第十九章一次函数知识点总结.doc

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一次函数知识点总结

一、函数

1.变量的定义：

在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

变量还分为自变量和因变量。

2.常量的定义：

在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3.函数的定义：

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．

4.函数的三种表示法：

（1）表达式法（解析式法）；

（2）列表法；（3）图象法．

用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5.求函数的自变量取值范围的方法．

（1）要使函数的表达式有意义：

整式（多项式和单项式）时为全体实数；分式时，让分母≠0；含二次根号时，让被开方数≠0。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6.求函数值方法：

把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．

7.描点法画函数图象的一般步骤如下：

Step1：

列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

Step2：

描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

Step3：

连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．

8.判断y是不是x的函数的题型

给出解析式让你判断：

可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。

给出图像让你判断：

过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。

二、正比例函数

1.正比例函数的定义：

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

注意点自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；比例系数k≠0；不含有常数项，只有x一次幂的单项而已。

2.正比例函数图像：

一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx．

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

k>0，撇

一三象限

从左到右上升

Y随x的增大而增大

X

Y

X

Y

K<0，捺

二四象限

从左到右下降

Y随x的增大而减小

画正比例函数的最简单方法：

（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；

（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

（3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象。

三、一次函数

1.一次函数的定义：

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．注意点自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；比例系数k≠0；常数项可有可无。

2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．

3.系数k的意义：

k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。

系数b的意义：

b是直线与y轴交点的纵坐标。

当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b）

与x轴的交点是点（-，0）

4.一次函数图像和解析式的系数之间的关系

k>0，撇

b>0，与y轴交点在x轴上方

一二三象限

从左到右上升

Y随x的增大而增大

k>0，撇

b<0，与y轴交点在x轴下方

一三四象限

从左到右上升

Y随x的增大而增大

K<0，捺

b>0，与y轴交点在x轴上方

一二四象限

从左到右下降

Y随x的增大而减小

K<0，捺

b<0，与y轴交点在x轴下方

二三四象限

从左到右下降

Y随x的增大而减小

5.画一次函数图像的最简单方法：

（1）先选取两点，通常选出点（0，b）与点（-，0）；

（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

（3）过点（0，b）与点（-，0）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象．

6.待定系数法确定一次函数解析式：

根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。

步骤：

写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）．把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．（有几个待定系数，就要有几个方程）解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．

7.解析式与图像上点相互求解的题型

求解析式：

解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b的值在带回解析式中就求出解析式了。

求直线上点坐标：

解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐标值即可。

四、一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值y=0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值．

五、一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：

当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围．

用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>（<）0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。

六、一次函数与二元一次方程（组）

1.解二元一次方程组可以看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标。

2.求两条直线的交点的方法：

将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。

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