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复数的开方

复数的开方教案1

  教学目标

  1.掌握求复数r(cosθ+isinθ)的n次方根的法则.

  2.通过复数开方公式的推导和运用,培养推理能力和运算能力.

  3.通过对复数r(cosθ+isinθ)的n次方根几何意义的探求,培养和发展数形结合的意识和能力.

  教学的重点与难点

  重点:

复数开方公式的推导与运用.

  

  教学过程设计

  

(一)从解方程引入复数开方

  师:

由研究方程x2=-1的解引入虚数单位的概念,进而建立复数集.在复数集中方程x2=-a(a>0)的解是什么?

  

  师:

在复数集中x3=1的解有几个,是什么?

  生甲:

可能有3个,一个是x=1,另外两个不知道.

  

  师:

你怎么知道的?

  

  师:

对.类似这样的问题,如x3=1-i,x4=-1的解是什么?

为解决这一类问题要研究求复数r(cosθ+isinθ)的n次方根.

  

(二)探求复数r(cosθ+isinθ)的n次方根,并推导开方公式

  师:

(提出课题)求复数r(cosθ+isinθ)的n次方根.

  如何研究这一问题呢?

首先,我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗?

  生:

我认为有n个.

  师:

这只是预测,这要通过求复数r(cosθ+isinθ)的n次方根来证实或否定.如何求复数的n次方根?

要解决“如何求”,首先要弄清什么是复数n次方根?

让学生回忆实数集中方根的概念.

  复数n次方根的意义:

如果xn=z(n∈N+,z∈C),那么x叫做z的n次方根.

  因为复数的n次方是复数,所以一个复数的n次方根也是复数.

  师:

在建立复数n次方根概念的基础上,如何推导复数开n次方的公式呢?

  由上面分析可知,复数r(cosθ+isinθ)的n次方根仍是复数,设它为ρ(cos

+isin

),那么这两个复数有什么联系呢?

  生:

r(cosθ+isinθ)=[ρ(cos

+isin

)]n(n∈N+).

  师:

求复数的n次方根的问题,就转化为在上面等式中求出ρ和

  

  这样就得到两个用三角形式表示的复数.两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?

  生:

它们的模相等,辐角可以相差2π的整数倍.

  师:

由①式可得

  由此可知,

  因此r(cosθ+isinθ)的n次方根是

  由复数n次方根的意义和复数相等的条件,得到复数n次方根的表达式,下面的工作是什么?

  生甲:

用公式解题.

  生乙:

这个公式还没有推导完,它表示几个值?

各是什么?

还要对公式进一步认识.

  师:

对.首先要认识公式.对一个数学公式通常从以下几个方面认识:

公式的推导;公式成立的条件;公式所反映的数量关系;公式的使用.

  对公式的推导,不是停留在重复推导过程上,而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识.本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件,建立方程求解方程推导的.

  公式成立的条件是:

n∈N+,也就是说,我们研究的是复数开正整数次方.

  对公式数量关系的认识:

  

个给定的自然数;式中的k∈Z它可以取任何整数,随着k的不同取值②式表示多少个不同的复数?

为什么?

  (让学生讨论)

  生甲:

表示无数个不同的复数.

  生乙:

表示n个不同的复数.

  师:

哪个对,为什么?

  生丙:

表示n个不同的复数对,因为一个复数的n次方根有n个值.

  师:

到目前为止,一个复数的n次方根有n个值这只是我们的推测,并没有证明.但我们可以肯定地说,它不会是无穷多个不同的值,而是有限个,你们说对吗?

为什么?

  生丁:

对.由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值.

  师:

这启发我们用三角函数的周期性研究复数n次方根的个数.为研究方便,把

  

  

  显然,k=n与k=0时,这两个角相差2π,由于正弦、余弦函数的周期都是2π,所在公式②中它们表示同一个复数.

  同理,k=n+1,n+2,…,n+(n-1)与k=1,2,…,n-1所表示的复数对应相等.

  因此,当k取0,1,…,n-1各值时,就可以得到②式的n个值.由于正弦、余弦函数的周期都是2π,当k取n,n+1以及其他各整数值时,又重复出现k取0,1,…,n-1时的结果,所以复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是

  让学生叙述复数开n次方的法则,教师概括如下:

  复数的n(n∈N+)次方根是n个复数,它们的模都等于这个复数的模的n次算术根,它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2π的0,1,…,n-1倍的和的几分之一.

  (三)运用复数开方公式,在运用中深化对复数n次方根的认识

  例1求1-i的立方根.

  

  

  即1-i的立方根是下面三个复数:

  

  解题后让学生概括求复数n次方根的步骤,教师进行归纳总结:

  1.将复数z化为三角形式(辐角一般取主值);

  2.代入开方公式;

  

  4.分别求出复数z的n个n次方根.

  几点说明:

  1.将复数z化为三角形式时辐角取主值使答案规范.如例1中,将1-1的辐

  

次方根的辐角有规律性的认识,这正是我们要进一步研究的.

  练习在复数集C中解方程x4+1=0.

  请学生板演.

  解:

将方程变形为x4=-1=cosπ+isinπ,

  

  

  

  教师讲评:

解方程x4=-1就是求-1的4次方根.在实数集中无解,在复数集中它有4个虚数根.

  进一步深化对复数r(cosθ+isinθ)的n次方根的认识.提出以下问题:

  师:

问题1复数r(cosθ+isinθ)的n次方根有几个,它们的模等于什么?

  

  师:

问题2复数r(cosθ+isinθ)的n次方根的几个辐角有什么规律?

  学生讨论,教师归纳总结.

  

  师:

问题3复数r(cosθ+isinθ)的n次方根的几何意义是什么?

  学生讨论,教师概括总结.

  复数r(cosθ+isinθ)的n次方根的几何意义是:

这n个n次方根对应于复平面

  例2在复数集C中解方程x3=1,并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的三个顶点.

  解:

原方程就是

x3=cos0+isin0,

  

  

  如图8-14,三个根x1,x2,x3在复平面内对应点分别为A,B,C.

  因为|x1|=|x2|=|x3|,则三点A,B,C在以原点为圆心的单位圆上.

  

  故|AB|=|BC|=|AC|,△ABC为正三角形.

  解题后思考以下问题:

  

(1)1的立方根在实数集中有几个值?

在复数集中有几个值?

各是什么?

  1的立方根在实数集中有1个值,是1.在复数集C中,1的立方根有3个值,有一个实数两个虚数,其中实数为1,两个虚数是一对有很多特征的共轭复数

  

(2)方程x3=1除用复数开方公式求解,还有其他解法吗?

(因式分解法,本节不展开)

  (四)小结

  由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展.在复数集C中,复数r(cosθ+isinθ)的n次方根有n个值.这n个值可由复数开方公式得到.它

  (五)作业

  1.高中代数下册P214~215练习第3,第4题.

  2.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是

[]

  

  

  3.求证虚数的平方根仍是虚数.

  4.已知ε0,ε1,…,εn-1是非零复数z=r(cosθ+isinθ)的n个不同的n次方根(n≥3).

  

(1)求证:

ε0,ε1,…,εn-1组成等比数列;

(2)求和Sn=ε0+ε1+ε2+…εn-1.

  作业答案或提示

  2.由复数开方运算的几何意义,画出-i的3个立方根在复平面内的对应点,得出选D.

  3.用反证法.假设虚数的平方根是实数,则它的平方也是实数,这与原数为虚数矛盾.

  

  

  

  课堂教学设计说明

  本节课设计的指导思想是:

激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法.

  1.复数的有关知识比较抽象,离生产、生活实际较远.在复数教学中如何激发学生的学习兴趣,这是值得思考的问题.本节以解方程引入,通过对复数开方公式的推导得出公式,又回到在复数集中解方程x3=1,求出它的一个实根两个虚根,发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识.从学生熟悉的数学问题引入,提出问题,分析问题,解决问题,通过问题解决发展学生的认识,引起学生学习兴趣.

  2.注重对复数开方公式推导过程的教学.复数开方公式推导是本节课的重点也是难点.在教学中是分四个层次展开的:

由解方程引入;由n次方根的意义切入;通过复数相等求解;由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导.在推证过程中启发学生探求,发展思维,培养推理能力.

  3.指导学法,会学公式.在学习数学过程中学生遇到许多数学公式,如何认识数学公式,学好公式,会学公式是指导学生学法的一个重要方面.本节课通过对复数开方公式的分析,从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式,从公式的运用中深化对公式的认识.这对学习其他数学公式也是有指导意义的.

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