交

C．b∥α或b与α相交D．b⊂α

3．已知三条互相平行的直线a，b，c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α，β的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．不能确定

4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列四对截面彼此平行的一对截面是（　　）

A．面A1BC1和面ACD1

B．面BDC1和面B1D1C

C．面B1D1D和面BDA1

D．面A1DC1和面AD1C

5．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n

β，则n∥β

6．若a，b是异面直线，过b且与a平行的平面（　　）

A．不存在B．存在但只有一个

C．存在无数个D．只存在两个

7．如图K221，在长方体ABCDA1B1C1D1的面中：

（1）与直线AB平行的平面是：

________；

（2）与直线AA1平行的平面是：

________；

（3）与直线AD平行的平面是：

________.

图K221　　图K222

8．如图K222，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．图中EO与哪个平面平行___________．

9．（2013年山东节选）如图K223，四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

求证：

CE∥平面PAD.

图K223

10．如图K224，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，

求证：

平面EFG∥平面BB1D1D.

图K224

2．2.2　直线与平面平行的性质

1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（　　）

A．α内的所有直线都与直线a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线都与a相交

D．直线a与平面α有公共点

2．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（　　）

A．过点A有且只有一个平面平行于a，b

B．过点A至少有一个平面平行于a，b

C．过点A有无数个平面平行于a，b

D．过点A且平行a，b的平面可能不存在

3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD

平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（　　）

A．平行B．平行和异面

C．平行和相交D．异面和相交

4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（　　）

A．α，β都平行于直线l，m

B．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β

D．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．

6．如图K225已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：

EH∥BD.

图K225

7．如图K226，已知在四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，则与MN平行的平面是____________________．

图K226

8．求证：

如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

已知：

如图K227，α∩β＝l，a∥α，a∥β.

求证：

a∥l.

图K227

9．如图K228，四棱锥PABCD的底面为矩形，E是侧棱PD上一点，且PB∥平面EAC.

求证：

E是PD的中点．

图K228

2.2.3　平面与平面平行的性质

1．下列说法正确的是（　　）

A．如果两个平面有三个公共点，则它们重合

B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行

C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行

D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

2．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

3．已知α∥β，下面正确的是（　　）

A．若a⊂α，b⊂β，则a∥b

B．若a⊂α，b⊂β，则a，b异面

C．若a⊂α，b∥β，则a∥b

D．若a⊂α，b⊂β，则a∥β，b∥α

4．过平面α外一点P与平面α平行的平面的个数为（　　）

A．只有一个B．至多一个

C．至少一个D．无数个

5．以下能得到平面α∥平面β的是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

6．已知点A，B，C不共线，AB∥平面α，AC∥平面α，则BC与平面α的位置关系是（　　）

A．相交B．平行

C．直线BC在平面α内D．以上都有可能

7．如图K229，一个四面体SABC的六条棱长都为4，E为SA的中点，过点E作平面EFH∥平面SBC.且平面EFH∩平面ABC＝FH.则三角形HFE面积为__________．

图K229

8．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有______条．

9．如图K2210

（1），在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

图K2210

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当容器倾斜如图K2210

（2）时，EB·BF是定值．

其中正确说法的序号是__________．

10．如图K2211，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点．求证：

AC1∥平面CDB1.

图K2211

2.3　直线、平面垂直的判定及其性质

2．3.1　直线与平面垂直的判定

1．下面条件中，能判定直线l⊥平面α的一个是（　　）

A．l与平面α内的任意一条直线垂直

B．l与平面α内的无数条直线垂直

C．l与平面α内的某一条直线垂直

D．l与平面α内的两条直线垂直

2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条弦；④正六边形的两条边．

不能保证该直线与平面垂直的是（　　）

A．①③B．①②

C．②③④D．①②④

3．已知直线a，b和平面α，则下列结论错误的是（　　）

A.

⇒a⊥bB.

⇒b⊥α

C.

⇒a∥α或a⊂αD.

⇒a∥b

4．下列说法中正确的是（　　）

A．平面外的点和平面内的点之间的线段叫平面的斜线段

B．过平面外一点和平面内一点的直线是平面的斜线

C．过平面外一点的平面的垂线有且只有一条

D．过平面外一点的平面的斜线有且只有一条

5．若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角为（　　）

A．60°B．45°

C．30°D．120°

6．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

8．如图K231，平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：

①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为__________（写出所有正确结论的序号）．

图K231

9．已知：

如图K232，在空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中点E，连接AE，DE，求证：

BC⊥平面AED.

图K232

10．如图K233，已知点P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，点H为△ABC的垂心，求证：

PH⊥平面ABC.

图K233

2.3.2　平面与平面垂直的判定

1．在二面角αlβ的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，则必须具有条件（　　）

A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β

B．AO⊥l，BO⊥l

C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β

D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β

2．下列说法正确的是（　　）

A．二面角的大小范围是大于0°且小于90°

B．一个二面角的平面角可以不相等

C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上

D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直

3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是（　　）

A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β

B．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β

4．在三棱锥ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么（　　）

A．平面ABD⊥平面ADC

B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面BCD⊥平面ADC

D．平面ABC⊥平面BCD

5．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；

②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；

③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.

其中正确的命题有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，DC＝AD，点E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是__________．

7．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是__________．

8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列命题：

①若α∥β，则l⊥m；

②若l⊥m，则α∥β；

③若α⊥β，则l∥m；

④若l∥m，则α⊥β.

其中正确命题的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．如图K234，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，求证：

平面PAC⊥平面ABC.

图K234

10．如图K235，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：

AD⊥DC1；

（2）求证：

A1B∥平面ADC1.

图K235

2.3.3　直线与平面、平面与平面垂直的性质

1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则（　　）

A．a⊥β

B．a∥β

C．a与β相交

D．以上都有可能

2．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么（　　）

A．直线a垂直于第二个平面

B．直线b垂直于第二个平面

C．直线a不一定垂直于第二个平面

D．过a的平面必垂直于过b的平面

3．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是（　　）

①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；

②在β内垂直于α与β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线；

③α内的任何一条直线必垂直于β；

④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.

A．4个B．3个C．2个D．1个

4．在空间，下列命题正确的是（　　）

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

5．如图K236，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（　　）

图K236

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1角为60°

6．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，并且PA＝6，AB＝3，AD＝4，则点P到BD的距离是（　　）

A.

B．6

C．3

D．2

7．已知△ABC所在平面外面一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC平面．

求证：

AC⊥BA.

8．如图K237，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中：

图K237

①点H是△A1BD的垂心；

②AH垂直平面CB1D1；

③AH的延长线经过点C1；

④直线AH和BB1所成角为45°；

其中正确的命题的序号是____________．

9．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为________，A到平面BB1D1D的距离为________，AA1到平面BB1D1D的距离为________．

10．如图K238，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA；

（3）平面DEA⊥平面ECA.

图K238

第二章　点、直线、平面之间的位置关系

2．1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2．1.1　平面

1．A　2.A　3.A　4.B　5.A　6.D　7.B　8.C　9.④

10．证明：

∵E，F分别是AA′与AB上一点，∴EF≠CD′.

又∵EF∥CD′，∴四边形EFCD′是梯形，直线ED′和FC相交于一点，设此点为P，

∵P∈ED′⊂平面AA′D′D，P∈FC⊂平面ABCD，

∴P是平面AA′D′D与平面ABCD的公共点．

∵平面AA′D′D∩平面ABCD＝AD，∴P∈AD.

∴ED′，FC，AD交于一点P.

2．1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

1．D　2.C　3.C　4.C　5.B

6．B　解析：

若c与直线a，b都不相交，由公理4可知三条直线平行，与题设矛盾．故选B.

7．C　解析：

如图D52，连接AD，取AD中点G，连接MG，NG，显然M，N，G不共线，则MG＋NG>MN，即MN<

.

图D52

8．③④　9.4

10．解：

（1）如图D53，连接DC1，

图D53

∵DC1∥AB1，

∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．

∵∠CC1D＝45°，

∴AB1和CC1所成的角是45°.

（2）如图45，连接DA1，A1C1，

∵EF∥A1D，AB1∥DC1，

∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．

∵△A1DC1是等边三角形，

∴∠A1DC1＝60°，即直线AB1和EF所成的角是60°.

2．1.3　空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1.D

2