数学建模作业三.docx

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数学建模作业（三）

第三章习题

2013/04/09

l速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气的密度是ρ，用量纲分析法确定风车获得的功率p与v，s，ρ的关系。

l对于风车获得的功率p与v，s，ρ的关系我们假设：

1.忽略其它因素对功率的影响

2.将其视为理想化模型

l在这些假设下，风车获得的功率与以下物理量有关：

风车获得的功率p，风速v，迎风面积s，空气密度ρ。

l它们的量纲分别是

,

l设，有

由得到以下线性方程组

不难验证，这个方程组的秩为3.

因此方程组的解空间是4维。

由

可得方程组的基本解：

于是，与这四个参数有关的量纲乘积为

l四个物理量之间的关系为即

l根据隐函数运算法则，得

l，

其中为无单位的常比例系数。

l俗话说“大饺子能装馅”，试自建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。

l“大饺子能装馅”考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅。

l为了简化模型，我们做出以下假设

1.饺子都是标准球形

2.饺子大小全部一致

3.饺子皮的厚度相同

4.饺子皮的厚度忽略不计

l涉及到的物理量：

饺子皮总面积S，一个饺子皮的面积s，饺子数n，饺子半径r，所包馅的总体积V，一个饺子包含馅的体积v

l这些物理量有以下关系：

可得

l因此，大饺子能装馅，这一说法正确。

l考察一个模拟水下爆炸的实验，爆炸物的质量m在距爆炸点的距离为r处接受冲击波，产生压强为p。

记大气初始压强为p0，水的密度为ρ，水的体积弹性模量为k。

由量纲分析法已经得到。

设模拟现场与现场的p。

，ρ，k相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/10000.为使实验中接受到与现场相同的压强，试计算接受冲击波仪器的相对位置（是现场仪器与爆炸点之间距离的多少倍）。

l设模拟实验时现场仪器与爆炸点之间距离为r1，爆炸物质量为m1.现场爆炸时现场仪器与爆炸点之间距离为r2，爆炸物质量为m2.

l根据题目假设有模拟现场与现场的p。

，ρ，k相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/10000。

l根据量纲分析法得到的公式有。

为使实验中接受到与现场相同的压强，需要使得，因此有

l即