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1.问题背景
现代海战中,水面舰艇通常以编队作为战斗的基本单元，而防空反导是水面舰艇编队最重要的任务之一。
随着各种武器装备性能的不断提高,舰艇编队面临的空中威胁日益严重,这对舰艇编队防空能力提出了挑战。
此外，随着信息技术的迅猛发展、新军事变革的深入以及政治战略需求的变化，传统的战争理论和战争评估模型在一定条件下将丧失其可行性。
信息化战争将以前所未有的速度催生新的作战方法，并在某种程度上对作战结果产生了决定性的影响。
为了构建起与维护国家海洋安全和发展利益要求相适应的海上防卫体系，本文针对水面舰艇编队所面临的防空问题进行建模分析,并给出了相应的解决方案。
2.模型假设
3.基本符号说明
4.问题1模型的建立与数学求解
4.1问题1重述
在由1艘导弹驱逐舰和4艘导弹护卫舰组成的水面舰艇编队中，导弹驱逐舰为重要性最大的指挥舰。
在未发现敌方目标时，设计编队最佳队形（各护卫舰相对指挥舰的方位和距离），应对所有可能的突发事件，保护好指挥舰，使其尽可能免遭敌导弹攻击。
4.2问题分析
1）首先要确定来袭导弹的覆盖范围。
由题可确定为：
以我指挥舰为原点的20度至220度扇面内，等可能的有导弹来袭。
2）确定舰艇编队的组成部分以及重要性。
舰艇编队由1艘导弹驱逐舰和4艘导弹护卫舰。
且导弹驱逐舰是指挥舰，也就是最重要的舰，其他导弹护卫舰是尽自己最大可能保护指挥舰不受攻击或者少受攻击。
3）分析一艘舰的攻击有效范围和攻击失效范围。
由于舰的水平射程范围为10千米，最大射程为80千米，高度影响不必考虑（因敌方导弹超低空来袭），可以确定一艘舰的攻击有效范围是由以舰中心为圆心的大于10千米小于80千米的圆组成，攻击失效范围是小于10千米的圆组成。
4）四艘护卫舰参与保护指挥舰得有效率是相等的，且要保证可能来袭导弹范围都能覆盖到。
由上分析可知：
最佳队形的设计目的
a）是保护指挥舰的攻击失效范围不受伤害或者可以说是四艘护卫舰都参与保护指挥舰得攻击失效范围，同时护卫舰的攻击失效范围也要受到最大可能的保护。
b）设计出由1艘指挥舰和4艘护卫舰攻击所覆盖的范围满足目的1的同时范围要达到最大。
4.3模型的假设
1）以指挥舰为原点建立直角坐标系，4艘护卫舰舰一次从上到下排列均匀分布在指挥舰右边可能来袭导弹方向上进行防御。
2）假设舰的探测来袭导弹的最大范围是最大射程，则探测范围为（0,80千米）。
3）指挥舰的来袭范围角度是200°，因为每艘护卫舰的有效防御是相等的，则可知一艘护卫舰只要负责范围来袭范围的50°区域。
把来袭范围分成四个等份扇形区域。
4）在四个等份扇形区域设计以指挥舰为中心四艘护卫舰为左右两翼的扇形防守站位队形进行最佳防御。
4.4模型的建立和求解
4.4.1.数学建模坐标系选定
1）正北方向为Y坐标轴，水平方向为X坐标轴；
2）指挥舰中心为坐标原点。
3）来袭导弹范围是20°到220°，如图4-1所示
图4-1来袭导弹范围示意图
图4-1指出小圆是半径为10千米的指挥舰攻击失效范围（下文会详细叙述），途中的阴影部分半径80千米是指挥舰的攻击有效范围（下文会详细叙述）。
4.4.2.舰的攻击有效范围和攻击失效范围的确定
1）由4.2问题的分析可知舰的最小射程为10千米，最大射程为80千米；
2）以舰的中心点为圆心，10千米为半径，小于10千米的范围则是攻击失效范围，如图4-2所示；
3）以舰的中心点为圆心，80千米为半径，小于80千米大于10千米的范围是攻击有效范围。
如图4-2所示，攻击射程范围即攻击有效范围。
图4-2舰的有效，失效范围示意图
4.4.3.扇形防守站位的模型建立
以指挥舰为中心的四艘护卫舰的站位防守范围的确定。
由4.2问题分析可知来袭导弹范围是200°，分成四个等份扇形，每艘护卫舰是负责其中50°范围的防守。
图4-3所示为以指挥舰为原点的四艘护卫舰大致防守站位图。
图4-3扇形站位图示
指挥舰的坐标已知为原点（0,0），通过此模型求出其他护卫舰的坐标即可求出最佳方式站位队形。
4.4.4扇形防守站位的模型求解
以护卫舰1作为模型的推导求解，其他护卫舰的求解方法则和护卫舰1一样。
1）护卫舰1防守填充指挥舰的过程如下图4-4所示，假设护卫舰1防守危险扇形区域的第1部分
（a）（b）
（c）（d）
图4-4护卫舰1防守填充指挥舰过程图
由护卫舰1的填充过程图可知，如果要让护卫舰1和指挥舰的防守效率同时最大，那么
a）指挥舰的攻击失效范围要被护卫舰1的攻击有效范围包含；
b）护卫舰1的攻击失效范围要被指挥舰的攻击有效范围包含,达到相互保护的作用。
2）由角平分线定理可知，把防守危险扇形区域的第1部分上下等分分成25°的扇形区域，护卫舰1的中心在角平线上填充，则护卫舰1的有效利用率能达到最大，在角平分线上找到最大的点则是护卫舰1的最佳防守站位点，如下图4-5所示。
图4-5护卫舰1坐标的确定
3）由填充过程图可知，当护卫舰1和指挥舰的攻击失效范围相互包含时是最佳防守站位点，如图4-6所示。
图4-6最佳防守站位点
4）计算护卫舰1的坐标方法
由上可知护卫舰1的最佳防守站位点距离指挥舰原点70千米的地方，并且是在角平分线上。
角平分线的所在的角度为45°，把角度转化为经过原点函数，和点到原点的距离联立方程组求解。
Y=tanƟ*X
X^2+Y^2=70^2
求出X=49.5，Y=49.5
由结果可知，护卫舰1的最佳防守站位坐标为（49.5.49.5）。
同理可求出护卫舰2护卫舰3护卫舰4的最佳防守坐标点如表4-1所示：
表4-1最佳防守坐标点
护卫舰1
护卫舰2
护卫舰3
护卫舰4
Ɵ
（x,y）
（49.50,49.50）
（69.73,-6.10）
（40.15,-57.34）
（-18.12,-67.61）
1艘指挥舰和4艘护卫舰的最佳防守站位如图4-7所示：
图4-74艘护卫舰的最佳防守站位
5）最佳防守站位队形的防御覆盖范围如图4-8阴影所示（途中小圆代表舰的坐标位置）
图4-8最佳防守站位队形的防御覆盖范围
6）以指挥舰为中心，最佳防守站位扇形如图4-9所示
图4-9最佳防守站位扇形图
5.问题二模型的建立与数学求解
5.1问题二重述
当不考虑使用电子干扰和近程火炮（包括密集阵火炮）等拦截手段，仅使用防空导弹拦截来袭导弹情况下，求出上述编队防御敌来袭导弹对我指挥舰攻击时的抗饱和攻击能力（当指挥舰遭遇多批次导弹几乎同时攻击时，在最危险的方向上，编队能够拦截来袭导弹的最大批数）。
5.2问题分析
1）由第一问可知编队的拦截覆盖范围，则可知道最危险的方向一共有3个点，分别是护卫舰1和护卫舰2的交点J1、护卫舰2和护卫舰3的交点J2、护卫舰3和护卫舰4的交点J3。
2）指挥舰遭遇多批次的导弹几乎同时攻击，则可以假设成某时刻T由大量的导弹同时向指挥舰发起攻击，同时我方舰队发射防空导弹进行“对冲”，直到把某时刻T的大量导弹全拦截，使得最后一颗来袭导弹正好达到指挥舰时拦截成功，则此时的拦截总批次就是我们所要求得最大拦截批次。
3）由于来袭导弹的检测范围为半径30千米，则我们可以对拦截批次做2部分处理，第一部分是算把拦截导弹拦截在离指挥舰大于30千米之外的批次N1和第二部分拦截在30千米之内N2，这两个部分的总和就是我们所要求得。
4）各舰在一次拦截任务中，不能接受对另一批来袭导弹的拦截任务，只有在本次拦截任务完成后,即是和来袭导弹相遇了，才可以执行下一个拦截任务。
5）每次发送指挥中心发送拦截指令时，则有个拦截准备时间T=7S。
5.3模型的假设
1）导弹来袭的方向与我方舰队航向相向而行时，两者相对速度最大，导弹来袭越快。
2）假设我方舰队的任何一艘都没有受到来袭导弹的任何一次攻击，都拦截完成。
3）不考虑我方拦截一次所使用的导弹数量，且只要指挥中心发送拦截指令去拦截一批导弹，则都会拦截成功，不会拦截失败。
4）我方拦截以最短路径拦截。
5）指挥中心下达作战命令的参考依据是优先级的选择。
6）来袭导弹的目标点是指挥舰，所以不考虑来袭导弹攻击护卫舰的行为。
7）因为来袭导弹的速度很快，所以忽略舰队移动速度，不考虑即移动速度=0
5.4模型的建立和求解
5.4.1用Matlab计算出三个交点坐标J1、J2、J3
1）三个交点J1、J2、J3如图5-1所示：
图5-1三角点示意图
2）四个护卫舰舰的的半径为80的圆额方程如下所示
护卫舰1的方程为：
护卫舰2的方程为：
护卫舰3的方程为：
护卫舰4的方程为：
3）利用Matlab计算交点J1、J2、J3的坐标
a）将护卫舰1的方程和护卫舰2的方程联立可求出两个交点分别为：
（-10.23，-3.71）、（129.46，47.12）；
b）将护卫舰2的方程和护卫舰3的方程联立可求出两个交点分别为：
（-9.43，5.44）、
（119.31，-68.88）；
c）将护卫舰3的方程与护卫舰4的方程联立可求出两个交点分别为：
（-1.89,10.73）、
（23.917，-136.68）
由图2-01观察比较可知：
J1坐标为（129.46,47.12）,
J2坐标为（119.31,-68.88）,
J3坐标为（23.92,-136.68）,
4）Matlab计算的部分代码如下，代码验算的是护卫舰1和护卫舰2的交点求法，其他的两个交点计算方法一样。
5）从J1、J2、J3中选择到原点的最短距离点作为模型求解验算点，通过两点距离公式可以知道：
J1到原点的距离=137.77千米=137770米；
J2到原点的距离=137.77千米=137770米；
J3到原点的距离=137.77千米=137770米；
所以分析可知三点到原点的距离都相等，所以我们可以选择其中任何一个交点做验算，不影响结果。
下面我们以交点J1作为模型的求解验算。
6）拦截优先级的确定
拦截优先级解释：
a）优先级是当发现来袭导弹时候指挥中心下达拦截作战命令的选择依据。
b）根据来袭导弹的和各个舰艇距离以距离大小做优先级排列，距离小的拦截优先级越高。
c）如果优先级级别高的已经有作战任务，则指定下一个优先级低的级别进行进行拦截。
d）指挥中心只要随时更新来袭导弹的坐标和各舰之间的距离，即可有当前最佳拦截优先级顺序。
可依据5艘舰艇与J1点的初始距离确定初始优先级。
表5-1优先级顺序表
舰号
优先级
初始距离大小/米
护卫舰1
优先级1
80.00
护卫舰2
优先级2
80.00
护卫舰3
优先级3
137.43
指挥舰
优先级4
137.77
护卫舰4
优先级5
186.93
7）拦截导弹总批次N总的分析
a）某T时刻来袭导弹一进入我方舰防守覆盖范围J1点时，我方指挥中心即按照拦截优先级顺序发送直到相应的舰队进行拦截。
b）模型建立之初，我们假设了，拦截一定成功，且双方导弹相遇之后，指挥中心才能下达下一次作战拦截指令。
c）拦截期间也就是未相应期间，进行作战任务的舰不能再次接受任务。
综上分析可知：
只要指挥中心随时更新来袭导弹的坐标和各舰之间的距离，即可有当前最佳拦截优先级顺序，并且根据优先级排列下的舰是否有作战任务进行分配拦截，如果有则自动跳转下一个优先级顺序的，自此反复循环进行发送拦截指令，只要记录各自拦截批次即可。
表5-2各舰拦截批次
舰号
拦截最大批次
护卫舰1
N1
护卫舰2
N2
护卫舰3
N3
护卫舰4
N4
指挥舰
N5
最终总的拦截批次：
N总=N1+N2+N3+N4+N5
8）计算准备数据规则
统一计量单位：
速度V，单位m/s。
我方防御数据规则：
a）编队依靠自身雷达监测，数据通用，
b）射程范围：
10000米—80000米;
c）空导弹的速度：
V=816m/s；
d）T准备：
拦截准备时间为7s;
e）模型计算拦截点的是J1.
f）不考虑使用电子干扰和近程火炮（包括密集阵火炮）等拦截手段。
敌方来袭数据规则：
a）来袭导弹分布区域为20000m—30000m时为均匀分布，导弹和指挥舰之间的距离；
b）来袭导弹的速度：
V弹袭=306m/s，射程为23000m。
c）来袭导弹检测范围扇形区域，来袭方向左右偏15
，检测半径30000m；
d）每批来袭导弹的数量小于等于4枚，可以假设同时发出，攻击目标和航向都相同的则定义为同一批导弹
e）不考虑电子干扰，则导弹追踪到了目标就不会丢失。
f）J1点来袭导弹的移动路线函数为:
Y=0.364*X
g）来袭导弹的X坐标则移动速度：
V弹来袭水平速度=287.54m/s.
9）C语言编程求解思路
a）优先级判断依据：
我方舰队离拦截点的距离排序作为优先级顺序，且每秒更新一次优先级排序；
b）根据优先级顺序选择相应的舰进行拦截指令，如果当前舰已经是在拦截状态，则自动查找下一个优先级顺序的舰进行拦截，以此类推；
c）如果全部优先级筛选下来，都没找到符合的舰队进行拦截，则等待发送拦截指令，直到我方有拦截状态结束的舰，在进行下达作战命令；
d）每秒更新距离L：
来袭导弹距离指挥舰的距离；
e）程序输出的N就是最大拦截批次
拦截指令发送流程图如图5-2：
图5-2拦截指令流程图
10）第一部分来袭导弹最多批次N求解
a）我们指挥舰未进入到来袭导弹的30千米探测半径之内，我方指挥舰是安全状态，没有受到任何一次攻击。
b）所以导弹都被拦截在30千米的之外，来袭导弹路线已经确定，是J1点和原点的连线如图5-3所示：
图5-3导弹来袭线路
通过C语言编程可得出此时的Nmax值=N1+N2+N3+N4+N5=32批，如表5-3。
表5-3第一批导弹各舰拦截最大次数
舰号
拦截最大批次
护卫舰1
N1=9
护卫舰2
N1=9
护卫舰3
N1=5
护卫舰4
N1=4
指挥舰
N1=5
11）第二部分来袭导弹最多批次M求解
a）我们指挥舰进入到来袭导弹的30千米探测半径之内，我方指挥舰是不安全状态，我方指挥舰就进入到来袭导弹的袭击范围之内。
b）我方指挥舰要安全，则要把这范围之内的导弹拦截在离指挥舰的距离等于来袭导弹速度*7秒的距离之外。
通过C语言编程可得出此时的M值=M1+M2+M3+M4+M5=18批次，如表5-4。
表5-4第一批导弹各舰拦截最大次数
舰号
拦截最大批次
护卫舰1
M1=3
护卫舰2
M1=3
护卫舰3
M1=3
护卫舰4
M1=3
指挥舰
M1=6
*C语言计算的部分代码如下所示：
12）模型的最佳防守站位在最危险的区域能够拦截最大批次为N+M=32+18=50次。
6.问题三模型的建立与数学求解
6.1问题三重述
如果编队得到空中预警机的信息支援，对距离我指挥舰200千米内的所有来袭导弹都可以准确预警（即通报来袭导弹的位置与速度矢量），编队仍然保持上面设计的队形，仅使用防空导弹拦截敌来袭导弹对我指挥舰攻击时的抗饱和攻击能力提高多少？
6.2问题分析
1）我方200千米范围之内的都能准确预警。
2）由第二问可知，第二问求出的J1点的拦截最多批次是50次，通过第二问的计算可知，J1点离指挥舰的距离等于137千米。
3）假设来袭导弹距离我方编队指挥舰的距离为S千米，S<=200千米
a）如果30千米N=32次（由第二问计算出）。
b）如果0千米M=18次（由第二问计算出）。
c）如果137千米L即是要求出的批次数量。
4）能提前预警代表我方能第一时间知道来袭导弹位置，然后下达作战指令符合之前的优先级，虽然扇形防守最佳站位射程覆盖范围最大是150m（70m+80计算得出），但是可以提前发射导弹进行拦截，只要能够保证拦截在边界上即可，此时可以求出一个最大预警有效距离L。
5）根据上面计算的最大预警有效距离和题目给出的200千米做比较，然后判断计算即可。
6）抗饱和攻击能力提高计算公式=P/（M+N）*100%。
7）由于此问是建立在第二问基础之上的，则只有计算J1点到原点的距离137.77千米。
6.3问题求解
1）预警有效距离L的计算
图6-1导弹来袭方向示意图
、
图6-2提高预警范围到200千米的示意图
假设预警有效距离为L，因为我方指挥中心下达作战命令对于不同的舰都有一个预警有效距离，表6-1为设定的各有效距离：
表6-1有效距离的设定
护卫舰1
L1
护卫舰2
L2
护卫舰3
L3
护卫舰4
L4
指挥舰
L5
先计算指挥舰的L5，计算过程如下：
已知
我方准备时间：
T准备=7s；
拦截导弹的速度：
V弹拦=816m/s；
来袭导弹的速度：
V弹袭=306m/s
由公式：
（L5-V弹袭*T准备）/（V弹拦+V弹袭）*V弹拦=137777m
得出：
L5=191585.38m
由第二个问题的解答，可以知道：
表6-2各舰初始距离
舰号
初始距离大小/千米
护卫舰1
80.00
护卫舰2
80.00
护卫舰3
137.43
指挥舰
137.77
护卫舰4
186.93
同L5的计算方法，可以计算出L1、L2、L3、L4，综合计算结果如表6-3所示：
表6-3各舰有效预警距离
舰号
有效预警距离/m
数值
护卫舰1
L1
112142.00
护卫舰2
L2
112142.00
护卫舰3
L3
191108.25
指挥舰
L5
191585.38
护卫舰4
L4
259170.75
2）各舰预警能力的变化分析
有效距离L和J1点最危险方向距离137777m作比较，可以得出如下结论：
a）由于L1，L2<137777m，预警范围的增加对护卫舰1和护卫舰2的防御能力无任何影响;
b）由于137777mc）由于L4>200000m，超出了题目给出的范围，护卫舰4实际有效的预警范围为200000m。
且在范围（137777m,200000m）范围内提高防御。
3）利用问题2所建立的模型计算出相应的提高拦截次数。
a）提升预警范围对护卫舰1和护卫舰2无影响，则有效提升拦截次数=0
b）护卫舰3提高预警范围200千米而实际提高拦截范围为（137777,191108.25），代入问题二的模型计算得出：
有效提升拦截次数=2次。
c）指挥舰提高预警范围200千米而实际提高拦截范围为（137777,191575.75），代入问题二的模型计算得出：
有效提升拦截次数=2次。
d）护卫舰4提高预警范围200千米而实际提高拦截范围为（137777,200000），代入问题二的模型计算得出：
有效提升拦截次数=2次。
综上所述得出总的有效提升拦截次数为:
2次+2次+2次=6次
4）抗饱和攻击能力提高的计算
抗饱和攻击能力提高计算公式=P/（M+N）*100%=6/（32+18）*100%=12%.
8.问题五模型的建立与数学求解
8.1问题重述
在信息时代的战争环境中，制信息权成为决定战争胜负的关键环节。
如果我方的预警机和水面舰艇编队的雷达和通信系统遭到敌方强烈的电子干扰，无法发现目标，也无法传递信息，这时，后果将是极其严重的，我编队防空导弹的拦截效能几乎降低到零。
使用经典的兰彻斯特战争模型用于预测海湾战争进程，结果大相径庭。
那么信息化战争的结果应该用什么样的模型来分析或预测呢？
请尝试建立宏观的战略级信息化战争评估模型，从一般意义上反映信息化战争的规律和特点，利用模型分析研究信息系统、指挥对抗、信息优势、信息系统稳定性，以及其它信息化条件下作战致胜因素的相互关系和影响。
并通过信息化战争的经典案例，例如著名的海湾战争，对模型加以验证。
8.2问题分析
1）经典兰彻斯特模型
兰彻斯特线性律方程的数学模型如下：
其中：
为红方战斗成员作战效能，
为蓝方战斗成员作战效能；
为红方兵力数，
为蓝方兵力数量；
、
分别为红蓝双方战斗成员易损面积；
、
分别为红蓝双方战斗成员的平均分布面积；
、
分别为红蓝双方战斗成员的战术射速；
、
分别为红蓝双方毁伤概率。
兰彻斯特平方律数学模型如下：
其中：
、
分别为红蓝双方每一个战斗成员在单位时间内平均毁伤对方战斗成员的数量。
公式
（1）是兰切斯特根据远距离作战,如炮兵作战模型得出的线性律。
其假定条件是交战双方兵力互相隐蔽;每一方火力集中在对方战斗成员的集结区域,不对个别目标实施瞄准,火力为面火力。
公式
（2）是建立在近代战斗模型基础上得出的平方律。
其基本假定是双方兵力互相暴露在对方视线范围内;每一方都可以运用他们的全部兵力并集中火力射击对方的兵力。
然而这两种战术情况都建立在交战双方信息对称的基础上,无法反映信息对于战争进程的影响。
因此在平方律和线性律的方程特点，结合信息支援力量的特点和作用，可以认为当红，蓝双方均具有很好的信息支援能力时，双方可完全感知战场态势，即满足兰彻斯特方程的平方律条件；而当双方毫无信息支援能力时，可认为满足兰彻斯特的线性律，引入红，蓝双方战场感知系数
和
，来描述战争进程。
2）修正的兰彻斯特数学模型如下：
其中：
、
分别为红蓝双方战场感知系数（
，
）；
为红方对暴露的蓝方战斗成员的毁伤系数；
为红方对隐蔽的蓝方战斗成员的毁伤系数；
为蓝方对暴露的红方战斗成员的毁伤系数；
为蓝方对隐蔽的红方战斗成员的毁伤系数。
8.3仿真假设
基于上述提出的改进兰彻斯特方程，采用四阶龙格-库塔方法以Matlab为工具进行仿真，分两种情况进行假设。
四阶龙格-库塔方法：
其中，i为迭代次数，k为步长。
计算程序源代码：
functionR=rk4（f,g,a,b,xa,ya,N）
%UNTITLED2Summaryofthisfunctiongoeshere
%Detailedexplanationgoeshere
%x'=f（t,x,y）y'=g（t,x,y）%N为迭代次数
%h为步长
%ya,xa为初值
f=@（t,x,y）（2*x-0.02*x*y）;
g=@（t,x,y）（0.0002*x*y-0.8*y）;
h=（b-a）/N;
T=zeros（1,N+1）;
X=zeros（1,N+1）;
Y=zeros（1,N+1）;
T=a:
h:
b;
X
（1）=xa;
Y
（1）=ya;
Forj=1:
N
f1=feval（f,T（j）,X（j）,Y（j））;
g1=feval（g,T（j）,X（j）,Y（j））;
f2=feval（f,T（j）+h/2,X（j）+h/2*f1,Y（j）+g1/2）;
g2=feval（g,T（j）+h/2,X（j）+h/2*f1,Y（j）+h/2*g1）;
f3=feval（f,T（j）+h/2,X（j）+h/2*f2,Y（j）+h*g2/2）;
g3=feval（g,T（j）+h/2,X（j）+h/2*f2,Y（j）+h/2*g2）;
f4=feval（f,T（j）+h,X（j）+h*f3,Y（j）+h*
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