初二数学压轴几何证明题含答案.docx
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初二数学压轴几何证明题含答案
1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．
（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问
（1）中所得的结论是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．
解：
（1）EG⊥CG，
=
，
理由是：
过G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB=90°，
∴EF∥GH∥DC，
∵G为DF中点，
∴H为EC中点，
∴EG=GC，GH=
（EF+DC）=
（EB+BC），
即GH=EH=HC，
∴∠EGC=90°，
即△EGC是等腰直角三角形，
∴
=
；
（2）
解：
结论还成立，
理由是：
如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，
∵在△EFG和△HDG中
∴△EFG≌△HDG（SAS），
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，
∴EF∥DH，
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，
∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，
在△EBC和△HDC中
∴△EBC≌△HDC．
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G为EH的中点，
∴EG⊥GC，
=
，
即
（1）中的结论仍然成立；
（3）
解：
连接BD，
∵AB=
，正方形ABCD，
∴BD=2，
∴cos∠DBE=
=
，
∴∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，
∴∠ABF=45°-15°=30°，
∴tan∠ABF=
，
∴DE=
BE=
，
∴DF=DE-EF=
-1．
解析：
（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=
（EF+DC）=
（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；
（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）连接BD，求出cos∠DBE=
=
，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．
2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG．
（1）延长EG交DC于H，试说明：
DH=BE．
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G（如图2），莎莎同学发现：
EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：
若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？
请写出来．
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度α（0＜α＜90°），再连接DF，取DF的中点G（如图3），第2问中的结论是否成立？
若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．
（1）证明：
∵∠BEF=90°，
∴EF∥DH，
∴∠EFG=∠GDH，
而∠EGF=∠DGH，GF=GD，
∴△GEF≌△GHD，
∴EF=DH，
而BE=EF，
∴DH=BE；
（2）连接DB，如图，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，
而四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴D，E，B三点共线．
而∠BEF=90°，
∴△FED为直角三角形，
而G为DF的中点，
∴EG=GD=GC，
∴∠EGC=2∠EDC=90°，
∴EG=CG且EG⊥CG；
（3）第2问中的结论成立．理由如下：
连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，
∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，
∴OG∥BF，GM∥OB，
∴四边形OGMB为平行四边形，
∴OG=BM，GM=OB，
而EM=BM，OC=OB，
∴EM=OG，MG=OC，
∵∠DOG=∠GMF，
而∠DOC=∠EMF=90°，
∴∠EMG=∠GOC，
∴△MEG≌△OGC，
∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，
又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，
∴EG=CG且EG⊥CG．
解析：
（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论．
（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．
（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．
3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问
（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论；
（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问
（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．
解：
（1）EG=CG且EG⊥CG．
证明如下：
如图①，连接BD．
∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，
∴∠EBF=∠DBC=45°．
∴B、E、D三点共线．
∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，
∴EG=DG=GF=CG．
∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．
∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．
（2）仍然成立，
证明如下：
如图②，延长EG交CD于点H．
∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠4，FG=DG，
∴△FEG≌△DHG，
∴EF=DH，EG=GH．
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BE=EF，∴BE=DH．
∵CD=BC，∴CE=CH．
∴△ECH为等腰直角三角形．
又∵EG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．
（3）仍然成立．
证明如下：
如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．
∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，
∴△HFG≌△CDG，
∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，
∴HF∥CD．
∵正方形ABCD，
∴HF=BC，HF⊥BC．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，
∴△BEC≌△FEH，
∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，
∴∠BEF=∠HEC=90°，
∴△ECH为等腰直角三角形．
又∵CG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．
解析：
（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；
（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：
EG=CG且EG⊥CG．
（3）首先证明：
△BEC≌△FEH，即可证得：
△ECH为等腰直角三角形，从而得到：
EG=CG且EG⊥CG．
已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．
（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为______；
（2）如图2，若△BEF的直角边BE在BC上，则
（1）中的结论是否还成立？
请说明理由；（3）如图3，若△BEF的直角边BE在∠DBC内，则
（1）中的结论是否还成立？
说明理由．
1
2
1
2
解：
（1）GC=EG，（1分）理由如下：
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，又G为斜边DF的中点，∴EG=DF，
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，又G为斜边DF的中点，∴CG=DF，
∴GC=EG；
（2）成立．如图，延长EG交CD于M，
1
2
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，∴EF∥CD，
∴∠EFG=∠MDG，
又∠EGF=∠DGM，DG=FG，
∴△GEF≌△GMD，
∴EG=MG，即G为EM的中点．
∴CG为直角△ECM的斜边上的中线，
∴CG=GE=EM；
（3）成立．
取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．
∵CB=CD，∠DCB=90°，∴CO=BD
1
2
1
2
．
∵DG=GF，
∴GH∥BD，且GH=BD，
1
2
OG∥BF，且OG=BF，
∴CO=GH．
1
2
∵△BEF为等腰直角三角形．
∴EH=BF
∴EH=OG．
∵四边形OBHG为平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．
∴EG=GC．
此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．
解析：
（1）EG=CG，理由为：
根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；
（2）成立．理由为：
延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；
（3）成立．理由为：
取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．
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