《金识源》高中数学新人教A版必修5教案25等比数列的前n项和2doc.docx
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《金识源》高中数学新人教A版必修5教案25等比数列的前n项和2doc
2.5等比数列的前刀项和
教学过程
推进新课
［合作探究］
师在对一般形式推导Z前，我们先思考一个特殊的简单情形：
l+q+q?
+…+q匸？
师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.
生观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师若将上式左边的每一项乘以公比q,就出现了什么样的结果呢？
生q+q2+「・+q"+q"
生每一项就成了它后面相邻的一项.
师对上面的问题的解决有什么帮助吗？
师生共同探索：
如果记SFl+q+q'+・・・+q",
那么qS尸q+q'+・・・+q"+q刊
要想得到S”，只要将两式相减，就立即有（l-q）S^lV.
师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.
生如果qHl,则有
1-9
师当然，我们还要考虑一下如果q=l问题是什么样的结果.
生如果q=l,那么Sf/?
.
师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：
仪1+$2+0+…二？
［教师精讲］
师在上面的特殊简单情形解决过程屮，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是
“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”•
师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”・
如果记越+昂+・・・+砌
另【（么qS尸Qq+型q+曰3q+…+自旳，
要想得到S“，只要将两式相减，就立即有（l-q）S”=0-/q.
师再次提醒学生注意q的取值.
如果qHi,则有s“=yq.
l-q
师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：
如果记S“二句+yq+日iq'+・・・+/q"
那么qS“pq+giq'+・・・+giq"
要想得到S,”只要将两式相减，就立即有（l-q）S”Ppq”・
如果qHl,则有s”/（7）.
i-q
师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.
形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量：
知qg,S»中如q,细®四个；后者出现的是即q,S”,77四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前77项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：
上述结论都是在“如果qHl”的前提下得到的•言下之意，就是只有当等比数列的公比qHl时，我们才能用上述公式.
师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q=l问题是什么样的结果呢？
生独立思考、合作交流.
生如果q=l,Sn=7731，
师完全正确.
如果q=l,那么S尸刀弘正确吗？
怎么解释？
生正确.q=l时，等比数列的各项相等，它的前刀项的和等于它的任一项的刀倍.
师对了，这就是认清了问题的本质.
师等比数列的前刃项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再來探讨一下：
［合作探究］
思路一：
根据等比数列的定义，我们有：
玉二空二鱼二.，竺二g,
aia2°3%
再由合比定理，则得勺+色+勺+…+色=q,
4-+…+
即沐壬巳,
Sn-an
（以下从略）
思路二：
由S尸臼I+0+曰汁…+禺得
臼iq+/q+・・・+臼/riq=0+q（0+创+…+臼小）=^i+q（S厂②）,
从而得（1-q）S〃p-禺q・
（以下从略）
师探究中我们们应该发现，S-S.1二/是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，77的収值应该满足什么条件？
/7>1.
对的，请同学们今后多多关注这个关系式：
S厂S孑孙/?
>!
.
综合上而的探究过程，我们得出:
na^q=1,
或者
©一如纟幻i—q'
［例题剖析］
【例题1］求下列等比数列的前8项的和:
（1）—,—,…；
248
⑵<31—27,39=,q<0.
243
［合作探究］师生共同分析：
由仃）所给条件，可得a严丄，9=丄，求刀=8时的和，直接用公式即可.
22
由⑵所给条件，需要从色中获取求和的条件，才能进一步求77=8时的和.而越
所以由条件可得q.幺二一J—,再由qVO,可得q=-~,将所得的值代入公式就可以®243x273
T.
生写出解答：
仃）因为a、=勺，q=勺,所以当n=8时
（2）由51=27,dg
尸243'川得Q243x27
又由qVO,nJ得今=一一
【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？
师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sf30000求
刀的问题.
生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.
解：
根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组
成一个等比数列{/},其中护5000,q=l+10%=l.l,Sn=30000.
于是得到驾半¥0000,
整理得1.1=1.6,
两边収对数，得gl.l=lgl.6,
用计算器算得n=里M〜-=5（年）.
lgl.l0.041
答：
大约5年可以使总销售量达到30000台.
练习：
教材笫66页，练习第1、2、3题.
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列前项和公式的推导；特别是在推导过程屮，学到了“错位相减法”.
2.等比数列前刀项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业
课本第69页习题2.5A组第1、2、3题.
板书设计
等比数列前刀项和公式的推导与应用
等比数列的前〃项和公式
悄境问题的推导
一般情形的推导
例1
练习：
（学生板演）
例2
练习：
（学生板演）
第二课时
教学过程
推进新课
［例题剖析］
师出示投影胶片2：
课本第70页B组题第4题：
例1思考以下问题：
（1）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少元？
（2）依教育储蓄的方式，每月存臼元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多
少元？
（3）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）时一次可支取本息比同档次的
“零存整取”多收益多少元？
（4）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？
（5）欲在3年后一次支収教育储蓄本息合计曰万元，每月应存入多少元？
（6）依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年吋，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
（7）依教育储蓄方式，原打算每月存日元，连续存6年，可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？
（8）不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.
［合作探究］
师要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：
若每月固定存日元，连续存7?
个月，则计算利息的公式为曲+讪X月利率.
2
师你能解释这个公式的含义吗？
生独立思考、合作交流、自主探究.
师（在学生充分探究后揭示）设月利率为q，
则这个公式实际上是数列:
aq,2aq,3aq,…，加q,…的前/?
项和.
这个数列的项不正是依次月数的利息数？
这个数列具有什么特征呢？
生发现等差关系.
师用我们的数学语言来说，这是个首项为臼q,公差为臼q的等差数列，而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利（利生息一一利滚利）计算的.
我们把这样的计算利息的方法叫做按单利（利不生息一一利不滚利）计算.
这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致.师我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：
三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%；
五年整存整取存款年利率为2.79%,月利率为0.2325%；
三年期零存整収存款年利率为1.89%,月利率为0.1575%；
利息税率为20%.
师下面我们来看第一个问题的结果.
生计算，报告结果.
师生共同解答：
（1）解：
因为三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%,故依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期-次可支取本息共
（50+50x36）x36/一、
X0.21%+1800=1869.93（兀）.
2
因为五年整存整収存款年利率为2.79%,月利率为0.2325%,故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共
厂—X0.2325%+3600^3905.50（X）.
（2）每月存入每月存自元，连续存3年，到期一次可支取本息共
（q+qx36）x36…cq/—、
X0.21%+36班兀）.
2
若每月存入每月存臼元，连续存6年，到期一次可支取本息共
（a+ax72）x72°““（_、
X0.2325%+72&（兀）.
2
（3）因为三年期零存整収存款年利率为1.89%,月利率为0.1575%,故每月存50元，连续存3
（50+50x36）x36
2
年，到期一次可支取本息共
X0.1575%X8O%+1800=1841.96（元）.
比教育储蓄的方式少收益27.97（元）.
（4）设每月应存入x元，由教育储蓄的计•算公式得
（x+xx36）x36
——X0.21%+36x=10000.
2
解得x~267・39（元）,即每月应存入267.39（元）.
（5）设每月应存入x元，由教育储蓄的计•算公式得
（x+xx36）x36
X0.21%+36x=10000乩
2
解得乂二1°°°°。
=267.39/即每月应存入267.39日（元）.
37.3986
（6）根据银行岀台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际
存期和开户口同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.
故该学生支収时，应按照三年期整存整収存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.由计算公式得
（100+100x48）x48/一、
X0.21%+4800=5046.96（兀）.
2
（7）与笫6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算.
一到两年的按一年期整存整取汁息•一年期整存整取存款年利率为1.98%,月利率为0.165%,
故当戻1或2时，由计算公式得
（a-kaxl2b）xl2b、门「一、
X0.]65%+]2白方（兀）.
2
当戻3或4或5吋，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.
根据计算公式得
（d+dX12b）xl2/?
/一、
X0.21%+12"（兀）.
2
（8）此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可•教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案.
［概括总结］
师在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识•我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议.
从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来.
说明：
此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想,这也是普通高屮新课程标准推崇它作为一个典型例题的理市.
师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.
出示投影胶片3：
例2你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的血积吗？
出示多媒体图片1：
师如图，为了估计函数y=9-x2在笫一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x,把x轴上的区间［0,3］分成刀等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构成（旷1）个矩形•下面用程序来计算这（旷1）个矩形的面积的和S.
SUM二0
K=1
IAPUT请输入将［0,3］分成的份数/?
：
”;N
WHILEkVWl
AN二（9-（k*3/〃厂2）*3/W
SUM二SUM二
PRIATk,AN,SUM
K二k=l
WEAZ?
END
阅读程序，回答下列问题：
⑴程序中的簡；SUM分别表示什么，为什么？
（2）请根据程序分别计算当/7=6,11,16时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）.
师你能回答第一个问题吗？
生AN表示第k个矩形的面积，SUM表示前k个矩形面积的和.
3
生当把x轴上的区间[0,3]分成刀等份时，各等份的长都是2.
n
理市是：
各分点的横坐标分别是
33x23x（/?
-1）
—
>>>•
nnn
从各分点作y轴平行线与y=9-x2图象相交，交点的纵坐标分别是
9-（-）2,9-（^）2，-,9-[3X（n~1）]2.
nnn
它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形血积分别是
rn门2】33x22】3（3x（z?
-l）213
[9-（-）-]x-,[9-（——）]x-,-,<9一[（—-——）]}x-・
nnnn{nJn
师对学生的思考给予高度的赞扬.
师当我们把x轴上的区I、可[0,3]分成刀等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y-9-x2
在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域内的/厂1个矩形.
师想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前才1项和如何求.
生自主探究.
列式：
5n_1^[9-（-）2]x-+[9-（^）2]x-+...+|9-
nnnn[nJn
-~{[9-（-）2]+[9-（—）2]+-+[9-（3X（n-1}）2]-
nnnn
=-j9（n-l）-（-）2[l2+22+...+（/t-l）2]k
n[nJ
师引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子.
师求和时遇到了12+22+・・・+/的计算问题，这也是一个求数列前〃项和的问题.
关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：
匚口3；…,/，…的前/?
项和的问题.由于这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用己经推导出來的等差数列前刀项和公式与等比数列前〃项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式.
即要求记住：
12+2?
+…+#二斤（斤+1）（2斤+1）
6
关于这个公式的推导过程，我们对以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学习.
师运用这个公式，请把上面的/厂1个矩形面积的和计算出來.
生继续运算.
33
S.f-{9（/rl）-（-）2[12+22+-+（/t-D2]}
nn
丄[9i（E）2（〃T）心T）]
nn6
9（4zz2-3/?
-1）
2^•
师明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果.
师根据程序，当刀=6吋，5个矩形的面积的和就是输入N=6,SUM的最后一个输出值，SUM二15.625.
那么当/?
=11时，10个矩形的面积的和就是11时,SUM的最后一个输出值，即SUM二16.736；
当/7=16时，我们就得到15个矩形面积的和SUM二17.139.
当严17吋，SUM的最后一个输出值是多少？
生严17时,SUM的最后一个输出值SUM二17.190.
师你是怎么计算尸17时，SUM的最后一个输出值的呢？
生是用上面推导出來的计算公式：
S“-=9（4b—严T）2n
当77=500吋，SUM的最后一个输出值SUM=?
当严1000时，SUM的最后一个输出值SUM二？
9（4几2-3h-1）
生用公式S”.]=,不难算出尸500时，SUM二17.973；尸1000时，SUM二17.986.
2n
师在计算尸500与尸1000吋的最后一个输出值SUM吋，为什么用上血推导出来的公式而不用程序中的步骤呢？
师这是因为公式s=9（4矿_严_1）用起来很方便，只要给出上一个门的值，就可以代入2n2
公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构•它在上机运行时，对于每个给定的刀，都要从21依次循环到k=^l,这是同学们在没有上机条件吋很难做到而又没有必要做到的事.
师至此，你能估计出函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积了？
生由沪500与圧1000时的最后一个输出值SUM,可以估计，这个面积大约是18.
师一个非常准确的结果！
[教师精讲]
师通过本例的探索，我们来归纳一下收获：
1.本例中，程序使用了S”的递推公式，即
=S“_]+d“（M>l）
这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下；
2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：
它给我们提供了求数列的首项和第〃项的办法，即
[a\~S|,
[q“=S〃+S“4>1）
3.关于估计函数y-9-x2在笫一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即[0,3]区I'可分得越细，前k个矩形面积的和SUM就越接近函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积.教材屮已经在用旁白告诉我们，用微积分的知识可得x=18,而我们的估计值也是18,可见我们的估计非常准确.
课堂小结
本节学习了如下内容：
1•教育储蓄中的有关计算.
2.用计算机程序计算数列的和.
布置作业
课本第69页习题2.5第4.5题.
板书设计
求数列前刀项和知识的运用
问题情境导引
例1
例2
升级会员 