建模1汽车保险的建模论文.doc
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兰州交通大学
2014年大学生数学建摸竞赛论文
题目：
汽车保险的优化设计
参赛组号：
参赛人1：
姓名杨彦强
学院交通运输
班级交通运输1204
参赛人2：
姓名刘冬玲
学院交通运输
班级交通运输1204
参赛人3：
姓名唐浩彭
学院数理学院
班级统计1201
学校统一编号，
个人不得填写
论文编号：
汽车保险的优化设计
摘要
本文是汽车保险费的优化问题，即在考虑当前收益状况的前提下，通过对每一年的总支出（由总索赔费用、总注销偿还费用和总支出费用构成）的估算和总投保人数的估算求出每一年应收取的保险费。
首先通过查阅资料，我们建立了新投保人数的人口阻滞模型[3,5]，并了解到中国汽车保险业的相关规定：
注销人数等于死亡司机人数和自然退保人数之和。
根据各级投保人等级变化关系，对四类投保人的人数建立了相应的数学表达式，并运用EXCEL求解今后三年里每一年各类别的总投保人数。
又通过各类别的交通事故率、死亡率、注销率确定安全带法实施后各类别的索赔人数、死亡司机人数以及注销人数。
其次我们认为注销偿还费用和业务支出的费用分别与注销人数、投保人数成正比例。
通过查资料，我们了解到保险公司每年的支出大概为149百万元。
再通过各类别的修理费用、医疗赔偿费用、死亡赔偿费用和注销偿还费用计算出每年注销偿还退回的总金额以及总赔偿费用。
最后我们建立了颁布安全带法规之后该保险公司的保险费的表达式，进而建立概率论模型依据概率论基本知识和运用MATLAB编程求出当死亡率下降40%、医药费下降30%的情况下，今后三年若考虑实施安全带法带来的利益归客户所有，则三年的基本保险费依次为1030、1029、1028；若考虑实施安全带法带来的利益由保险公司和客户均衡分配，我们根据运筹学的相关知识建立了博弈模型，求得三年的基本保险费依次为987、986、985。
本模型对理想状况的分析和研究具有一定的参考价值，但在应用于实际问题时，需要整合更多的实际因素和市场信息，在较为准确的市场预测和估算的基础上，可得出对政府和公司具有建设性意义的结论和理论指导。
这个模型可以应用于很多其他多种因素决定单变量的问题,如：
人口增长问题、其他类型的保险业务等等，而且本模型对费用的估算与预测有很大的帮助。
1、问题的提出
保险公司为汽车提供保险业务，最常见的是提供一年期的综合车险保单业务，如果在投保这一年内，客户没有要求赔偿，则对客户进行额外补偿，具体体现为如果下一年继续投保，对综合保险费进行打折收取，为了保证这种补偿方式，使得双方都得到最大化的利益，保险公司将所有参保客户分为0,1,2,3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多，并且在计算保险费时，新投保客户属于0类，在客户延续保单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别进行打折，若客户在上一年要求赔偿过，如果有可能，则本年度降低两个类别进行打折，否则为0类，如果客户由于死亡（自然死亡或事故死亡）无法继续投保，保险公司将继续退还其本年度打折的部分。
政府为了均衡安全带发实施所带来的利益，预计到如果实施安全带法，保险公司的赔偿肯定会降低，于是保险费也应该降低，通过调研发现，已经实施了保险带法的国家的数据表明，这一举措可使死亡司机人数减少40%，医疗费用会降低30%。
附表是保险公司本年度的某种小型汽车的业务数据，本年度每份保单的保费是1225元，解决以下问题:
（1）保险公司仍然保持现有的收益规模情况下，将安全带法带来的利益全部返回给投保客户，建立数学模型，预计今后3年针对这种小型汽车，保险公司每年应收取的保险费用。
（2）如果考虑到安全带法带来的利益均衡，由保险公司和投保客户共同分享安全带法带来的利益，重新解决问题
（1）。
2、问题分析
题目所要解决的主要问题是在实施安全带法以后，在保持现有的收益规模的前提下，分别考虑把安全法带来的利益全部给客户和由保险公司与客户均衡分配这两种情况，求取相应的保险费。
实施安全带法以后，交通事故率不变，但相应的死亡司机人数减少40%，医疗费也会相应地减少30%。
首先，我们要根据题目所给的数据求出现在的收益情况；然后分别求出各个级别的续保人数、新投保人数、总投保人数、索赔人数、死亡人数、注销人数，其中新投保人数可以运用人口阻滞模型求出；再根据题目中的数据求出各个级别的交通事故率、死亡率、注销率，再求出相应的索赔人数、死亡人数、注销人数。
其次，我们要考虑保险公司的总赔偿费用、总注销偿还费用和固定支出费用，其中总赔偿费用包括修理费用、死亡赔偿费用和医疗赔偿费用，在计算医疗赔偿费用的时候，要考虑实施安全带法后医疗费下降30%，在计算死亡赔偿费用的时候，要考虑实施安全带法后死亡人数下降40%。
最后，通过各类的总投保人数、补贴比例、总赔偿费用，在保证现有的收益规模情况下，运用博弈模型求出实施安全带法以后每一年的保险费。
3、模型假设
（1）假设投保人除注销外不会退出该保险公司而到其它保险公司投保。
（2）假设每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和；注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和；索赔人数等于受伤人数和死亡人数之和。
（3）假设每一类别的人没有索赔时补贴比例不变。
（4）假设每年新投保人数符合人口阻滞模型。
（5）假设交通事故率、注销率不变，死亡司机人数与索赔人数比例不变。
（6）假设实施安全带法规后，事故发生率不变，每一类别的死亡率下降了40%。
（7）假设实施安全带法规后，平均修理费用、平均死亡赔偿费用不变，平均医疗费用减少30%。
（8）假设注销人平均偿还退回的保险金额不变。
（9）假设每名司机每年最多只发生一次交通事故。
（10）假设无自然突发事件，物价稳定，公司基本支出费用不变。
4、符号说明
实施安全带法前一年
实施安全带法后当年
当年第i级总投保人数
当年新投保人数
第i级交通事故率
第i级死亡率
第i级注销率
第i级补贴比例
第i级平均修理费用
第i级平均死亡赔偿费用
第i级平均医疗赔偿费用
第i级的注销偿还费用
总的修理费用
总的死亡赔偿费用
总的医疗赔偿费用
总的注销偿还费用
总赔偿费用
总支出
总收入
安全带法实施前收益规模
保险费
注：
中下标i前的“索”、“死”、“注”分别表示当年第i级的索赔人数、死亡人数、注销人数；、、、分别表示实施安全带法后的总修理费用、总死亡赔偿费用、总医疗赔偿费用、总赔偿费用。
5、模型的建立及求解
5.1每一级别的交通事故率、死亡率、注销率的求解公式
=/
（1）
=/
（2）
=/（3）
5.2新投保人数的人口阻滞模型
根据人口阻滞模型，建立如下模型：
（4）
（其中r为增长率，k为投保人的上限）
利用分离变量法求解：
（5）
带入本年度新投保人数并取r=0.5，得出k=416440，即：
（6）
则实施安全带法后三年的新投保人数如下表：
第一年
第二年
第三年
396549
404144
408895
5.3每一级别的总投保人数
5.3.1第0级的总投保人数=当年新投保人数+第0、1、2级上一年索赔未注销的人数，即：
（7）
5.3.2第1级的总投保人数=第0级上一年未索赔未注销的人数+第3级上一年索赔未注销的人数，即：
（8）
5.3.3第2级的总投保人数=第1级上一年未索赔未注销的人数，即：
（9）
5.3.4第3级的总投保人数=第2、3级上一年未索赔未注销的人数，即：
（10）
5.4赔偿费的计算公式
赔偿费包括三个方面：
修理费用、死亡赔偿费用、医疗赔偿费用
5.4.1修理费用的计算公式
实施前：
（11）
实施后：
（12）
5.4.2死亡赔偿费用的计算公式
实施前：
（13）
实施后：
（）（14）
5.4.3医疗赔偿费用的计算公式
实施前：
（15）
实施后：
（16）
5.4.4总的赔偿费用公式
实施前：
实施后：
5.5注销偿还费用计算公式
（17）
5.6公司的总收入
（18）
5.7公司的总支出
随着投保人数的增加，成本也随着增加，由于没有统计资料可供咨询，为此增加一个纠正系数r
令E=149r万元
r可通过拟合得到，为了方便数据的处理，在本模型中取r=1，即E=149万元。
5.8公司现有收益规模
（19）
5.9模型的构建
问题一：
收益全部返还给投保客户
，即：
（20）
解得：
（21）
问题二：
收益由保险公司和投保客户共同分享
考虑到利益均衡问题，由保险公司和投保客户共同分享安全带法带来的利益，利用两人非零和博弈确定最优策略。
根据零和博弈中混合策略的定义，最优混合策略就是各博弈方以一定的概率分布选择各自的策略，结局为互为最优反应，即利益均衡。
建立如下的双支付矩阵：
C
D
A
B
策略A：
公司获得全部收益；策略B：
公司保持原有收益规模
策略C：
顾客获得安全法带来的全部收益；策略D：
顾客不获得安全法带来的利益
设公司选择策略A、B的概率分别为、，客户选择策略C、D的概率分别为、，那么公司选择A和B的概率和一定要使客户选择C和D的期望收益相等，同样顾客选择C和D一定要使公司选择A和B的期望收益相等，即
+=++=+
+=1+=1
5.10模型的求解
5.10.1必要信息的图示
表一：
各个级别的交通事故率、死亡率、注销率
类别
补贴比例
交通事故率
死亡率
注销率
0
0
0.349935
0.006997
0.010967
1
25%
0.330026
0.013210
0.016001
2
40%
0.100356
0.001985
0.012003
3
50%
0.080008
0.000801
0.036999
表二：
各个级别的费用列表
类别
平均修理费用
平均死亡费用
平均医疗费用
注销偿还费用
实施后的平均医疗费用
0
1020
33985
1526
288
1068
1
1223
37006
1231
288
862
2
947
60015
823
288
576
3
805
70971
814
288
570
5.10.2若收益全部返还给投保客户的求解结果
首先根据附件中数据求得未实施安全法前保险公司的收益：
=3522百万
表三：
第一年各类别的人数
类别
续保人数
新投保人数
总投保人数
注销人数
索赔人数
死亡人数
0
1263974
396549
1660523
18211
581075
6971
1
1745639
0
1745639
27932
576107
13836
2
1163516
0
1163516
13966
116766
1386
3
8787139
0
8787139
325116
703039
4221
表四：
第二年各类别的人数
类别
续保人数
新投保人数
总投保人数
注销人数
索赔人数
死亡人数
0
1256955
404144
1661099
18218
581276
6973
1
1744637
0
1744637
27916
575776
13828
2
1150818
0
1150818
13813
115491
1371
3
8819182
0
8819182
326302
705602
4236
表五：
第三年各类别的人数
类别
续保人数
新投保人数
总投保人数
注销人数
索赔人数
死亡人数
0
1255570
408895
1664465
18255
582454
6988
1
1747476
0
1747476
27961
576713
13851
2
1150158
0
1150158
13805
115425
1370
3
8836285
0
8836285
326934
706971
4244
表六：
若把安全带法实施带来的收益全部返还给投保客户，每一年各项费用
年份
总修理费用
总死亡赔偿费用
总医疗费用
总注销偿还费
总和
第一年
1973798225
1131673250
1562422729
110944742
4778838947
第二年
1974456266
1131646038
1563083834
111239493
4780425631
第三年
1977842258
1133494783
1565852124
111443164
4788632329
数据代入模型求解可得今后三年的保险费依次为1030、1029、1028元。
5.10.3若收益由保险公司和投保客户共同分享的求解结果
表七：
第一年非和博弈矩阵
C
D
A
（0,0）
（4191609741，-947）
B
（3522000000，-1030）
（3522000000，-980）
表八：
第二年非和博弈矩阵
C
D
A
（0，0）
（4191893072，-946）
B
（3522000000，-1029）
（3522000000，-979）
表九：
第三年非和博弈矩阵
C
D
A
（0，0）
（4193079482，-945）
B
（3522000000，-1028）
（3522000000,-978）
表十：
实施安全法后未来三年最优混合策略解
第一年
0.050
0.950
0
1
第二年
0.050
0.950
0
1
第三年
0.05
0.95
0
1
即可得未来三年的保险费依次为979、978、976元。
、
利用MATLAB对问题一和二所求得保险费额进行拟合：
6、结果和误差分析
本文是在考虑现有收益规模的前提下建立的模型，最后得出在实施安全带法以后，若利益全归客户，则今后三年的保险费依次为1030、1029、1028元，若利益归保险公司和客户均衡分配，则今后三年的保险费依次为941、986、985元。
本文所作的模型分析了很多实际情况，有些情况由于数据的不确定性只能根据常识把其理想化，而且题目中给出的只有本年度的数据，具有极大的偶然性，导致一些误差不可避免。
另外本文所建立的模型是在对实际情况作了一些假设的前提下建立起来的，具有一定的误差。
但是我们尽最大限度保留了主要信息，忽略了一些无法解决的干扰信息。
1.社会方面的误差
保险公司收取的保险费受到很多因素影响。
诸如每年的经济发展情况、车的价格、交通部门发布的一些政策、各个保险公司之间的竞争等等。
这些因素都会影响汽车的保险费。
这些因素是我们不能精确考虑的，所以此模型与实际有一定的误差。
2.建模中的误差
本模型简化了诸多波动因素，如死亡司机人数、注销人数，所得结果与现实还有一定的误差，而且我们还做了很多的假设，比如假设每人每年最多只发生一次事故，但其实每人每年发生事故的次数服从泊松分布；还有假设平均修理费用、平均死亡赔偿费用不变，其实随着物价的变化，相应地费用也会变化。
这些假设会给模型带来误差，还有在数据优化和计算方面可能略微影响到结果的准确性。
7、模型推广
本模型是根据保险公司每年的赔偿费用、注销偿还费用和支出费用的总和，在保证现有收益规模的前提下，求解不同情况下每年应收取的保险费，所以这个模型可以应用于很多其他多种因素决定单变量的问题,如：
人口增长问题、其他类型的保险业务等等，而且本模型对费用的估算与预测有很大的帮助。
8、模型的优缺点
本模型是对基本保险费的计算。
在模型中，我们利用各个费用之间的关系，通过分析各个模型量之间的关系，建立了较为合理的数学关系，同时本模型结合实际情况，以实际问题为背景，考虑到了人口阻滞增长的问题与总人数的关系，具有一定的可信度。
而且此模型运用了大量的数学模型，具有一定的理论基础，还运用了一些统计软件比如MATLAB、Excel，可信度高。
但此模型也存在一些缺点，此模型较不能对问题进行全方面的考虑，使得结果与实际情况相比有一些偏差。
还有我们建立的模型有大量的假设，而且与实际情况相比也有较大的不同之处。
本题认为保险公司收取的费用对不同的人是一样的，但现实生活中，保险公司对不同人采取不同的策略。
由于每个人的驾驶经验、年龄、家庭条件不一样，所以他们要交的保险费也应该不同。
而且每个人的车也是不同的，车的价位也会影响到保险费，所以保险公司应该根据车的名贵程度来衡量汽车保险费用。
参考文献
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浙江大学出版社.2009:
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[6]李引珍.管理运筹学.北京：
科学出版社.2012:
257-296.
附件
一：
MATLAB程序画图：
x=1:
1:
3;
y=[103010291028];
z=[979978978];
plot（x,y,’b’）;
holdon;
plot（x,z,’r’）;
holdoff;
11
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