沪科版八年级数学下册 第18章 勾股定理单元检测题.docx

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沪科版八年级数学下册第18章勾股定理单元检测题

勾股定理检测题

（本检测题满分：

100 分，时间：

90 分钟）得分

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

1.下列说法中正确的是（）

A.已知 a , b , c 是三角形的三边，则 a 2 + b2 = c2

B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C.在 

ABC 中，∠C＝90°，所以 a 2 + b 2 = c 2

D.在 

ABC 中，∠B＝90°，所以 a 2 + b 2 = c 2

2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边长扩

大到原来

的（）

A.1 倍B.2 倍C.3 倍D.4 倍

在ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为（）

A.锐角三角形

C.钝角三角形

B.直角三角形

D.等腰直角三角形

4.如图，已知正方形 B 的面积为 144，如果正方形 C 的面积为 169，那么正

方形 A 的面积为（）

A.313B.144C.169D.25

A

B

C

第 4 题图

1

5.如图，在 

ABC 中，∠ACB＝90°，若 AC＝5 cm，BC＝12 cm，则

ABC 斜边上的高 CD 的长为（）

A.6 cmB.8.5 cmC.

60

13

cm

D.

30

13

cm

6.分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为 1︰2︰3B.三边长的平方之比为 1︰2︰3

C.三边长之比为 3︰4︰5D.三内角之比为 3︰4︰5

如图，在ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝40，BC＝9，点 M,N 在 AB 上，

且 AM＝AC,BN＝BC，则 MN 的长为（）

A.6B.7C.8D.9

A

N   M B

C

第 7 题图

8.如图，一圆柱高 8 cm，底面半径为 6

π

cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处

吃食，要爬行的最短路程是（）

A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm

9.如果一个三角形的三边长 a,b,c 满足 a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，那

么这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

2

10. 如图

在ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，点 E 是 AB

的中点，CD＝DE＝a，则 AB 的长为（）

4 3

3

二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）

11.现有两根木棒的长度分别是 40 cm 和 50 cm，若要钉成一个三角形木架，

其中有一个角

为直角，则所需木棒的最短长度为________.

12.在△ABC 中，AB＝AC＝17 cm，BC＝16 cm，AD⊥BC 于点 D，则 AD

＝_______.

13. 在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正

方形的面积分别是 1，2，3，放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，

S4

S1+S2+S3+S4=

则

．

14.如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长

13 m，宽 2 m 的楼道上铺地毯,已知地 毯每平方

米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至

少需要________元钱.

15.（2015·湖南株洲中考） 如图是“赵爽弦图

ABH，

3

△BCG，△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH

都是正方形，如果 AB＝10，EF＝2，那么 AH 等于.

16.（2015·湖北黄冈中考）在△ABC 中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC 边上

的高为 12 

，则ABC 的面积为.

17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

最大正方形的边长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为

___________cm2.

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解

题思路完成解答过程．

18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走 “捷径”，在

花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设 2 步为 1 m），

却踩伤了花草.

三、解答题（共 46 分）

19.（6 分）（2016·湖南益阳中考）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，

求△ABC 的面积．

．．．．．．．．

．．．．．．．．．

4

作 AD⊥BC 于点

根据勾股定理，利

利用勾股定理

D，设 BD = x，用 AD 作为“桥

用含 x 的代数式梁”，建立方程模

表示 CD型求出 x

求出 AD 的长，

再计算三角形

面积

A

B

D   C

20.（6 分）如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90°，AB＝5

km，BC＝4 km，

若每天凿隧道 0.2 km，问几天才能把隧道 AC 凿通？

5

21.（6 分）若三角形的三个内角的比是 1︰2︰3，最短边长为 1，最长边长

为 2.

求：

（1）这个三角形各内角的度数；

（2）另外一条边长的平方.

22.（7 分）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中

点，DE⊥DF，点 E，F 分别在 AC，BC 上，求证：

DE＝DF.

6

23.（7 分）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n

a

b

c

2

22－1

4

22＋1

3

32－1

6

32＋1

4

42－1

8

42＋1

5

52－1

10

52 ＋1

…

…

…

…

n

（1）请你分别观察 a，b ，c 与 n 之间的关系，并用含自然数 （n＞1）

的代数式表示：

a＝__________，b＝__________，c＝__________.

（2）以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？

为什么？

7

24.（7 分）如图，折叠长方形的一边AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，

BC＝10 cm，AB＝8 cm.

求：

（1）FC 的长；

（2）EF 的长.

25.（7 分）如图，在长方体 ABCD - A'B'C'D' 中， AB = BB' = 2 ，AD＝

3，一只蚂蚁从 A 点出发，沿长方体表面

爬到 C' 点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短

8

路程是多少？

勾股定理检测题参考答案

1.Ｃ解析：

A.不确定三角形是不是直角三角形，故 A 选项错误；B.不

确定第三边是不是斜边，故 B 选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为

斜边，故 C 选项正确；D.∠B=90°时，有 b2＝a2＋c2，所以 a2＋b2＝c2

不成立，故 D 选项错误.

2.B解析：

设原直角三角形的两直角边长分别是 a，b，斜边长是 c，则

a2 ＋ b2 ＝ c2 ， 则 扩 大 后 的 直 角 三 角 形 两 直 角 边 长 的 平 方 和 为

42

（ 2a ）2 + （ 2b ）2 = （a 2 + b ）= 4c 2，斜边长的平方为 （ 2c ）2 = 4c2 ，即斜

9

边长扩大到原来的 2 倍，故选 B.

3.B解析：

在ABC 中，由 AB＝6，AC＝8，BC＝10，可推出 AB2＋

AC2＝BC2.由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选 B．

4.D解析：

设三个正方形 A，B，C 的边长依次为 a，b，c，因为三个正

方形的边组成一个直角三角形，所以 a2＋b2＝c2，故 SA＋SB＝SC，即 SA

＝169－144＝25.

5.C解析：

由勾股定理可知 AB 2 = AC 2 + BC 2 = 52 + 122 = 169 ，所以

AB=13 cm,再由三角形的面积公式，有

1         1

AC ⋅ BC =  AB ⋅ CD ，得

2         2

60

AB13

6.D解析：

在 A 选项中，求出三角形的三个内角分别是 30°，60°，90°；

在 B，C 选项中，都符合勾股定理的条件，所以 A，B，C 选项中的三

角形都是直角三角形.在 D 选项中，求出三角形的三个内角分别是 45°，

60°，75°，所以不是直角三角形，故选 D．

7.C解析：

在 

ABC 中，AC＝40，BC＝9，由勾股定理得 AB＝41.

因为 BN=BC＝9，，所以

.

8.C解析：

如图为圆柱的侧面展开图，

cm，∴  AB  =CB   + AC   = 6  + 8  =100（cm），2

∵为

径.

∵

∴

∵

的中点，则  就是蚂蚁爬行的最短路

（cm），

（cm）．

2       2    2    2

∴ AB= 10 cm,即蚂蚁要爬行的最短路程是 10 cm．

10

9.B解析：

由

，

整理，得

，

即

符合

，所以

，所以这个三角形一定是直角三角形.

，

10.Ａ解析：

因为 a∶b＝3∶4，所以设 a＝3k，b＝4k（k＞0）.

在 

ABC 中，∠C＝90°,由勾股定理，得 a2＋b2＝c2.

因为 c＝10，所以 9k2＋16k2＝100，解得 k＝2，所以 a＝6，b＝8，

11

所以 

 ABC＝2ab＝2×6×8＝24.故选 A.

11.30 cm解析：

当 50 cm 长的木棒构成直角三角形的斜边时，设最短的

木棒长为 x cm（x＞0），由勾股定理，得 x 2 + 402 = 502 ,解得 x=30.

12.15 cm解析：

如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分

线互相重合，

∴ BD = 1 BC.

2

∵ BC＝16，∴ BD =

1     1

BC = ⨯16 = 8.

2     2

∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB=90°.

在 

ADB 中，∵ AB＝AC＝17，由勾股定理，得

AD 2 = AB 2 - BD 2 = 172 - 82 = 225 .∴ AD=15 cm．

11

13.108解析：

因为，所以△是直角三角形，且两条直

角边长分别为 9，12，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为

.

14.612解析：

由勾股定理，得楼梯的底面至楼梯的最高层的水平距离为

17.

12 ｍ,所以楼道上铺地毯的长度为 5＋12＝ （ｍ）因为楼梯宽为 2 ｍ,

地 毯每平方米 18 元，所以铺完这个楼道需要的钱数为 18×17×2＝612

（元）.

15.6解析：

∵ △ABH≌△BCG≌△CDF≌△DAE，∴ AH＝DE.

又∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，

∴ AD=AB=10，HE=EF=2，且 AE⊥DE.

∴ 在 

ADE 中，

∴+=

，∴          +   =

，∴ AH=6 或 AH= - 8（不合题意,舍去）.

16.126 或 66解析：

本题分两种情况．

（1）如图（

），在锐角ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高 AD=12，

第 16 题答图

（1）

在

ABD中 ， AB=13 ， AD=12 ， 由 勾 股 定 理 ， 得

=25 ，∴ BD=5.在 

ACD 中， AC=20，

AD=12，

由勾股定理，得=256，

12

∴ CD=16，∴ BC 的长为 BD+DC=5+16=21，

△ABC 的面积= ·BC·AD= ×21×12=126.

（2）如图（

），在钝角ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高 AD=12，

第 16 题答图

（2）

在 

ABD 中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得

=25，∴ BD=5.

在 

ACD 中，AC=20，AD=12，由勾股定理，得

=256，∴ CD=16.∴ BC=DC-BD=16-5=11.

△ABC 的面积= ·BC·AD= ×11×12=66.

综上，△ABC 的面积是 126 或 66.

17.49解析：

正方形 A，B，C，D 的面积之和是最大的正方形的面积，

即 49．

18.4解 析 ：

 在 Rt△ABC 中 ， ∠C=90 ° ， 由 勾 股 定 理 ， 得

= 42 + 32 = 25 ， 所 以 AB=5. 他 们 仅 仅 少 走 了

（步）．

19.解：

如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，

设 BD = x ，∴ CD = 14 - x ．

由勾股定理，得 AD2 = AB2 - BD2 = 152 - x2 ，

A

A D = A C -C D= 3

2

-（ 1 4 - ，

BDC

13

∴ 152 - x2 = 132 - （14 - x）2 ，

解得 x = 9 ．

∴ AD = 12 ．

∴ S

1

2         2

20.解：

在 

中，由勾股定理，得 AB 2 = AC 2 + BC 2 ，

即 52 = AC 2 + 42 ，解得 AC=3,或 AC=－3（舍去）.

因为每天凿隧道 0.2 km，

所以凿隧道用的时间为 3÷0.2＝15（天）．

答：

15 天才能把隧道 AC 凿通.

21.解：

（1）因为三个内角的比是 1︰2︰3，

所以设三个内角的度数分别为 k，2k，3k（k≠0）.

由 k＋2k＋3k＝180°，得 k＝30°，

所以三个内角的度数分别为 30°，60°，90°.

（2）由

（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为 1，斜边长为

2.

设另外一条直角边长为 x，则 x2 + 12 = 22 ，即 x2 =3 .

所以另外一条边长的平方为 3.

22.分析：

旗杆折断的部分、未折断的部分和折断后原旗杆顶部离旗杆底部

的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．

解：

设旗杆未折断部分的长为 x m，则折断部分的长为（16－x）m，

根据勾股定理,得

，

解得

，即旗杆在离底部 6 m 处断裂．

23.分析：

从表中的数据找到规律．

解 ：

（1）n2－12nn2＋1

14

（2）以 a，b，c 为边长的三角形是直角三角形 ．

理由如下：

∵ a2＋b2＝（n2－1）2＋4n2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）

2＝c2，

∴ 以 a，b，c 为边长的三角形是直角三角形．

（

24.分析：

）因为将

翻折得到△   ，所以       ，则在 

中，可求得

（2）由于

的长，从而

，可设

的长可求；

的长为 ，在 

    中，利用勾股定理解

直角三角形即可．

解：

（1）由题意,得 AF＝AD＝BC＝10 cm，

在 

ABF 中，∠B＝90°，

∵

∴

cm，∴ BF 2 = AF 2 - AB 2 = 102 - 82 = 36 ,BF=6 cm,

（cm）．

（2）由题意,得

，设

的长为 ，则        .

在 

中，∠C＝90°，

由勾股定理,得 EC 2 +FC 2 = EF 2，即

，

解得，即的长为 5 cm．

25.分析：

要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两

点之间线段最短”得出结果．

解：

蚂蚁沿如图

（1）所示的路线爬行时，长方形

长为          ，

宽为

连接

，

，则构成直角三角形.

由勾股定理,得 AC'2 = AC 2 + CC '2 = 52 + 22 = 29 .

蚂蚁沿如图

（2）所示的路线爬行时，长方形

长为           ，

宽为

连接

，

，则构成直角三角形.

15

由勾股定理,得 AC '2 =AD 2 +DC '2 = 32 + 42 = 25 ,

.

蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形 ABC'D' 长为 BB' + B'C'=5，

宽为 AB =2，连接 AC' ，则构成直角三角形.

由勾股定理，得 AC '2 =AB 2 +BC '2 =2 2 + 52 =29.

∴ 蚂蚁从 点出发穿过 A'D' 到达 C' 点时路程最短,最短路程是 5．

16