复数的开方.docx

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复数的开方

复数的开方教案1

　　教学目标

　　1．掌握求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根的法则．

　　2．通过复数开方公式的推导和运用，培养推理能力和运算能力．

　　3．通过对复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根几何意义的探求，培养和发展数形结合的意识和能力．

　　教学的重点与难点

　　重点：

复数开方公式的推导与运用．

　　教学过程设计

（一）从解方程引入复数开方

　　师：

由研究方程x2=－1的解引入虚数单位的概念，进而建立复数集．在复数集中方程x2=－a（a＞0）的解是什么？

　　师：

在复数集中x3=1的解有几个，是什么？

　　生甲：

可能有3个，一个是x=1，另外两个不知道．

　　师：

你怎么知道的？

　　师：

对．类似这样的问题，如x3=1－i，x4=－1的解是什么？

为解决这一类问题要研究求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．

（二）探求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根，并推导开方公式

　　师：

（提出课题）求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．

　　如何研究这一问题呢？

首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗？

　　生：

我认为有n个．

　　师：

这只是预测，这要通过求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根来证实或否定．如何求复数的n次方根？

要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？

让学生回忆实数集中方根的概念．

　　复数n次方根的意义：

如果xn=z（n∈N+，z∈C），那么x叫做z的n次方根．

　　因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数．

　　师：

在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢？

　　由上面分析可知，复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根仍是复数，设它为ρ（cos

＋isin

），那么这两个复数有什么联系呢？

　　生：

r（cosθ＋isinθ）=[ρ（cos

＋isin

）]n（n∈N+）．

　　师：

求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和

．

①

　　这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？

　　生：

它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍．

　　师：

由①式可得

　　由此可知，

　　因此r（cosθ＋isinθ）的n次方根是

　　由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么？

　　生甲：

用公式解题．

　　生乙：

这个公式还没有推导完，它表示几个值？

各是什么？

还要对公式进一步认识．

　　师：

对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：

公式的推导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用．

　　对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识．本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的．

　　公式成立的条件是：

n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．

　　对公式数量关系的认识：

②

个给定的自然数；式中的k∈Z它可以取任何整数，随着k的不同取值②式表示多少个不同的复数？

为什么？

　　（让学生讨论）

　　生甲：

表示无数个不同的复数．

　　生乙：

表示n个不同的复数．

　　师：

哪个对，为什么？

　　生丙：

表示n个不同的复数对，因为一个复数的n次方根有n个值．

　　师：

到目前为止，一个复数的n次方根有n个值这只是我们的推测，并没有证明．但我们可以肯定地说，它不会是无穷多个不同的值，而是有限个，你们说对吗？

为什么？

　　生丁：

对．由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值．

　　师：

这启发我们用三角函数的周期性研究复数n次方根的个数．为研究方便，把

③

　　显然，k=n与k=0时，这两个角相差2π，由于正弦、余弦函数的周期都是2π，所在公式②中它们表示同一个复数．

　　同理，k=n＋1，n＋2，…，n＋（n－1）与k=1，2，…，n－1所表示的复数对应相等．

　　因此，当k取0，1，…，n－1各值时，就可以得到②式的n个值．由于正弦、余弦函数的周期都是2π，当k取n，n＋1以及其他各整数值时，又重复出现k取0，1，…，n－1时的结果，所以复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根是

　　让学生叙述复数开n次方的法则，教师概括如下：

　　复数的n（n∈N+）次方根是n个复数，它们的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2π的0，1，…，n－1倍的和的几分之一．

　　（三）运用复数开方公式，在运用中深化对复数n次方根的认识

　　例1求1－i的立方根．

　　即1－i的立方根是下面三个复数：

　　解题后让学生概括求复数n次方根的步骤，教师进行归纳总结：

　　1．将复数z化为三角形式（辐角一般取主值）；

　　2．代入开方公式；

　　4．分别求出复数z的n个n次方根．

　　几点说明：

　　1．将复数z化为三角形式时辐角取主值使答案规范．如例1中，将1－1的辐

次方根的辐角有规律性的认识，这正是我们要进一步研究的．

　　练习在复数集C中解方程x4＋1=0．

　　请学生板演．

　　解：

将方程变形为x4=－1=cosπ＋isinπ，

　　教师讲评：

解方程x4=－1就是求－1的4次方根．在实数集中无解，在复数集中它有4个虚数根．

　　进一步深化对复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根的认识．提出以下问题：

　　师：

问题1复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根有几个，它们的模等于什么？

　　师：

问题2复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根的几个辐角有什么规律？

　　学生讨论，教师归纳总结．

　　师：

问题3复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根的几何意义是什么？

　　学生讨论，教师概括总结．

　　复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根的几何意义是：

这n个n次方根对应于复平面

　　例2在复数集C中解方程x3=1，并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的三个顶点．

　　解：

原方程就是

x3=cos0＋isin0，

　　如图8－14，三个根x1，x2，x3在复平面内对应点分别为A，B，C．

　　因为|x1|=|x2|=|x3|，则三点A，B，C在以原点为圆心的单位圆上．

　　故|AB|=|BC|=|AC|，△ABC为正三角形．

　　解题后思考以下问题：

（1）1的立方根在实数集中有几个值？

在复数集中有几个值？

各是什么？

　　1的立方根在实数集中有1个值，是1．在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有很多特征的共轭复数

（2）方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？

（因式分解法，本节不展开）

　　（四）小结

　　由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展．在复数集C中，复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根有n个值．这n个值可由复数开方公式得到．它

　　（五）作业

　　1．高中代数下册P214～215练习第3，第4题．

　　2．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是

[]

　　3．求证虚数的平方根仍是虚数．

　　4．已知ε0，ε1，…，εn-1是非零复数z=r（cosθ＋isinθ）的n个不同的n次方根（n≥3）．

（1）求证：

ε0，ε1，…，εn-1组成等比数列；

（2）求和Sn=ε0＋ε1＋ε2＋…εn-1．

　　作业答案或提示

　　2．由复数开方运算的几何意义，画出－i的3个立方根在复平面内的对应点，得出选D．

　　3．用反证法．假设虚数的平方根是实数，则它的平方也是实数，这与原数为虚数矛盾．

　　课堂教学设计说明

　　本节课设计的指导思想是：

激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．

　　1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．

　　2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也是难点．在教学中是分四个层次展开的：

由解方程引入；由n次方根的意义切入；通过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．

　　3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也是有指导意义的．