空间中直线与直线之间的位置关系附答案解析.docx

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空间中直线与直线之间的位置关系附答案解析

　空间中直线与直线之间的位置关系

[学习目标]　1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.

知识点一　空间中两条直线的位置关系

1.异面直线

（1）定义：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

要点分析：

①异面直线的定义表明：

异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.

②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.

（2）画法：

画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.

（3）判断方法

方法

内容

定义法

依据定义判断两直线不可能在同一平面内

定理法

过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线（此结论可作为定理使用）

反证法

假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线（即假设两条直线相交或平行），结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：

这两条直线是异面直线

2.空间中两条直线位置关系的分类

（1）按两条直线是否共面分类

（2）按两条直线是否有公共点分类

思考　

（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？

（2）两条垂直的直线必相交吗？

答　

（1）不一定.可能相交、平行或异面.

（2）不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直.

知识点二　公理4（平行公理）

文字语言

平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性

符号语言

⇒a∥b

图形语言

知识点三　空间等角定理

1.定理

文字语言

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

符号语言

OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°

图形语言

作用

判断或证明两个角相等或互补

2.推广

如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

思考　如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？

答　不一定.这两条直线可能相交、平行或异面

知识点四　异面直线所成的角

1.概念：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

2.异面直线所成的角θ的取值范围：

0°＜θ≤90°.

3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.

4.异面直线所成的角的两种求法

（1）在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角（或直角）为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.

（2）在其中一条直线上任取一点（如在b上任取一点）O，过点O作另一条直线的平行线（如过点O作a′∥a），则两条直线相交所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角（如b与a′所成的角），然后通过解三角形等方法求角（如图）.

题型一　空间两条直线的位置关系的判定

例1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　）

A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面

答案　D

解析　可借助长方体来判断.

如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.

跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________.

答案　

（1）平行　

（2）异面　

（2）相交　（4）异面

解析　

序号

结论

理由

（1）

平行

因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C

（2）

异面

A1B与B1C不同在任何一个平面内

（3）

相交

D1D∩D1C＝D1

（4）

异面

AB与B1C不同在任何一个平面内

题型二　公理4、等角定理的应用

例2　E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：

四边形B1EDF是平行四边形.

证明　设Q是DD1的中点，

连接EQ，QC1.

因为E是AA1的中点，

所以

.

又因为在矩形A1B1C1D1中，

，

所以

.

所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以

.

又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，

所以

.

所以四边形DQC1F为平行四边形.

所以

.

又因为

，所以

.

所以四边形B1EDF为平行四边形.

跟踪训练2　

如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.

（1）求证：

E，F，G，H四点共面；

（2）若四边形EFGH是矩形，求证：

AC⊥BD.

证明　

（1）在△ABD中，

∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴EH∥BD.

同理FG∥BD，则EH∥FG.

故E，F，G，H四点共面.

（2）由

（1）知EH∥BD，同理AC∥GH.

又∵四边形EFGH是矩形，

∴EH⊥GH.故AC⊥BD.

题型三　异面直线所成的角

例3　如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角.

解　如图，取BD的中点G，连接EG，FG.

因为E，F分别为BC，AD的中点，

AB＝CD，

所以EG∥CD，GF∥AB，

且EG＝

CD，GF＝

AB.

所以∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG＝GF.

因为AB⊥CD，

所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.

所以△EFG为等腰直角三角形.

所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.

跟踪训练3　空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.

解　取AC的中点G，连接EG，FG，

则EG

AB，GF

CD.

故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，

直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.

∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.

由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG为等腰三角形.

当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；

当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.

故EF与AB所成的角为15°或75°.

转化与化归思想

例5　在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2a，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝

a，求异面直线AD，BC所成的角.

分析　要求异面直线AD，BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD，BC平移至一个三角形中.此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则∠EMF（或其补角）为所求角.

解　如图，取BD的中点M.由题意，知EM为△BAD的中位线，

所以EM∥AD且EM＝

AD.

同理，MF∥BC且MF＝

BC.

所以EM＝a，MF＝a，且∠EMF（或其补角）为所求角.

在等腰△MEF中，取EF的中点N，

连接MN，则MN⊥EF.

又因为EF＝

a，

所以EN＝

a.

故有sin∠EMN＝

＝

.

所以∠EMN＝60°，所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.

因为∠EMF＝120°＞90°，

所以AD，BC所成的角为∠EMF的补角，

即AD和BC所成的角为60°.

反证法的合理应用

例6　如图，三棱锥P－ABC中，E是PC上异于点P的点.求证：

AE与PB是异面直线.

分析　利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.

证明　假设AE与PB不是异面直线，

设AE与PB都在平面α内，

因为P∈α，E∈α，所以PE⊂α.

又因为C∈PE，所以C∈α.

所以点P，A，B，C都在平面α内.

这与P，A，B，C不共面（P－ABC是三棱锥）矛盾.

于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.

1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（　　）

A.共面B.平行C.异面D.平行或异面

2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（　　）

A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交

3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（　　）

A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条

4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.（填序号）

5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.

一、选择题

1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）

A.一定平行B.一定相交

C.一定异面D.相交或异面

2.已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于（　　）

A.60°B.120°C.30°D.60°或120°

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（　　）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.下面四种说法：

①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；

②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；

③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是（　　）

A.4B.3C.2D.1

5.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（　　）

A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形

6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为（　　）

A.10B.20C.8D.4

7.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　）

A.CC1与B1E是异面直线

B.C1C与AE共面

C.AE与B1C1是异面直线

D.AE与B1C1所成的角为60°

二、填空题

8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.

9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.

以上结论中正确的序号为________.

10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为______.

三、解答题

11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝

，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.

12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.

（1）证明：

E，F，G，H四点共面；

（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

（3）在

（2）的条件下，若AC⊥BD，试证明：

EG＝FH.

当堂检测答案

1.答案　D

解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.

2.答案　B

解析　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.

3.答案　A

解析　我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.

4.答案　②④

解析　①中，∵G，M是中点，∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；③中，∵G，M是中点，∴GM綊

CD，∴GM綊

HN，即GMNH是梯形，则HG，MN必相交，∴H，G，M，N四点共面；④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面.

5.答案　

解析　设棱长为1，因为A1B1∥C1D1，

所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.

在△AED1中，

cos∠AED1＝

＝

＝

.

课时精练答案

一、选择题

1.答案　D

解析　可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.

2.答案　D

解析　由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.

3.答案　B

解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.

4.答案　D

解析　若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对.若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对.若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确.

5.答案　D

解析　如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG

EH

BD，HG

EF

AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形.

6.答案　B

解析　设截面四边形为EFGH，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝

AC＝4，FG＝HE＝

BD＝6，∴周长为2×（4＋6）＝20.

7.答案　C

解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误.综上所述，故选C.

二、填空题

8.答案　8

解析　以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8（对）异面直线.

9.答案　①③

解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.

10.答案　60°

解析　连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.

在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，

∴∠A1BC1＝60°，

故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.

三、解答题

11.解　取AC的中点F，连接EF，BF，

在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，

∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）.

在Rt△ABC中，BC＝

，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，

在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝

AD＝

，∴BE＝

.

在Rt△AEF中，AF＝

AC＝

，AE＝

，∴EF＝

.

在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝

，∴BF＝

.

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝

＝

＝

，

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为

.

12.

（1）证明　因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.

又因为CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥DB.

所以EH∥FG.

所以E，F，G，H四点共面.

（2）解　当且仅当EH∥FG，EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形.

因为

＝

＝

，所以EH＝

BD.

同理FG＝

BD，由EH＝FG，得m＝n.

故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形.

（3）证明　当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，

所以EF∥AC.

又因为AC⊥BD，而∠FEH是AC与BD所成的角，

所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，

所以EG＝FH.